Euler 數 列 / Euler numbers
1. 개요
[math(\coth x)]를 기반으로 한 생성함수로 정의되는 베르누이 수열처럼 오일러 수열은 [math({\rm sech}\,x)]를 기반으로 한 생성함수로 정의되는 수열이다. 거듭제곱 합의 공식을 통해 오래전부터 연구가 되어왔던 베르누이 수열과는 달리 오일러 수열은 그야말로 [math({\rm sech}\,x)], [math(\sec x)]의 테일러 급수 정도에서밖에 등장하지 않기 때문에 지명도가 훨씬 낮다. 물론 그 성질에 대해서는 꾸준히 연구가 진행되고 있긴 하다. 대표적인 특징으로 오일러 수열은 모든 홀수 항이 항상 [math(\bf0)][1]이며, 모든 짝수 항도 정수값이 나오는 것으로 알려져 있다. 특히 [math(4)]의 배수인 짝수 항은 양수이고 그 이외의 짝수 항은 모두 음수가 나오는데, 이를 모두 양수로 보정하기 위해 일반적인 오일러 수열 [math(E_{2n})] 대신 [math((-1)^nE_{2n})]을 오일러 수열로 이용하는 경우도 있다. 후자의 경우 학자마다 기호 사용이 제각각이라 통일된 표기가 없지만, 대체로 [math(E_{2n})]에 첨자나 장식 기호를 써서 표기한다. 대략 제[math(18)]항까지의 값은 다음과 같다.(홀수 항의 값은 생략)| [math(n)] | [math(0)] | [math(2)] | [math(4)] | [math(6)] | [math(8)] | [math(10)] | [math(12)] | [math(14)] | [math(16)] | [math(18)] |
| [math(E_n)] | [math(1)] | [math(-1)] | [math(5)] | [math(-61)] | [math(1385)] | [math(-50521)] | [math(2702765)] | [math(-199360981)] | [math(19391512145)] | [math(-2404879675441)] |
2. 정의
다음 생성함수를 이용하여 정의된다.| [math(\displaystyle{\rm sech}\,x = \frac1{\cosh x} = \frac2{e^x + e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!}x^n)] |
| [math(\displaystyle\begin{aligned} {\rm sech}\,ix &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!}(ix)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}(ix)^{2n} + \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n+1}}{(2n+1)!}(ix)^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\ &= \sec x \end{aligned} \\ \therefore E_{2n+1} = 0)] |
| [math(\displaystyle{\rm sech}\,x = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} )] |
일반적으로 베르누이 수열이 점화식을 통해 계산되는 것처럼, 오일러 수열도 실제 수열의 값을 계산할 때에는 좌변의 역수 [math(\cosh x)]의 테일러 급수를 이용하여 유도되는 점화식을 쓴다.
| [math(\displaystyle\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}2 = \frac12 \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} \right\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots \\ \begin{aligned} \cosh x\,{\rm sech}\,x &= \left( {E_0} + \frac{E_2}{2!}x^2 + \frac{E_4}{4!}x^4 + \frac{E_6}{6!}x^6 + \cdots\cdots \right) \left( 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots \right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r}}{(2n-2r)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}}{(2r)!(2n-2r)!}x^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac1{(2n)!} \frac{E_{2r}(2n)!}{(2r)!(2n-2r)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n)!} \sum_{r=0}^n \binom{2n}{2r}E_{2r}x^{2n} \\ &= E_0 + \frac 1{2!} \sum_{r=0}^1 \binom2{2r}E_{2r}x^2 + \frac1{4!} \sum_{r=0}^2 \binom4{2r}E_{2r}x^4 + \frac1{6!} \sum_{r=0}^3 \binom6{2r}E_{2r}x^6 + \cdots\cdots \\ &= 1 \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{2n}{2r}E_{2r} = E_{2n} + \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n}{2r}E_{2r} = \delta_{0,\,n} \\ \therefore E_{2n} = \delta_{0,\,n} - \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n}{2r}E_{2r})] |
3. 이용
[math(\sec x)], [math({\rm sech}\,x)]의 테일러 급수에서
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4. 베르누이 수열과의 관계
삼각함수 및 쌍곡선 함수가 각종 사칙연산을 통해 서로 연관되어 있기 때문에, 베르누이 수열과 오일러 수열 역시 서로 무관하지는 않다. 다만, 아무래도 각 함수의 곱(즉, 테일러 급수끼리의 곱)이 반드시 포함되어 있기에 서로 합연산의 관계에 있어서 손계산이 그렇게 간단한 형태로 나오지는 않는다. 차라리 서로 점화식의 관계에 있다고 이해하는 편이 빠를 것이다.4.1. 오일러 수열을 이용한 베르누이 수 표현
[math({\rm sech}\,x\sinh x = \tanh x)]이므로| [math(\displaystyle\begin{aligned} \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \right\}\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} &= \mathop{\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n-1}} \\ \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!E_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \binom{2n+1}{2r}E_{2r}x^{2n+1} \\ &= \mathop{\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}\mathop{\color{red}\sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r}}{\color{blue}x^{2n-1}} \end{aligned} \\ \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} = \sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r} \\ \therefore B_{2n} = \frac{2n}{16^n - 4^n}\sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2r}E_{2r})] |
4.2. 베르누이 수열을 이용한 오일러 수열 표현
[math(\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x)]이므로, [math(\sinh x\tanh x)]부분에 대해| [math(\displaystyle\begin{aligned}&\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} \left\{\sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{(16^r - 4^r)B_{2r}x^{2r-1}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{16^r - 4^r}{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!B_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle\begin{aligned}&\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\right\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{E_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n}} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)!}x^{2n} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}\right\}x^{2n} \\ &= {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\left\{ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} \right\}}{\color{blue}x^{2n}}\end{aligned} \\ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} = \frac{E_{2n}}{(2n)!} \\ \therefore E_{2n} = 1 - \frac1{2n+1} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r})] |
| [math(\displaystyle E_{2n} = 1 + \dfrac1{2n+1} \sum_{r=0}^n (4^r - 16^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r})] |
| [math(\displaystyle E_{2n} = 1 + \sum_{r=0}^n \frac{4^r - 16^r}{2n-2r+1}\binom{2n}{2r}B_{2r})] |