, 후한 말의 인물에 대한 내용은
유수(삼국지)
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참고하십시오.1. 개요
residue / 留 數복소해석학에서 선적분을 했을 때 남는 부분이다.[1]
2. 설명
2.1. 고립 특이점
[math(z=z_0)]가 함수 [math(w=f(z))]의 고립 특이점이면 [math(0 < |z-z_0| < R)]인 모든 [math(z)]에 대하여 해석적이면 로랑의 정리에 의하여[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n
\end{aligned} )]
와 같이 나타낼 수 있고, 곡선 [math(C)]가 [math(z_0)]의 근방에 포함되면서 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌곡선이면 계수 [math(a_n)]은
[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_n = \frac1{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \,{\rm d}z
\end{aligned} )]
이다.
특히 [math(a_n)]에서 [math(n=-1)]일 때 계수
[math(\displaystyle \begin{aligned}
b_1 = a_{-1} = \frac1{2\pi i} \int_C f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]
를 고립특이점 [math(z=z_0)]에서 [math(f(z))]의 유수라 하고 이것을 [math(\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} \,f(z))]와 같이 표시한다. 만약 [math(z=z_0)]가 [math(f(z))]의 없앨 수 있는 특이점이면 [math(\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0)]이다. 그런데 [math(z_0)]이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다.
극점일 경우도 조금 계산이 귀찮아지는데, 먼저 해당 극점의 계수 [math(m)]을 알아내야 하며, 그 때는 복소해석학의 2.2.1번 문단의 내용대로 계산해야 한다.
2.2. 무한대
함수 [math(f)]가 어떤 양수 [math(R_1)]에 대하여 [math(R_1 < |z| < \infty)]의 영역의 모든 점에서 해석적이라고 하자. 그러면 이 함수 [math(f(z))]는 [math(z_0=\infty)]에서 고립특이점을 갖는다고 정의한다.그러면 어떤 양수 [math(R_1)]보다 큰 [math(R_0)]에 대하여, [math(C_0 = R_0 e^{-it})]라는 원점을 중심으로 한 반지름 [math(R_0)]의 시계방향 궤도. 즉 무한원점[2]에 대한 반시계방향의 궤도에 대하여[3], 유수의 정의에 따라 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \oint_{C_0} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]
단, 일반적으로 원점을 중심으로 하는 원의 궤도를 반시계방향을 양의 방향으로 잡는 관습에 따르려면, [math(C' = R_0 e^{it})]라는 방향만 반대인 궤도를 잡아서 다음과 같이 바꿀 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]
이 양수 [math(R_1)]은 그보다 큰 원을 그렸을 때 그 외부가 전부 해석적이므로 반대로 말하면 원의 내부에 해석적이지 않은 특이점이 전부 존재한다. 즉, 원 내부의 특이점을 [math(z_k)]라고 두면, [math(R_1 > \max{|z_k|})]가 된다.
따라서, 위의 식을 다시 말하면 다음과 같게 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\
&= -\sum_{k=1}^n \underset{z=z_n}{\operatorname{Res}} \,f(z)
\end{aligned} )]
여기서 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n \underset{z=z_n}{\operatorname{Res}} \,f(z))]는 해당 범위의 [math(f)]의 모든 특이점의 유수의 합이다.
여기까지의 결론에서 아래의 유수 정리 항목에 있는 [math(\displaystyle \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) +\sum_{i=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0)]이 유도된다.
또한, 이 식을 대수적으로 조금 만지작거리면 다음 식이 유도된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl( \frac1w \biggr)
\end{aligned} )]
{{{#!folding [유도과정 펼치기·접기]
[math(w=\dfrac1z)]라는 새로운 매개변수를 두자.먼저 [math({\rm d}w)]를 구하자. 위의 매개식을 변환하여 [math(z=\dfrac1w)]로 바꾸고, 양변을 [math(w)]에 대하여 미분하면, [math(\dfrac{{\rm d}z}{{\rm d}w} = -\dfrac1{w^2})]
따라서 [math({\rm d}z = -\dfrac1{w^2} \,{\rm d}w)]가 된다.
이제 여기서 구한 [math({\rm d}w)]를
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]
에 대입하자. 이때, 궤도 [math(C')]는 사상 [math(w=\dfrac1w)]에 의해서 새로운 궤도 [math(\displaystyle \overline C := \frac1{R_0} e^{-it})]로 치환된다. 이 궤도는 자명하게 회전방향이 반대다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\
&= \frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w
\end{aligned} )]
[math(\overline C)]는 시계방향의 궤도이므로 다시 반시계방향의 궤도로 바꾸기 위해 [math(\overline C' := \dfrac1{R_0} e^{it})]로 치환하자. 적분궤도는 같지만 적분방향이 바뀌었으므로 부호는 [math(-)]가 붙는다.
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w
\end{aligned} )]
가 되고, 이를 유수의 일반적인 표기법으로 정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \\
&= -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl( \frac1w \biggr)
\end{aligned} )]
가 된다.
}}}
3. 유수 정리
함수 [math(f(z))]가 단일 닫힌곡선 [math(C)]의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 [math(z_1, z_2, \cdots\!, z_n)]을 제외하고 [math(C)]의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 [math(z_k)] (단, [math(k = 1, 2, \cdots\!, n)])에서 유수가 [math(\underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z))]이면 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z)
\end{aligned} )]}}}
증명
|
각 특이점 [math(z_1, z_2, \cdots\!, z_n)]을 중심으로 하고, [math(C)]의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각 [math(C_1, C_2, \cdots\!, C_n)]을 나타내고, 각 원의 방향을 [math(C)]와 같은 방향으로 하면
코시의
적분공식에 의하여 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_C f(z) \,{\rm d}z = \int_{C_1} f(z) \,{\rm d}z +\int_{C_2} f(z) \,{\rm d}z +\cdots +\int_{C_n} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned} )] 이다. 여기서 [math(z=z_k)] (단, [math(k=1, 2, \cdots\!, n)])에 대한 유수의 정의를 적용하면 [math(\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \int_{C_k} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned} )] 이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다. [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) \end{aligned} )] |
무한대에서는
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) + \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0
\end{aligned} )]
으로 간략하게 표현할 수 있다.
[1]
쉽게 말하면
초등학교 3학년 수학에서
나눗셈을 하면 나오는
나머지와 비슷하다.
[2]
절대값이 [math(\infty)]인 모든 점을 콤팩트화한 가상의 점.
[3]
원점을 중심으로 하면 시계방향은 음의 방향으로 취급하지만, 내부를 회전방향의 좌측으로 두는 관습에 따르면 무한원점을 중심으로 하는 반지름 [math(\infty)]의 원의 내부로 만드는 양의 방향은 시계방향이 된다.