병리적 함수

1. 개요

2. 예시

2.1. 다카기 함수

2.2. 디리클레 함수

2.3. 바이어슈트라스 함수

2.4. 볼차노 함수

1. 구간 $J_{0,1}=[0,1]$ 위의 함수 $y=x$를 생각하자.
2. 구간 $J_{0,1}=[0,1]$을 $J_{1,1}=[0,3/8]$, $J_{1,2}=[3/8,1/2]$, $J_{1,3}=[1/2, 7/8]$, $J_{1,4}=[7/8,1]$의 소구간으로 나누자.
3. 각 소구간의 끝 점에 좌표 $(0,0)$, $(3/8,5/8)$, $(1/2,1/2)$, $(7/8,9/8)$, $(1,1)$ 를 찍고, 각 소구간 위에서 조각적 1차 함수가 되도록, 양 끝점의 좌표를 선분으로 잇는다.
4. 소구간 $J_{n,m}=[a,b]$를 아래와 같이 더 작은 4개의 소구간으로 나눈다.

$J_{n+1,4m-3}=\left[a,a+\dfrac{3}{8}(b-a)\right]$,
$J_{n+1,4m-2}=\left[a+\dfrac{3}{8}(b-a),a+\dfrac{1}{2}(b-a)\right]$,
$J_{n+1,4m-1}=\left[a+\dfrac{1}{2}(b-a),a+\dfrac{7}{8}(b-a)\right]$,
$J_{n+1,4m}=\left[a+\dfrac{7}{8}(b-a),b\right]$
5. $J_{n,m}=[a,b]$의 끝점에서 좌표가 $(a,A)$,$(b,B)$일 때, 각 소구간 $J_{n+1,i}$의 끝점에 아래와 같은 좌표를 찍고, 각 소구간 위에서 조각적 1차 함수가 되도록, 양 끝점의 좌표를 선분으로 잇는다.

$(a,A)$,
$\left(a+\dfrac{3}{8}(b-a),A+\dfrac{5}{8}(B-A)\right)$,
$\left(\dfrac{1}{2}(a+b),\dfrac{1}{2}(A+B)\right)$,
$\left(a+\dfrac{7}{8}(b-a),A+\dfrac{9}{8}(B-A)\right)$
$(b,B)$
6. 4,5를 무한히 반복한다.

2.5. 볼테라 함수

2.6. 셀레리에 함수

2.7. 칸토어 함수

1. $x\in[0,1]$를 삼진법으로 나타낸다.
2. $x$의 삼진법 표현에 1이 있을 경우, 첫번째 1 이후의 모든 자리의 숫자를 0으로 바꾼다.
3. 남아있는 모든 2를 1로 바꾼다.
4. 이렇게 얻어진 수가 사실 2진법 표현이였다고 생각하고, 이를 $f(x)$의 값으로 삼는다.

2.8. 토메 함수

2.9. 기타

• $f(x)=x^{2}\sin\dfrac{1}{x},\:f(0)=0$ : 미분가능한 함수이지만, 도함수가 $x=0$에서 불연속인 함수.
• $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}},\:f(0)=0$ : 무한번 미분가능한 함수이지만, 테일러급수가 자신과는 다른 함수.

3. 참고

• Marek Jarnicki, Peter Pflug, Continuous Nowhere Differentiable Functions - The Monsters of Analysis *
  미분가능한 점이 없는 연속함수에 대해 많은 예시와 함께 잘 설명해 놓은 책
• 프랙털 이론
  그래프가 프랙털인 함수들은 병리적인 성질을 지닌다. 위에서 제시된 여러 함수들도 그래프가 프랙털인 경우가 많다.