최근 수정 시각 : 2022-03-16 00:24:59

동차함수

해석학 · 미적분학
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1. 정의2. 예시

1. 정의

/ homogeneous function

다변수함수 중 [math(f(tx_1,tx_2,\dots,tx_k)=t^nf(x_1,x_2,\dots,x_k))]를 만족시키는 함수 [math(f(x_1,x_2,\dots,x_k))]를 [math(n)]차 동차함수(homogeneous of degree [math(n)])라고 한다.

2. 예시

  • [math(f(x,y)=x^3-xy^2)]에 [math(x\to tx,y\to ty)]를 대입하면 [math(t^3\left(x^3-xy^2\right))]가 되므로 이는 3차 동차함수이다.
  • [math(x^5+xyz^3+x^2y^2z+yz^4+y^5\ln(x/z))]는 5차 동차함수이다.
  • [math(x^6+x^2y^3+2)]는 동차함수가 아니다.
  • 이항정리를 전개한 식이 대표적인 동차함수라고 할 수 있다. 다항정리의 경우도 크게 다르지 않다.
  • 소비자이론에서, 예산선의 방정식은 가격과 소득에 대하여 0차 동차이다. 곧, 가격과 소득을 동일한 비율로 변화시키면 예산선은 변하지 않는다.
  • simple representative agent model에서, 생산함수는 1차 동차, 곧 규모에 대한 수확 불변이다. 이 때문에 논의의 처음에서는 한 경제의 기업을 [math(M)]개로 놓고 계산을 시작할지라도 생산함수의 1차 동차성 때문에 기업의 개수 [math(M)]은 무의미해진다. 그래서 모델의 이름 그대로, 계산의 단순화를 위해 단 하나의 대표(representative)적인 기업 하나만을 상정하게 된다.