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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
雙 曲 線 / hyperbola기하학에 등장하는 도형의 일종으로, 평면 상의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합으로 정의한다. 이때 두 정점을 초점(foci)이라 한다.
대한민국 수학 교과과정에서 가장 처음 배우는 이차곡선이다. 일차함수(직선)와 유리함수를 중1 때 배우면서 쌍곡선을 처음 접하기 때문이다.
2. 쌍곡선의 방정식
아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다.- 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우: [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
-
그래프
- 조건: [math(|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}|=\textsf{const.})]
- 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( \sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) )], [math(\mathrm{F'}( -\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) )]
- 주축의 길이: [math(\displaystyle 2a )]
- 점근선: [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]
- 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
- 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]
- 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우: [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )]
-
그래프
- 조건: [math(|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{PF'}}|=\textsf{const.})]
- 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( 0,\,\sqrt{a^{2}+b^{2}}) )], [math(\mathrm{F'}( 0,\,-\sqrt{a^{2}+b^{2}}) )]
- 주축의 길이: [math(\displaystyle 2b )]
- 점근선: [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]
- 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )]
- 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}} )]
2.1. 유도
[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(c,\,0))], [math(\mathrm{F'}(-c,\,0))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2a)]여야 한다.(참고로 [math(\overline{\mathrm{AA'}})]를 주축의 길이라 한다.) 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle (\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})^{2}=4a^{2} )]
이것을 정리하면,
[math(\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}=2\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} )]
이것을 다시 제곱하고, 정리하면,
[math(\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) )]
이때, [math(b^{2} \equiv c^{2}-a^{2})]이라 놓고, 식을 정리함으로써 쌍곡선의 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
그런데, 이 방정식을 양함수 형태로 아래와 같이 고칠 수 있고,
[math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x\sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2} }} )]
이때, [math(x^{2} \to \infty)]일 때, 근호는 1에 한없이 가까워지고, 결국 쌍곡선은 어떠한 직선
[math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]
에 가까워지는데, 이 직선을 쌍곡선의 점근선이라 한다.
[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(0,\,b))], [math(\mathrm{A'}(0,\,-b))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(0,\,c))], [math(\mathrm{F'}(0,\,-c))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 주축의 길이인 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2b)]여야 한다. 따라서 위에서 다뤘던 논법과 유사하게 쌍곡선의 방정식을 유도할 수 있으며, 여기선 결과만을 적는다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )]
단, [math(a^{2}=c^{2}-b^{2})]이다. 이 경우 또한, 점근선이
[math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]
임을 위와 같은 논법으로 증명할 수 있다.
2.2. 일반형
쌍곡선 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.[math(\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 \quad )] (단, [math(AB<0)])
이때, [math(A \sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형 꼴로 바꾸면, 쉽게 어떤 쌍곡선을 나타내는 방정식인지 알 수 있게 된다. 괄호 안은 [math(x^2)]항과 [math(y^2)]의 계수의 부호가 반대임을 의미한다.
3. 반비례 관계의 그래프와의 관계
반비례 관계의 그래프 [math(y=ax^{-1})]을 고려해보자. 여기서 [math(a)]는 상수이다. 이 함수는 [math(\pi/4)][1]만큼의 회전변환을 통하여 위의 쌍곡선의 표준형으로 나타낼 수 있다.[math(\pi/4)]만큼의 회전변환을 기술하는 행렬은
[math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos{\dfrac{\pi}{4}} & -\sin{\dfrac{\pi}{4}} \\ \\ \sin{\dfrac{\pi}{4}} & \cos{\dfrac{\pi}{4}} \end{bmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} )]
이 변환에 의해 점 [math((x,\,y) \to (x',\,y'))]으로 옮겨진다고 하자. 그러면,
[math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned} )]
로 쓸 수 있고, 여기서
[math( \begin{aligned} x'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x - y) \\ y'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x + y) \end{aligned} )]
이때, 각각을 제곱하고 그 차를 구함으로써 다음을 얻는다.
[math( x'^2-y'^2=-2xy )]
우리가 다루는 함수가 [math(y=ax^{-1})]임을 상기하면,
[math( x'^2-y'^2=-2a )]
이것을 정리하면,
[math( \dfrac{x'^2}{2a}-\dfrac{y'^{2}}{2a}=-1 )]
으로 이것은 명백히 초점이 [math( \mathrm{F}(0,\,2\sqrt{a}) )], [math( \mathrm{F'}(0,\,-2\sqrt{a}) )]에 있는 쌍곡선을 기술하는 방정식임을 알 수 있다.
이번엔 두 곡선이 교점[math((x_0,\, y_0))]에서 어떻게 접하는지 알아보자. 두 곡선의 기울기를 각각 [math(m_1)], [math(m_2)]라고 하자. 쌍곡선 함수를 음함수의 미분을 통해 접선의 기울기를 구하면 아래와 같다.
[math( \begin{aligned} \dfrac{2x}{2a}-\dfrac{2y}{2a}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0 \,\to \, m_1=\dfrac{y}{x} \end{aligned} )]
반비례 관계 함수를 같은 방법으로 미분하면
[math( \begin{aligned} m_2=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= -\dfrac{a}{x^2} \end{aligned} )]
이제 교점에서 이 둘을 곱하면 아래와 같다.
[math( \begin{aligned} m_1m_2=-\dfrac{a}{x_0^2}\dfrac{x_0}{y_0}=-\dfrac{a}{x_0y_0} \end{aligned} )]
이때, 점[math((x_0,\, y_0))]은 두 곡선의 교점이므로 반비례 그래프 위의 점으로 볼 수 있다. 따라서 [math(x_0y_0=a)]이므로, 교점에서 두 기울기의 곱은 -1이다. 즉 교점에서 두 곡선은 직교한다.
따라서 반비례 관계의 그래프는 쌍곡선을 회전변환 시킨 곡선으로 쌍곡선의 한 종류이며, 회전하기 전의 쌍곡선과 회전한 후의 쌍곡선은 교점에서 직교한다.
4. 쌍곡선과 직선
4.1. 위치 관계
|
- [math(\boldsymbol{D>0})]: 쌍곡선과 직선은 두 점에서 만난다.
- [math(\boldsymbol{D=0})]: 쌍곡선과 직선은 접한다(즉, 쌍곡선과 직선은 한 점에서 만난다).
- [math(\boldsymbol{D<0})]: 쌍곡선과 직선은 만나지 않는다.
4.2. 쌍곡선의 접선
4.2.1. 쌍곡선 위의 점에서의 접선
이 문단에서는 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]에서 접선의 방정식을 구해볼 것이다.[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
우선 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 기울기를 구하자.
[math(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \,\to\, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y} )]
이상에서 해당 점 위의 접선의 방정식은
[math(\displaystyle y-y_{1}=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1}) )]
위 식을 정리하면, 다음의 접선의 방정식이 얻어진다.
[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
위와 같은 방법으로 접선의 방정식이 다음과 같음을 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )]
4.2.2. 특정한 기울기의 접선
구하는 직선의 방정식을 [math(y=mx+n)]으로 놓아 이것을 쌍곡선 방정식에 대입하고, [math(x)]에 대한 이차 방정식을 만든다. 그 후, 해당 이차 방정식이 중근을 가지면, 즉, 판별식이 0이 되면 직선과 쌍곡선은 접하므로 그것을 이용하면 된다.[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다.
[math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]
[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle n=\pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다.
[math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]
4.3. 쌍곡선의 광학적 성질
쌍곡선의 광학적 성질에 대하여 알아보자.위 그림과 같이 쌍곡선
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \end{aligned} )]
을 고려하자. 그리고 쌍곡선 위의 한 점을 [math({\rm P}(x_{1},\,y_{1}))]라 하고, 해당 점 위에서 그은 접선 [math(l)], 쌍곡선의 두 초점 [math({\rm F}(\sqrt{a^2+b^2},\,0))], [math({\rm F'}(-\sqrt{a^2+b^2},\,0))], 직선 [math(l)]과 [math(x)]축이 만나는 점 [math(\rm A)]를 고려하자.
직선 [math(l)]의 방정식은
[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
따라서 점 [math(\rm A)]의 좌표는 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle {\rm A}\biggl(\frac{a^2}{x_{1}},\,0 \biggr) )]
한편, [math(c^{2}=a^2+b^2)]라 놓으면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{{\rm FA}}&=c-\frac{a^2}{x_{1}} \\ \overline{{\rm F'A}}&=c+\frac{a^2}{x_{1}} \\ \overline{\rm{FP}}&=\sqrt{(x_{1}-c)^{2}+y_{1}^{2}} \\\overline{\rm{F'P}}&=\sqrt{(x_{1}+c)^{2}+y_{1}^{2}} \end{aligned})]
또, 점 [math(\rm P)]가 쌍곡선 위의 점이므로
[math(\displaystyle \frac{x_{1}^2}{a^2}-\frac{y_{1}^2}{b^2}=1 \quad \to \quad y_{1}^{2}=\frac{c^2-a^2}{a^{2}}(x_{1}^{2}-a^{2}) )]
이것을 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm{FP}}&=\frac{x_{1}}{a}\biggl( c-\frac{a^{2}}{x_{1}} \biggr)=\frac{x_{1}}{a}\overline{{\rm FA}} \\\overline{\rm{F'P}}&=\frac{x_{1}}{a}\biggl( c+\frac{a^{2}}{x_{1}} \biggr)=\frac{x_{1}}{a}\overline{{\rm F'A}} \end{aligned})]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm{FP} }}{\overline{\rm{FA}} }=\frac{\overline{\rm{F'P} }}{\overline{\rm{F'A} }} \quad \to \quad \overline{\rm{F'P} }:\overline{\rm{FP} }=\overline{\rm{F'A} }:\overline{\rm{FA} } \end{aligned})]
이것이 만족하려면 삼각형 [math(\rm PF'F)]에서 직선 [math(l)]은 [math(\angle \rm{F'PF})]의 각의 이등분선이어야 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \angle {\rm F'PA}=\angle {\rm APF} \end{aligned})]
결국 선분 [math(\rm F'P)]와 선분 [math(\rm FP)]를 연장해서 생기는 각 또한 맞꼭지각으로 같다.
이는 결과적으로 다음의 광학적 성질을 이끌어 낸다.
- 쌍곡선의 다른 초점을 향해 방사된 빛이 쌍곡선에 반사될 때, 초점으로 빛이 향한다. (적색광)
- 쌍곡선의 다른 초점에서 방사된 빛이 쌍곡선에 반사될 때, 빛의 경로는 초점과 반사점을 잇는 선분의 연장선과 같다. (청색광)
5. 기타
- 물리학에서, 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족시키면, 쌍곡선 운동을 하게 된다.
- 쌍곡선 함수가 이 쌍곡선과 관련되어 있다.
- 특수 상대성 이론에서 쌍곡선 기하학이 사용된다.
5.1. 비유적 표현
한아름 안고 백화점 나오는 손, 뒤따르는 거지의 쌍곡선
이곳에는 이 사회에서 반드시 존재해 있는 도회의 쌍곡선이 흐르고 있는 것이었다. 보라! 백화점 앞에 자선냄비와 굉장히 높은 빌딩 문간에 헌 누더기 잠자리와, 물건을 사가지고 가는 사람에게 매달리는 어린 거지를. 그곳에는 다 각각 다른 인생의 명암이 있는 것이었다. 이렇게 생각하고 보니 네온사인과 일루미네이션도 빈부귀천의 쌍곡선이 흐르는 것 같았다.
1933년 12월 27일 동아일보
이곳에는 이 사회에서 반드시 존재해 있는 도회의 쌍곡선이 흐르고 있는 것이었다. 보라! 백화점 앞에 자선냄비와 굉장히 높은 빌딩 문간에 헌 누더기 잠자리와, 물건을 사가지고 가는 사람에게 매달리는 어린 거지를. 그곳에는 다 각각 다른 인생의 명암이 있는 것이었다. 이렇게 생각하고 보니 네온사인과 일루미네이션도 빈부귀천의 쌍곡선이 흐르는 것 같았다.
1933년 12월 27일 동아일보
서로 만나지 않으면서 가까운 곳에서 출발해 멀어지는 쌍곡선의 특징에 착안해 '○○의 쌍곡선'과 같이 비유적 표현에 종종 사용된다. 대표적으로 '희비쌍곡선'이란 표현이 있다. 비슷한 시간이나 장소에서 발생/존재하지만 전혀 다른 방향으로 진행하는 속성을 가진 것을 비유한다.
5.2. 어원
- 한자어
- 쌍을 이루고 있는 곡선을 의미한다. 쌍곡선이라는 용어는 중국의 이선란(李善蘭)과 선교사 알렉산더 와일리(Alexander Wylie) 가 쓴 책「대미적습급(代微積拾級)」 (1859년) 에서 유래하였다. #
- 영문
6. 관련 문서
[1]
[math(45 \degree)]