1. 개요
Basel problem바젤 문제는 이탈리아 수학자 Pietro Mengoli가 제시한 수열의 합 문제이다. 이름 '바젤 문제'는 이 문제를 오랫동안 공략한 야코프 베르누이가 근무하였던 바젤 대학교에서 유래하였다.
2. 문제
[ 문제 ] Pietro Mengoli(1650)[1] 무한급수 [math(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^2})]의 값을 닫힌 형식으로 구하시오. |
3. 분석
비슷하지만 훨씬 쉬운 문제로,[math(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n(n + 1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac 1n - \frac 1{n + 1} \right) = 1)]
[math(\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac 1{n^2 - 1} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac 1{(n - 1)(n + 1)} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac 12 \left( \frac 1{n - 1} - \frac 1{n + 1} \right) = \frac 34)]
이 있다. 이 두 사실과 비교판정법을 사용하면, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^2})]이 수렴한다는 사실은 쉽게 알 수 있다. 하지만 정확한 수렴값은 알려져 있지 않았고, 심지어 수렴 속도도 상당히 느린 편에 속해 많은 수학자들이 계산에 어려움을 겪었다. 그렇게 답보 상태가 지속되던 가운데 1734년 레온하르트 오일러에 의해 정답 [math(\dfrac {\pi^2}6)]이 제시되었으며, 현재는 다양한 풀이 방법이 알려져 있다.
이 문제로부터 시작하여, 수학자들은 제타 함수 [math(\zeta (s) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^s})]을 정의하여 그 성질을 연구하기 시작했고 여기서 나온 유명한 가설이 리만 가설이다. 함수의 단순해 보이는 외형과 달리, 베른하르트 리만의 타계 이후 200여 년이 지난 지금까지도 풀릴 기미조차 안 보이는 희대의 난제.
3.1. 곱의 꼴
[math(\displaystyle \prod_{p\,\in\,\mathbb{P}}^{\infty} \frac{1}{1 - p^{-s}} )] (단, [math(\mathbb{P})]는 소수 집합)[2]
오일러는 무한합의 닫힌 형식을 구한 것에서 더 나아가 소수를 이용한 무한곱의 꼴로 변형하기도 했다.
4. 풀이
[ 풀이 1 ]
레온하르트 오일러의 풀이(1734)[3][4]
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[ 풀이 2 ]
푸리에 급수를 이용한 풀이
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[ 풀이 3 ]
오귀스탱 루이 코시의 풀이
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[ 풀이 4 ]
3Blue1Brown이 소개한 풀이
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[1]
야코프 베르누이가 제안한 문제로 알려져 있는데, 사실은 그 이전부터 유명했다.
[2]
바젤 문제는 저기서 [math(s=2)]인 경우이다.
[3]
오일러의 아이디어는 현대 수학을 기준으로 완전한 풀이라 말하기에는 조금 부족한 면이 있다. 이는 오일러가 상당한 직관주의자였음에 기인한다.
[4]
엄밀한 증명을 위해서는 복소해석학의 내용, 특히
바이어슈트라스 분해 정리가 필요하다.
[5]
이 부분을 엄밀한 논증 없이 넘어갔다. 후대 수학자들이
테일러 급수등을 활용하여 정당화 하였다.
[6]
마지막 등식은 허수 부분을 같다고 놓은 것이다.