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수와
연산 Numbers and Operations |
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1. 개요
分 配 法 則 / distributivity집합 [math(S)]와 [math(S)]에 대해 닫혀있는 두 이항 연산 [math(*, +)]가 정의되어 있을 때, [math(S)]의 임의의 원소 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대해
[math(a*(b+c)=(a*b)+(a*c))]가 성립하면 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의) 좌분배법칙이,
[math((b+c)*a=(b*a)+(c*a))]가 성립하면 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의) 우분배법칙이 성립한다고 하며,
위 두 가지가 모두 성립할 경우 집합 [math(S)]에서 연산 [math(*)]은 연산 [math(+)]에 대해 분배법칙 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의 (양쪽) 분배법칙). [1]이 성립한다([math(*)] distributes over [math(+)])고 한다.[2]
반례가 하나라도 나온다면 분배법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.
착각하면 안되는 것이, 분배법칙은 교환법칙과 무관하다, 일반적인 교환법칙이 성립하지 않는 경우는 물론, 심지어 [math(a * (b + c) \neq (b + c) * a)]여도 여전히 성립 가능하다. 대표적인 예시가 행렬과 사원수로, 2007년 개정 교육과정(~2013년 고교 입학생까지) 행렬이 고교수학에 남아 있던 시기의 학생이라면, 행렬에서 (덧셈에 대한 곱셈의) 분배법칙이 성립한다고 쓰여있는 것을 보았을 것이다.
2. 다항식의 분배법칙
연산자 앞뒤로 항이 2개씩 이상 있을 경우, 다음을 따른다.[math((a+b)*(c+d)=(a*c)+(a*d)+(b*c)+(b*d))]
만약 교환법칙도 성립한다면 다음의 법칙도 성립함을 알 수 있다. 자세한 사항은 인수분해 참조.
- [math((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2)]
- [math((a+b)(a-b)=a^2-b^2)]
분배법칙이 성립하는 다항식은 선형성(linearity)을 띤다라고 한다.
3. 분배법칙이 일반적으로 성립하는 연산
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.- [math(\times)] ( 곱셈): 복소수[3]와 사원수 범위
- [math(\cdot)] ( 내적: 벡터 범위)
- [math(*)] (합성곱: 라플라스 변환 관련 연산)
- [math(\otimes)] ( 외적: 벡터 범위)
- [math(\times)] (곱셈: 곱셈이 정의된 행렬 범위)
- [math(\circ)] (아다마르 곱: 행렬 범위)
- [math(')] ( 미분)[4]
- [math(\int)]( 적분)[5]
4. 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.- [math(+)] ( 덧셈)[A]
- [math(-)] ( 뺄셈)[A]
- [math(\div)] ( 나눗셈, 당연히 0으로 나누면 안 된다.)[B]
- [math(^\wedge)] ( 제곱)[B]
- [math(\uparrow)] ( 테트레이션)
- [math(\circ)] (둘 이상의 함수의 합성)[B]
- [math(\#)] (연결합: 위상)
5. 같이 보기
[1]
[math(+)]의 분배법칙이 아니라 [math(*)]의 분배법칙임에 유의. '~에 대한'과 '~의'를 혼동하지 않아야 한다.
[2]
여기에서 [math(*)]과 [math(+)]는 실수(복소수)의 곱셈ㆍ덧셈을 의미하는 것이 아니다. 그저 집합 [math(S)]에서 닫혀 있는 어떠한 두 연산을 나타내는 기호일 뿐이며, [math(S)]가 실수(복소수)의 부분집합이 아닐 수도 있다. 그 예시는 아래의 나오는 행렬에서의 분배법칙.
[3]
덧셈 및 뺄셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립한다. [math(a(b+c)=ab+ac)], [math((a+b)c=ac+bc)], [math(a(b-c)=ab-ac)], [math((a-b)c=ac-bc)]
[4]
[math((af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x))]
[5]
[math(\displaystyle \int (af(x) + bg(x))\,{\rm d}x = a\int f(x)\,{\rm d}x + b\int g(x)\,{\rm d}x)]
[A]
덧셈 및 뺄셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립하는 것이지, 덧셈 및 뺄셈의 분배법칙이 성립하는 것이 아니다.
[A]
[B]
단, 좌분배법칙만 성립하지 않으며, 우분배법칙은 성립한다. 좌분배법칙이 성립하지 않으므로, 일반적으로 성립하지 않는다는 정의에 들어맞는다. 나눗셈에서는 [math((a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c)]) 이고, 합성함수에서는 [math((f + g) \circ h = (f \circ h) + (g \circ h))] 이며, 제곱에서는 곱셈에 대한 거듭제곱의 우분배법칙 [math((ab)^c=a^c b^c)]이 성립한다.
[B]
[B]