최근 수정 시각 : 2022-07-21 19:19:36

극값


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1. 개요2. 오개념
2.1. 극값의 정의2.2. 극값의 개수
3. 활용4. 고교 교육과정의 변천5. 여러 함수의 극값6. 기타

1. 개요

극댓값/극대치(, local maximum)과 극솟값/극소치(, local minimum)을 통틀어 극값/극치(, local extremum)라고 하며, 극대점(, local maximum point)과 극소점(, local minimum point)을 통틀어 극점(, local extremum point)이라고 한다. 'local'이라는 영단어는 '부분적', '국소적'이라는 뜻이다. 다시 말해서 함수의 그래프의 전체가 아닌 특정 부분만을 놓고 대소를 비교했을 때 가장 함숫값이 크면 극대, 가장 작으면 극소라고 하는 것이다. 반면 함수의 그래프 전체를 놓고 대소를 비교하는 개념은 최댓값/최대치(, global maximum), 최솟값/최소치(, global minimum)이다. 'global'이라는 영단어는 '전체적'이라는 뜻이다. 이 개념들의 정의는 다음과 같다.
  • 위상 공간 [math(X)]와 함수 [math(f(x))]에 대하여
    • [math(x\in X)]의 근방 [math(x\in U\subseteq X)]가 임의의 [math(y\in U)]에 대하여
      • [math(f(y)\leq f(x))]이면 [math(x)]는 [math(f)]의 극대점, [math(f(x))]는 [math(f)]의 극댓값
      • [math(f(y)\geq f(x))]이면 [math(x)]는 [math(f)]의 극소점, [math(f(x))]는 [math(f)]의 극솟값
    • [math(x\in X)]가 임의의 [math(y\in X)]에 대하여
      • [math(f(y)\leq f(x))]이면 [math(x)]는 [math(f)]의 최대점, [math(f(x))]는 [math(f)]의 최댓값
      • [math(f(y)\geq f(x))]이면 [math(x)]는 [math(f)]의 최소점, [math(f(x))]는 [math(f)]의 최솟값
다른 말로는, 극대가 되는 점을 극대점, 극소가 되는 점을 극소점, 최대가 되는 점을 최대점, 최소가 되는 점을 최소점이라고 한다. 이 정의에 따르면 최대점은 극대점이며, 최소점은 극소점이다. 역은 성립하지 않는다. 최대점, 최소점, 극대점, 극소점은 모두 존재할 필요가 없으며, 한 그래프에 여럿이 존재할 수 있다. 불연속점이나 그래프의 양 끝점을 제외하면 기하학적으로 극대점은 위로 우뚝 솟은 모양이고 극소점은 아래로 움푹 꺼진 모양이다.

2. 오개념

2.1. 극값의 정의

고교 교육과정에서 다항함수를 많이 다루고, 자연스럽게 극값의 개념도 다항함수에서 가장 많이 언급되기 때문에 학생들은 극값을 ' 미분계수가 0이 되는 지점의 함숫값' 정도로 오해하곤 한다.[1] 다항함수의 극값은 죄다 그렇기 때문이다. 이 오개념은 결국, '어떤 점이 극점이 되려면 그 점에서 미분가능해야 하며, 따라서 연속이어야 한다'라는 전제를 내포한다. 그러나 이것들은 극값의 정의에 비추어 보면 모두 틀린 생각으로, 다음과 같이 첨점(미분불가능점), 불연속점, 그래프의 양 끝점도 얼마든지 극점이 될 수 있다. 비록 고등학교에서는 상술한 대학 수준의 정의 대신 후술할 더욱 쉬운 정의를 사용하지만, 결국 맥락은 같다.
파일:namu_극점_1.svg
[math(f(x) = |x|)]
[math((0,\,0))]을 제외하면 [math((0,\,0))]보다 함숫값이 크거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 [math((0,\,0))]은 극소점이다.[2]

파일:namu_극점_2.svg
[math(f(x) = |x| + {\bold 1}_{\{0\}}(x))][3][4]
[math((0,\,1))]을 제외하면 [math((0,\,1))]보다 함숫값이 작거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 [math((0,\,1))]은 극대점이다.

파일:namu_극값-3.svg
[math(f(x)= x - lfloor x rfloor)] [math((0 \leq x < 2) )][5]
[math((1,\,0))]을 제외하면 [math((1,\,0))]보다 함숫값이 크거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 [math((1,\,0))]은 극소점이다.

파일:namu_극점_4.svg
[math(f(x)= x^3 - x \; (|x| \leq 1))]
[math((-1,\,0))]을 제외하면 [math((-1,\,0))]보다 함숫값이 크거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 [math((-1,\,0))]은 극소점이다. 반대로, [math(x=1)]을 포함하면서 [math((1,\,0))]을 제외하면 [math((1,\,0))]보다 함숫값이 작거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 [math((1,\,0))]은 극대점이다.

파일:namu_극점_5.svg
[math(f(x) = 1)]
상수함수는 함숫값이 일정하므로, 위와 같이 직선으로 나타나는 상수함수의 그래프 위의 모든 점은 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이다. 따라서 상수함수는 극값을 갖는 점([math(x)]값)이 무수히 많이 존재한다. 다만 그 무수히 많은 점들의 '극값' 자체는 동일한 함숫값이 되므로 '극값'은 오직 하나이며, 위 그래프에서는 1이 유일한 극값이 된다. 만약 정의역이 단 하나의 수이면 그래프는 하나의 점으로 나타나므로 극점은 오직 하나이다.

2.2. 극값의 개수

극값이란 극점의 [math(\boldsymbol y)]좌표이므로, 서로 다른 둘 이상의 극점의 [math(y)]좌표가 같다면 그 [math(y)]좌표에 해당하는 극값은 한 개로 세는 것이다. 다음 예를 보자.

파일:나무_극값_수정.svg
이는 [math(f(x)=x^2(x-2)^2)]의 그래프이다. 극점은 분명히 [math((0,\,0))], [math((1,\,1))], [math((2,\,0))]으로 세 개이지만, 두 극소점의 [math(y)]좌표가 같기 때문에 극값은 [math(0)], [math(1)] 두 개인 것이다. [math(0)]을 두 번 셀 수는 없는 노릇이다. 요컨대, 극점의 개수와 극값의 개수는 항상 같지는 않다. 사차함수가 이러한 성질을 갖는 최소 차수의 다항함수로, 위 그림과 같이 좌우 대칭이고 극점이 세 개인 개형인 경우가 그렇다. 고등학교 수학의 범위에서는 사차함수, 사인 함수, 코사인 함수가 조각적 정의 없이도 이러한 성질을 가질 수 있다.

===# 예제 #===
위에서 설명한 오개념을 함정으로 삼아서 허를 찌른 문제가 2020년 EBS 수능완성 수학 나형 실전 모의고사 3회 30번으로 수록되었다.

파일:2020 수능완성 극값 문제.png

[math(g(x))]의 그래프는 결국, 다음 예시와 같이 [math(x\leq a)]에서는 [math(f(x))]의 그래프와 같고, 나머지는 왼쪽의 [math(f(x))]의 그래프와 연속이면서 기울기가 1인 직선으로 이루어져 있다.

파일:수능완성 극값 문제_예시.png

[math(h(a))]에 관한 단서를 통해 [math(f(x))]를 알아내야 하는데, 그 과정에서 여러 개형의 [math(g(x))]의 그래프가 등장한다. 이때 극값의 개념을 제대로 알고 있는지가 판가름난다. 우선 실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했다.

파일:2020 수능완성 극값 문제 해설.png

세 경우 중 첫째 경우는 별로 문제가 되지 않을 것이다. 둘째 경우와 셋째 경우를 자세히 설명하면 다음과 같다.

파일:수능완성 극값 문제_예시.png

[math(g(x))]의 그래프가 위와 같으면 극댓값은 1개, 극솟값은 2개로 [math(h(a)=1-2=-1)]이다. 꼭 미분가능해야만 극점인 것은 아니기 때문이다.

파일:수능완성 극값 문제_예시2.png

[math(g(x))]의 그래프가 위와 같으면 극댓값은 1개, 극솟값은 1개로 [math(h(a)=1-1=0)]이다. 두 극소점의 [math(y)]좌표가 같기 때문에 극소점은 두 개이지만 극솟값은 한 번만 세기 때문이다.

참고로 [math(f(x)=x(x-2)(x+2)^2)]이고 정답은 [math(f(4)=288)]이다.
2017학년도 6월 고3 나형 21번에서는 첨점도 극점이 될 수 있다는 점을 함정으로 삼았는데, 여기에 걸려든 학생이 많아서 21번치고는 매우 쉬운 문제였는데도 정답률이 38%에 머물렀다.

파일:2017년 6월 나형 21번.png
문제가 된 선지는 ㄴ이었는데, [math(f'(0)=f'(2)=0)]이고 [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이므로 [math(f(x))]는 [math(x=0)]에서 극대, [math(x=2)]에서 극소이다. 따라서 다음과 같은 그림으로 ㄴ이 참임을 쉽게 알 수 있다.

파일:2017년 6월 나형 21번 해설.png
주의할 점은 첨점도 극점이므로 극소점은 한 개가 아닌 두 개라는 것이다. 그림에는 [math(f(0)f(2)=0)]인 경우가 생략되어 있지만, 그래프의 개형은 위 그림과 다를 것이 없다.

3. 활용

  • 함수 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능하고 극값 [math(M)]을 가지면, [math(f'(a)=0)]이고 [math(f(a)=M)]이다. 그러나 [math(f'(a)=0)]이라고 해서 [math(f(a))]가 극값인 것은 아니며,[6], 극점에서 미분불가능하면 미분계수가 정의되지 않으므로 [math(f'(a))]의 값을 정할 수 없다.
  • 실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수가 극값을 가지면 일대일대응이 아니다. 역도 성립한다.
  • 다항함수의 극점에 관한 여러 공식에 대해서는 다항함수/공식 문서 참고.
  • 다변수함수에서도 극값을 생각해볼 수 있다. 이때, 어떤 변수에 대해서 최댓값, 다른 변수에 대해서 최솟값인 점은 안장점이 된다.

4. 고교 교육과정의 변천

고등학교에서는 2009 개정 교육과정에서 수정된 극값의 정의를 지금까지 가르치고 있는데, 먼저 이전 2007 개정 교육과정의 극값의 정의는 다음과 같았다.
  • 함수 [math(f(x))]가 [math(x=a)]를 경계로 증감 상태가 바뀌면 [math(f(a))]는 극값
    • 증가에서 감소로 바뀌면 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 극대, [math(f(a))]는 극댓값, [math((a,\,f(a)))]는 극대점
    • 감소에서 증가로 바뀌면 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 극소, [math(f(a))]는 극솟값, [math((a,\,f(a)))]는 극소점
이 정의는 직관적인 이해를 도우려는 의도는 좋았으나, 다음과 같은 모순을 낳기 때문에 현재의 정의로 수정되었다. 다음 정리와 그래프를 보자.
  • 닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(x))]의 극값과 구간의 양 끝점의 함숫값([math(f(a))]와 [math(f(b))]) 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
파일:namu_극점_6_NEW.svg [math(f(x)=\begin{cases}\begin{aligned}&-x+2\quad & (0\leq x<1)\\&1\quad & (1\leq x<2)\\&2x-3\quad & (2\leq x<3)\\&3\quad & (3\leq x<4)\\&-x+7\quad & (4\leq x\leq 5)\end{aligned}\end{cases})]
극값을 증감 상태의 변화로 정의하면 위 그래프는 닫힌 구간 [math([0,\,5])]에서 극값을 갖지 않는다. 왜냐하면 증감 상태가 바뀌는 그 경계는 정의에 따르면 [math(x=a)], 곧 '한 점'이 되어야 하는데 그래프에 그런 '한 점'은 없기 때문이다.[7] 여기에서 위의 정리를 사용하면, 위 그래프의 최댓값과 최솟값은 [math(f(0)=f(5)=2)]가 되어야만 한다. 왜냐하면 이 그래프가 닫힌 구간 [math([0,\,5])]에서 극값을 갖지 않는다고 했으므로 이 구간의 최댓값과 최솟값은 결국 구간의 양 끝점에서 찾아야 하기 때문이다. 그런데 위 그래프의 최댓값과 최솟값은 같으므로 이 함수는 상수함수라는 이상한 결론이 나오고 만다. 이 문제를 극복하기 위하여 2009 개정 교육과정부터는 대학 수학의 정의를 쉽게 개량한 다음의 정의를 쓰게 되었다.
  • 함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(x=a)]를 포함하는 어떤 열린 구간에서
    • [math(f(x)\leq f(a))]이면 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 극대, [math(f(a))]는 극댓값, [math((a,\,f(a)))]는 극대점
    • [math(f(x)\geq f(a))]이면 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 극소, [math(f(a))]는 극솟값, [math((a,\,f(a)))]는 극소점
이렇게 정의하면 위 그래프의 극솟값은 1이고 극댓값은 3이 되어, 닫힌 구간 [math([0,\,5])]에서 1(극솟값), 3(극댓값), 2(맨 왼쪽 점), 2(맨 오른쪽 점) 중 가장 큰 3이 최댓값이 되고 가장 작은 1이 최솟값이 되므로 아무 문제가 없다. 비록 변경 이전의 정의에 비해 직관성이 떨어지고 이해하기 어렵다는 단점이 있으나, 오개념이나 모순이 발생하지 않는 선에서 정의하는 것이 더욱 중요하므로 이렇게 변경되었다.

5. 여러 함수의 극값

6. 기타

'극댓값', '극솟값', '최댓값', '최솟값'은 각각 '극대()', '극소()', '최대()', '최소()'라는 한자어와 '값'이라는 순우리말을 합성한 단어이고 뒤 단어 '값'의 첫소리 'ㄱ'이 된소리로 나므로 사이시옷을 넣는다. 그러나 '극대점()', '극소점()', '최대점(), '최소점()'은 한자어와 한자어()의 결합이므로 사이시옷을 넣지 않는다.
[1] 상당히 미흡한 설명인데, 심지어 미분계수가 0이지만 극값이 아닌 경우도 존재하므로 더욱 문제가 심하다. [math(y=x^3)]의 [math((0,\,0))]이 대표적인 예. [2] 이 특징을 극대화한 함수 중 하나가 바이어슈트라스 함수인데, 모든 점이 첨점이면서 모든 점에서 연속이다. [3] [math({\bold 1}_{\{0\}}(x))]는 [math(x \in \{0\})]일 경우에만 함숫값이 1이고 나머지 경우에는 함숫값이 0인 집합 판별 함수이다. [4] 중등 교육과정에서는 집합 판별 함수를 가르치지 않기 때문에 아래의 조각적 정의가 더 익숙할 것이다.
[math(f(x) = \begin{cases} 1 & (x =0) \\ |x| & (x \neq 0) \end{cases})]
[5] [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다. 입말로 '바닥 함수', '가우스 기호(함수)'라고 불리는 그 함수다. [6] [math(y=x^3)]의 그래프 위의 점 [math((0,\,0))]이 대표적인 예이다. [7] 위에서 설명할 때 두 가지 경우만으로 분류한 것에서 짐작할 수 있듯이, '증감 상태'에는 '증가'와 '감소'밖에 없으며, '증가도 감소도 아닌 상태'는 생각하지 않는다. [특이점] 함숫값이 발산하는 곳이다.