최근 수정 시각 : 2024-01-23 13:47:17

해석적 연속

해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
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1. 개요2. 연속함수에서의 정의역의 확장3. 복소해석학에서의 해석적 연속
3.1. 일반적인 성질3.2. 해석적 연속의 활용3.3. 모노드로미(monodromy)3.4. 리만 곡면(Riemannsche Fläche)

1. 개요

analytic continuation /

대개 복소해석학을 매개로, 기존 함수의 치역을 유지한 채 정의역을 더 넓은 범위로 확장하는 것을 뜻한다. 해석적 확장, 해석적 접속이라고 하기도 한다. 보통의 경우 해석적 확장은 해석함수(analytic function), 즉 어떤 점 근방에서건 테일러 급수가 존재하며 원래 함수로 수렴하는 함수로 이루어져야 하는 조건이 요구된다. 복소해석학에서는 열린 집합에서 미분가능한 함수는 항상 해석함수라는 사실이 알려져 있으므로[1], 해석함수로 확장하는 것은 복소수 위에서 미적분을 하기 위한 최소한의 조건인 것이다.

교과과정상에서 해석적 연속을 다루는 예로 삼각비 삼각함수가 있다. 중학교 수학에서의 삼각비는 유클리드 공간상의 직각삼각형이라는 제약 때문에 정의역이 [math((0, \pi / 2))][2]로 제한되었으나, 고등학교 수학으로 가면 '일반각'을 도입해 범위를 실수 전체로 확장하는 과정을 거친다. 이후 쌍곡선 함수 오일러 공식을 배우면 복소수로 한 번 더 범위를 확장할 수 있게 된다. 지수함수와 삼각함수의 0점에서의 테일러 급수는 복소평면 전체에서 수렴하기 때문에, 여기서 이루어지는 정의역의 확장은 해석함수로 이루어지는 해석적 연속이 됨을 알 수 있다. 물론 해석적 연속이 항상 유일하게 존재하는 것은 아니며, 아예 존재하지 않는 경우도 있다.

보통의 경우 해석적 연속은 복소해석학에서 이루어지는 것을 일컫지만, 정말 드물게 고급 정수론에서 자연수 위에 정의된 함수를 테일러 급수를 이용해 p진수체(p-adic number field)로 확장하는 Kubota-Leopoldt의 p진 L-함수(p-adic L-function) 등등의 이론도 해석적 연속이라 부르는 경우도 있다.

2. 연속함수에서의 정의역의 확장

관련된 성질로 위상수학의 [math(T_2)]공간이 지닌 성질이 있다. [math(T_2)] 공간에 대하여 연속함수는 다음 성질을 지니는 것이 증명되어 있다.
위상 공간 [math(X)]와 [math(T_2)] 공간 [math(Y)]에 대하여 [math(f, g: X\to Y)]가 연속함수라면 다음이 성립한다.
  • [math(X)]의 조밀부분집합 [math(D)][3]에 대하여 [math(\forall x \in D)]에서 [math(f|_{D}(x)=g|_{D}(x))]라면 [math(f=g)]

※[math(f|_{D}, g|_{D})]는 정의역을 [math(D)]로 한정지은 함수 [math(f,g)]를 의미.
복소해석학에서 다루는 복소평면 [math(\mathbb{C})]와 실수 [math(\mathbb{R})]는 모두 유클리드 거리함수가 적용되는 거리 공간이므로 [math(T_4)] 공간인데, [math(T_4)] 공간은 [math(T_2)] 공간이기도 하므로 위의 전제조건을 만족시킨다. 다만 조밀부분집합에서 잘 정의되는 연속함수를 해석적연속시킬 일이 별로 없다는 게 함정. X의 위상을 잘 조작해서 D를 조밀하게 만들면 이젠 f가 불연속이 되는 진퇴양난에 빠지기 때문이다. 유클리드 거리를 사용하는 평범한 위상이 주어진 복소평면의 부분집합(실수 집합 [math(\mathbb{R})]도 마찬가지)은 복소평면상의 조밀부분집합이기 힘들기 때문에 위의 정리를 그대로 쓸 수는 없다. 때문에 실제론 두 함수가 다르다고 가정하고 두 함수의 차이를 새로운 함수로 둔 뒤, 테일러 급수를 취하는 방법으로 모순을 보여서 두 함수가 같다는 것을 보이는 방법을 사용한다.

3. 복소해석학에서의 해석적 연속

3.1. 일반적인 성질

복소함수 [math(f : X \to \mathbb{C})]의 해석적 연속을 엄밀하게 정의한다면, [math(X)]를 포함하는 열린 집합 [math(U)]와 [math(\tilde{f}|_X = f)]를 만족시키는 해석함수 [math(\tilde{f} : U \to \mathbb{C})]의 쌍 [math((U, \tilde{f}))]로 생각할 수 있다.

해석적 연속의 정의에서 확장된 정의역 [math(U)]를 명시하는 이유는, [math(U)]에 따라서 가능한 해석적 연속이 달라질 수 있기 때문이다. 이것을 가장 명확히 볼 수 있는 예시가 복소로그함수인데, 복소로그함수 문서를 참고하면 임의의 편각 [math(\alpha)]에 대해 일반각 [math(\alpha)] 방향의 반직선을 잘라낸 집합 [math(U_{\alpha} = \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{\ge 0} e^{i \alpha})] 위에서 정의된 로그함수의 해석적 연속을 생각할 수 있고, [math(\alpha)]가 변함에 따라 이들은 전부 다른 함수가 됨을 확인할 수 있다. 다만 열린 집합 [math(U)] 위에서 해석적 연속이 만약 존재한다면 그 해석적 연속은 유일하다. 이는 다음의 정리로 보일 수 있다.
복소평면의 연결된 열린 집합 [math(U)] 위의 수열 [math(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}})]이 [math(x \in U)]로 수렴하고, 두 해석함수 [math(f, g : U \to \mathbb{C})]가 모든 [math(n)]에 대해 [math(f(x_n)=g(x_n))]을 만족시키면, [math(f=g)]여야만 한다.
따라서 해석적 연속을 정확하게 언급하려면 열린 집합을 명시하고 그 위에서의 해석적 연속을 생각하는 것이 맞고, 아니면 아예 가능한 모든 해석적 연속들의 모임을 모두 생각하는 경우도 있다.

어떤 점에서 테일러 급수가 수렴하는 근방을 찾을 수 있으면 그 점 근방에서 정의된 해석적 연속을 바로 생각할 수 있다. 예를 들어서 [math(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^n)]이라는 함수가 열린 영역 [math(|z|<1)]에서 정의되었다고 할 때, 점 [math(z=-1/2)]에서 [math(f)]의 테일러 급수를 구하면 [math(f_1(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (2/3)^n (z+1/2)^n)]임을 알 수 있고, 이 급수는 [math(|z+1/2|<3/2)]인 더 큰 원에서 수렴하므로 [math(f_1(z))]는 [math(f(z))]의 해석적 연속이 된다. 물론 이 예시에서는 [math(f(z)=1/(1-z))]임을 바로 관찰할 수 있지만, 미지의 함수의 해석적 연속을 찾고 싶을 때 정의역의 경계점에서의 테일러 급수를 생각하는 건 종종 유용한 테크닉이다.

물론 이런 방식이 항상 가능한 것은 아니다. 함수 [math(f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2} z^{2^n})]는 닫힌 단위원 [math(|z|\le1)]에서 잘 정의된 연속함수이고 이 단위원의 열린 내부 [math(|z|<1)]인 위에서는 해석함수지만, 경계 [math(|z|=1)] 위의 어떤 점을 잡아도 테일러 급수가 존재하지 않는다. 일반적으로 모든 영역으로의 해석적 연속은 특수한 경우가 아니면 불가능하고, 따라서 보통 해석적 연속이 가능한 가장 넓은 영역을 찾는 것이 목표가 된다.

3.2. 해석적 연속의 활용

3.3. 모노드로미(monodromy)

3.4. 리만 곡면(Riemannsche Fläche)


[1] 실수에서는 미분가능성이 복소수보다 조건이 약하므로, 미분 가능함에도 해석함수가 아닌 함수가 존재한다. [2] 중학교 과정에서는 [math(0\degree < \angle A < 90\degree)] 같은 식으로 표기한다. [3] 대충 말해서 X의 임의의 원소를 D내부의 원소의 극한으로 나타낼 수 있다는 뜻이다.