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선형대수학 Linear Algebra |
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Gram-Schmidt method[1]
1. 개요
그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt method)은 [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]을 스칼라로 갖는 유한차원 내적 공간의 기저로부터, 정규직교(orthonormal) 기저를 얻는 과정이다. 이 과정에 따르면, 모든 유한차원 내적공간은 정규직교 기저를 갖는다.2. 직교기저와 정규직교기저
기저의 모든 성분벡터들이 직교일 때(즉 기저가 단위벡터일때), 그 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 한다. 또, 직교기저의 모든 성분벡터들의 노름이 1일 때, 그 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.3. 구체적인 과정
유한차원 내적 공간[math(\left(V,\left<\cdot, \cdot\right>\right))]의 기저 [math(\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\})]를 생각하자.[math(\displaystyle u_{i}:=v_{i}-{\displaystyle \sum_{j<i}}\frac{\left<v_{i}, u_{j}\right>}{\left<u_{j}, u_{j}\right>}u_{j})]
[math(\displaystyle w_{i}:=\frac{u_i}{|\left<u_{i}, u_{i}\right>|})]
[math(\displaystyle w_{i}:=\frac{u_i}{|\left<u_{i}, u_{i}\right>|})]
여기서, [math(\left\{u_{1},\ldots,u_{k}\right\})]가 직교 기저라는 것은 귀납적으로 보일 수 있다. [math(w_{j})]의 크기는 [math(1)]이므로, [math(\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\})]는 정규직교 기저이다.
4. 응용
-
임의의 [math(A\in \text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right))]에 대해, [math(U\in \text{U}\left(n\right))]가 존재하여[2], [math(AU^{-1})]은 하삼각행렬(lower triangular matrix)[3]이다.
[math(A=\left(v_{1}\ldots v_{n}\right)\in \text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right))]의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터 [math(w_{i})]를 이용하여, [math(U=\left(w_{1}\ldots w_{n}\right))]라 하자. 그러면 첫번째에 의해, [math(AU^{-1})]는 하삼각행렬임을 알 수 있다.
- 그람 슈미트 과정에서 QR decomposition을 유도할 수 있다.