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* 무한급수(테일러 급수)로 사인과 코사인으로 나타내는 것을 '정의'로 인정하되 해석기하학적인 정의(평면좌표와 원의 방정식을 이용한 정의)보다 앞서 서술하지 않는다. |
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삼각함수의 관련 둘러보기 틀
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1. 개요
| 三 角 函 數 | trigonometric function[1] |
삼각비에서 쓰이는 정의역을 예각[2]에서 일반각[3]으로 확장시킨 것을 삼각함수라고 한다.
- [일반각과 삼각비에 대해 알아보기]
- ------
일반각을 정의하는 방법에는 도([math(\degree)])를 단위로 하는 육십분법과 라디안([math(\rm rad)])을 단위로 하는 호도법이 있다.-
육십분법(단위: [math(\degree)])은 시초선을 기준([math(0\degree)])으로 하여 1회전을 [math(360\degree)]로 정의하는 각이다.
자세한 내용은 각 문서 참고하십시오.
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호도법(단위: [math(\rm rad)])은 부채꼴에서 중심각의 크기와 호의 길이가 반지름에 비례한다는 특징과, '원주가 지름의 [math(\pi)]배(=원주가 반지름의 [math(2\pi)]배)'라는 성질을 이용하여 정의되는 각이다.
차원이 없다.[4]
자세한 내용은 라디안 문서 참고하십시오.
-
삼각비를 일반화, 즉 넓은 범위로 확장한 함수(충분조건)이므로 그 기호와 기원 역시 삼각비의 기원과 동일한 것으로 알려져 있다.[5]
자세한 내용은 삼각비 문서 참고하십시오.
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육십분법(단위: [math(\degree)])은 시초선을 기준([math(0\degree)])으로 하여 1회전을 [math(360\degree)]로 정의하는 각이다.
2. 정의
2.1. 해석기하학: 좌표와 원으로 정의하기
좌표평면 상 원점 [math(\rm O)]가 중심인 단위원을 고려하자. 단위원 위의 한 점 [math({\rm P}(x,\,y))]에 대하여 [math(x)]축의 양의 방향을 시초선[6]으로 잡는다. [math(\rm O)]를 중심으로 시초선에서 반시계 방향 회전을 각의 양의 방향으로 잡고, 그 각의 크기를 [math(\theta)]라고 하면, 다음으로 정의한다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\theta}&:=y \\ \cos{\theta}&:=x \\ \tan{\theta}&:=\frac{y}{x} \quad (x \neq 0) \end{aligned} )] |
동경이 몇 사분면에 위치하는지에 따라 삼각함수의 부호는 달라진다.
| <colbgcolor=#efefef,#555555> 동경의 위치 | 1사분면 | 2사분면 | 3사분면 | 4사분면 |
| 사인의 부호 | [math(+)] | [math(+)] | [math(-)] | [math(-)] |
| 코사인의 부호 | [math(+)] | [math(-)] | [math(-)] | [math(+)] |
| 탄젠트의 부호 | [math(+)] | [math(-)] | [math(+)] | [math(-)] |
그동안 직각삼각형으로만 정의해왔던 것에 익숙한 사람은 위와 같은 정의가 낯설 수 있다. 하지만 잘 생각해보면 [math(\theta)]가 예각일 때, 위의 관계식은 빗변의 길이가 1인 직각삼각형에서 삼각비를 정의했던 것과 완전히 같다는 것을 알 수 있다. 차이점이라면 더 이상 (음수가 될 수 없는) '길이' 개념에서 벗어나 '좌표'를 이용하기 때문에 직각삼각형에 구애받을 필요가 없고, 따라서 [math(\theta)]가 일반각으로 확장된다.
다음과 같이 삼각함수의 역수를 정의한다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sec{\theta}&:=\frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{1}{x} \quad &&(x \neq 0) \\ \csc{\theta}&:=\frac{1}{\sin{\theta}}=\frac{1}{y} \quad &&(y \neq 0) \\ \cot{\theta}&:=\frac{1}{\tan{\theta}}=\frac{x}{y} \quad &&(y \neq 0) \end{aligned} )] |
좌표평면 상 원점 [math(\rm O)]가 중심이고, 반지름이 [math(r)]인 원 위의 점 [math((x,\,y))]에 대해서도 동일한 방법으로 정의가 가능하며, 아래와 같다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\theta}&:=\frac{y}{r} \\ \cos{\theta}&:=\frac{x}{r} \\ \tan{\theta}&:=\frac{y}{x} \end{aligned} )] |
주의해야 할 것은 거듭제곱 꼴로 나타낸 경우, 예를 들어 [math(\sin^{n}{\theta})], 그것은 [math(n)]번 함수를 합성한 것이 아닌 함숫값의 [math(n)]제곱의 값을 의미한다. 즉,
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\theta}=(\sin{\theta})^{2} \neq \sin{(\sin{\theta})} \end{aligned} )] |
2.2. 해석학: 무한급수로 정의
, '비율 판정법'에 대한 내용은
급수(수학)
문서
, 사인함수와 코사인함수 이외의 다른 삼각함수에 대한 테일러 급수에 대한 내용은
테일러 급수/목록
문서
참고하십시오.무한급수를 활용하여 삼각함수를 다음과 같이 테일러 급수로도 정의할 수 있다. 이 방법은 해석기하학에 의존하지 않으며 복소수나 정사각행렬 등으로도 확장할 수 있다. 이렇게 정의하면 원주율 [math(\pi)]는 코사인 함수의 근 중 가장 작은 양수의 2배로 정의된다. 기하학적으로 [math(\cos{(\pi/2)}=0)]을 반대로 접근하는 것인 셈. 그러면 단위원의 넓이는 [math(\pi)]이고 원주는 [math(2\pi)]가 되는데, 당연하겠지만 기존 기하학의 결과와 완전히 일치한다. 삼각함수를 기하학적으로 정의하면 삼각함수의 미적분에서 [math(\displaystyle \lim_{x\to0}\{(\sin x)/x\} = 1)]임을 증명하는 과정에서 기하학적인 원넓이의 공식을 이용하기 때문에 순환논리에 빠지지만(아래 특수한 극한값을 갖는 합성함수 항목 참조), 무한급수로 삼각함수를 정의하면 이 순환논리를 피할 수 있다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin x &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\&= x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots \\ \cos x &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}\\ &= 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots \end{aligned} )] |
- [비율판정법으로 수렴·발산 여부 확인하기]
- ------
수열 [math(\{a_n\})]을 다음과 같이 가정하자.
그러면 이 수열에 관한 [math(\sin x)], [math(\cos x)]의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.[math(a_n := \dfrac{x^n}{n!})]
각 급수의 일반항의 비율은[math(\begin{aligned} \displaystyle \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^{k}a_{2k+1} \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k}\end{aligned})]
이며, 이들의 절댓값의 극한을 한꺼번에 구하기 위해 아래와 같이 일반화할 수 있다:[math(\begin{aligned} \sin x &: -\dfrac{a_{2k+3}}{a_{2k+1}} \\ \cos x &: -\dfrac{a_{2k+2}}{a_{2k}} \end{aligned})]
이때 [math(x)]가 고정되어 있으므로 다음이 성립한다.[math(-\dfrac{a_{k+2}}{a_k} = -\dfrac{\dfrac{x^{k+2}}{\left(k+2\right)!}}{\dfrac{x^k}{k!}}=-\dfrac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)})] [math(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=0)]
비율판정법의 따름정리에 의하여 위에서 나타낸 식
이 성립하며, 어떤 실수 [math(x)]값을 대입하더라도 반드시 수렴한다.[math(\begin{cases}\displaystyle\sin x = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^{k}a_{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ \displaystyle \cos x = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{(2k)!}\end{cases})]
또한 이 급수의 수열은 절대 수렴하는 수열이기 때문에 복소수를 대입하더라도 마찬가지로 정의에 따라 절대적으로 수렴함이 확인된다.[7]
다른 삼각함수에 대한 무한급수는 다음과 같다. [math(B_n)]은 베르누이 수열, [math(E_n)]은 오일러 수열이다.
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[math(\begin{aligned} \displaystyle \tan{x} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left\{ \left( -4 \right)^n - \left( -16 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {8x}{(2n+1)^2{\pi}^2-4x^2} \\ \sec{x} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -1 \right)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n(2n+1){\pi}}{\left(n+ \dfrac {1}{2}\right)^{\! 2}\!\!{\pi}^2-x^2} \\ \csc{x} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left\{ 2 \left( -1 \right)^n - \left( -4 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \dfrac {1}{x} + 2x \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{x^2-(n{\pi})^2} \\ \cot{x} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -4 \right)^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \dfrac {1}{x} + 2x \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {1}{x^2 -(k{\pi})^2}\end{aligned})] |
2.3. 해석학: 무한곱으로 사인·코사인 정의하기
한편 무한합이 아닌 무한곱으로도 삼각함수를 정의할 수 있는데, 카를 바이어슈트라스가 유도했다. 자세한 내용은 바이어슈트라스 분해 정리 문서를 참조하라.| [math(\begin{aligned} \displaystyle \sin{(\pi z)} &= \pi z \prod_{k=1}^{\infty}\left(1 - \frac{z^2}{k^2}\right) \\ \cos{(\pi z)}&= \prod_{k=1}^{\infty}\left\{1 - \frac{4z^2}{(2k-1)^2}\right\}\end{aligned})] |
3. 항등식
- [math(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1)]
- [math(\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}})]
- [math(\tan^{2}{\theta}+1=\sec^{2}{\theta})]
- [math(\cot^{2}{\theta}+1=\csc^{2}{\theta})]
- [math(\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta})]
- [math(\cos{(-\theta)}=\cos{\theta})]
- [math(\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta})]
- [math(\deg{(\sin{\theta})} = \deg{(\cos{\theta})} = 0)][8]
이상에서 복부호 동순이며, [math(n)]은 임의의 정수이다.
3.1. 삼각함수의 덧셈정리
4. 함수의 주기성 및 그래프
위 그래프는 각종 삼각함수의 그래프를 주치 구간에 대하여 나타낸 것이다. 나머지 구간은 주치 구간의 그래프가 반복된다.
삼각함수는 모두 주기함수[9]이며, 기본 주기가 [math(\pi)]인 탄젠트 함수, 코탄젠트 함수를 제외하고 모두 기본 주기가 [math(2\pi)]이다. 무한 개의 변곡점을 갖는다.
한편 코사인 함수, 시컨트 함수는 [math(y)]축에 대칭인 짝함수이고, 나머지 넷은 원점에 대칭인 홀함수이다.
4.1. 여러 가지 각의 삼각함수
[math(n)]이 정수일 때 다음이 성립한다.- [math(\sin{(n\pi\pm \theta)}=\pm (-1)^{n} \sin{\theta})]
- [math(\cos{(n\pi \pm \theta)}=(-1)^{n}\cos{\theta})]
- [math(\tan{(n\pi \pm \theta)}=\pm \tan{\theta})]
- [math(\sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=(-1)^{n} \cos{\theta})]
- [math(\cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=\mp (-1)^{n}\sin{\theta})]
- [math(\tan{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=\mp \cot{\theta})]
- [증명]
- ------
삼각함수의 덧셈정리를 적용한다.
임을 얻을 수 있다. 한편,[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(n\pi \pm \theta)}=\sin{(n\pi)}\cos{\theta} \pm \cos{(n \pi)} \sin{\theta} \end{aligned} )]
이므로 위 결과는 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(n \pi)}&=0 \\ \cos{(n \pi)}&=(-1)^{n} \end{aligned} )]
마찬가지의 방법으로 코사인에 대하여[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(n\pi \pm \theta)}= \pm (-1)^{n} \sin{\theta} \end{aligned} )]
탄젠트는 사인, 코사인, 탄젠트의 관계에 의하여[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(n\pi \pm \theta)}&=\cos{(n\pi)}\cos{\theta} \mp \sin{(n \pi)} \sin{\theta} \\&=(-1)^{n}\cos{\theta} \end{aligned} )] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{(n\pi \pm \theta)}&=\frac{\sin{(n\pi \pm \theta)}}{\cos{(n\pi \pm \theta)}} \\&=\frac{\pm (-1)^{n} \sin{\theta} }{(-1)^{n}\cos{\theta}} \\&=\pm \tan{\theta} \end{aligned} )]
마찬가지의 방법으로 삼각함수의 덧셈정리를 적용한다.
임을 얻을 수 있다. 한편,[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=\sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \cos{\theta} \pm \cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \sin{\theta} \end{aligned} )]
이므로 위 결과는[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}}&=(-1)^{n} \\ \cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}}&=0 \end{aligned} )]
마찬가지의 방법으로 코사인에 대하여[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=(-1)^{n} \cos{\theta} \end{aligned} )]
탄젠트는 사인, 코사인, 탄젠트의 관계에 의하여[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}&=\cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \cos{\theta} \mp \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \sin{\theta} \\&=\mp(-1)^{n}\sin{\theta} \end{aligned} )]
}}}
자주 사용되는 형태를 정리하면 아래와 같다.
|
[math(\displaystyle \begin{matrix} \sin{(2n \pi \pm \theta)}=\pm \sin{\theta} \qquad \qquad & \cos{(2n \pi \pm \theta)}= \cos{\theta} \qquad \qquad & \tan{(2n \pi \pm \theta)}= \pm \tan{\theta}\\ \\ \sin{( \pi \pm \theta)}=\mp \sin{\theta} \qquad \qquad & \cos{( \pi \pm \theta)}= -\cos{\theta} \qquad \qquad & \tan{( \pi \pm \theta)}= \pm \tan{\theta}\\ \\ \sin{\biggl( \dfrac{\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \cos{\theta} \qquad \qquad & \cos{\biggl( \dfrac{\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \mp \sin{\theta} \qquad \qquad & \tan{\biggl( \dfrac{\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \mp \cot{\theta}\\ \\ \sin{\biggl( \dfrac{3\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= -\cos{\theta} \qquad \qquad & \cos{\biggl( \dfrac{3\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \pm \sin{\theta} \qquad \qquad & \tan{\biggl( \dfrac{3\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \mp \cot{\theta} \end{matrix} )] |
이것을 외우지 않고, 임의의 각에 적용하는 방법은 아래와 같다.
- 임의의 각을 [math(\dfrac{\pi}{2}n \pm \theta)] (단, [math(n)]은 정수) 형태로 바꾼다.[10]
- [math(n)]이 홀수냐 짝수냐에 따라 다음을 진행한다.
- [math(n)]이 홀수이면, 사인을 코사인으로, 코사인을 사인으로, 탄젠트를 코탄젠트로 바꾼다.
- [math(n)]이 짝수이면, 삼각함수를 바꾸지 않고 그대로 진행한다.
- [math(\theta)]가 예각이라고 가정하고 [math(\dfrac{\pi}{2}n \pm \theta)]의 각이 나타내는 동경이 위치하는 사분면을 확인한다.
- 이 사분면에 원래 삼각함수가 양이면, [math(+)]를, 음이면 [math(-)]를 붙인다.
예로 [math(\sin{(35\pi/3)})]의 값을 구해보자. 우선 이 각은
| [math(\displaystyle \frac{35\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\cdot 23+\frac{\pi}{6} )] |
| [math(\displaystyle \sin{\biggl( \frac{35\pi}{3} \biggr)}=-\cos{\biggl( \frac{\pi}{6} \biggr)}=-\frac{\sqrt{3}}{2} )] |
| [math(\displaystyle \frac{35\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\cdot 21+\frac{7\pi}{6} )] |
| [math(\displaystyle \sin{\biggl( \frac{35\pi}{3} \biggr)}=+\cos{\biggl( \frac{7\pi}{6} \biggr)}=-\frac{\sqrt{3}}{2} )] |
이러한 유용한 공식이 나올 수 있는데는 삼각함수 자체가 주기함수이기 때문이다.
이 공식은 값이 큰 일반각을 다루기 쉽게 작은 각 또는 특수 각으로 고쳐 쉽게 일반각에 대한 삼각함수의 값을 구할 수 있다는데 의의가 있다. 또한 하틀리 변환에 사용되는 [math(rm cas)] 함수[11]를 계산할 때 유용하게 사용된다.
5. 삼각방정식과 삼각함수부등식
5.1. 삼각방정식
각의 크기가 미지수인 삼각함수를 포함하는 방정식을 삼각방정식이라 한다. 이 문단에서는 (삼각함수)[math(=)](상수) 꼴로 정리되는 것만 다룬다. 그 이유는 아주 특수한 경우를 제외하고는 손으로 풀지 못하고 수치해석 프로그램을 이용해야 하기 때문이다.[12][13] 후술할 복소형식을 이용할 수도 있으나, 대부분의 경우 환원 불능(casus irreducibilis)이 되어 유용하진 않다.이 삼각방정식을 푸는 방법을 여러가지가 있는데, 그것을 예를 통해 알아보자. 삼각방정식을 간단하게 정리하면 [math(\sin{x}=a)], [math(\cos{x}=a)], [math(\tan{x}=b)] ([math(a)], [math(b)]는 상수, [math(|a| \leq 1)]) 형태로 정리할 수 있다.
가장 간단한 방법은 그래프를 이용한 방법이다. 방정식 [math(f(x)=g(x))]는 곧 좌표평면 상 [math(y=f(x))], [math(y=g(x))]의 교점의 [math(x)]좌표임을 이용하면 된다. 예를 들어 [math(\cos{x}=a)]는 곧 [math(y=\cos{x})]와 [math(y=a)]의 교점의 [math(x)]좌표를 구하면 된다. 아래와 같이 [math(x=x_{1})] 또는 [math(x=x_{2})]가 구해진다.
또 하나의 방법은 단위원을 이용하는 것이다. 사인, 코사인, 탄젠트는 각각 단위원 위의 점에 의해서 정의된다.
- [math(\sin{x}=a)] 경우 단위원 위의 점의 [math(y)]좌표를 의미하므로 단위원과 [math(y=a)]와의 교점을 찾고, [math(x)]축의 양의 방향을 시초선으로 하여 원점으로 부터 교점 방향의 동경의 각을 구하면 된다.
- [math(\cos{x}=a)] 경우 단위원 위의 점의 [math(x)]좌표를 의미하므로 단위원과 [math(x=a)]와의 교점을 찾고, [math(x)]축의 양의 방향을 시초선으로 하여 원점으로 부터 교점 방향의 동경의 각을 구하면 된다.
- [math(\tan{x}=b)] 경우 단위원 위의 점에 대하여 [math(y/x)]를 의미하므로 단위원과 [math(y=bx)]와의 교점을 찾고, [math(x)]축의 양의 방향을 시초선으로 하여 원점으로 부터 교점 방향의 동경의 각을 구하면 된다.
일반적으로 삼각방정식의 해를 구할 때는 주치 구간에 대하여 구하게 되는데[14] 일반적으로 해가 2개 존재하게 된다.[15] 그리고, 이 특정한 구간에 대하여 구한 해를 특수해라 한다.
이외에도 역함수를 이용하는 방법이 있다. 이 경우 단 하나의 특수해만을 갖는다.
5.1.1. 삼각방정식의 일반해
하지만 삼각함수 자체는 주기함수이기 때문에 해가 무한히 많다는 것을 그래프 상에서 직접 볼 수 있다. 따라서 실수 전체 구간에 대하여 구한 해를 일반해라 하는데, 그것을 구하는 방법을 알아보자.간단하게 생각해보면 해의 범위를 실수 전체로 늘리면, 주치 구간에서 구한 특수해에서 한 바퀴 정수배 만큼의 회전이 가해지거나 감해지는 경우에도 방정식의 해가 될 것이다. 즉
| [math(\begin{aligned} \displaystyle x&=x_{1}+2n \pi \\ x&=x_{2}+2n \pi \end{aligned})] |
[math(\sin{x}=a)]의 경우 다음이 성립한다.
| [math(x_{2}=\pi-x_{1} )] |
| [math(\begin{aligned} \displaystyle x_{2}+2n \pi&=(\pi-x_{1})+2n \pi \\ &=(2n+1)\pi-x_{1} \end{aligned})] |
| [math(x=n\pi+(-1)^{n}x_{1})] |
[math(\cos{x}=a)]의 경우 다음이 성립한다.
| [math(x_{2}=2\pi-x_{1} )] |
| [math(\begin{aligned} \displaystyle x_{2}+2n \pi&=(2\pi-x_{1})+2n \pi \\ &=(n+1)2\pi-x_{1} \end{aligned})] |
| [math(x=2n\pi\pm x_{1})] |
[math(\tan{x}=b)]의 경우 다음이 성립한다.
| [math(x_{2}=\pi+x_{1} )] |
| [math(\begin{aligned} \displaystyle x_{2}+2n \pi&=(\pi+x_{1})+2n \pi \\ &=(2n-1)\pi+x_{1} \end{aligned})] |
| [math(x=n \pi + x_{1})] |
위 결과는 특수해를 주치 구간에 대하여 구한 것으로 한정했지만 실제로는 [math(x_{1})]이 어떤 구간에 대한 특수해에 대하여 성립한다. 하지만 유용성과 난이도를 이유로 [math(x_{1})]을 주치 구간의 특수해 중 작은 것을 잡는 것이 관례적이다.
위 문단의 내용을 정리하면 삼각방정식의 한 특수해를 [math(\xi)], [math(a)], [math(b)]는 상수, [math(|a| \leq 1)], [math(n)]을 임의의 정수라 할 때 다음이 성립한다.
| 방정식 | 일반해 |
| [math(\boldsymbol{\sin{x}=a})] | [math(x=n\pi+(-1)^{n}\xi)] |
| [math(\boldsymbol{\cos{x}=a})] | [math(x=2n\pi \pm \xi)] |
| [math(\boldsymbol{\tan{x}=b})] | [math(x=n\pi+\xi)] |
삼각방정식 [math(\sin{x}=\sin{a})] 같은 꼴의 경우 해가 [math(x=a)]로 생각하기 쉽다. 하지만 그것은 틀린 생각으로 일반해의 개념을 적용하여 [math(x=n\pi+(-1)^{n}a)]가 돼야 옳다.
이 일반해의 개념을 가지고, 재미있는 논의를 해볼 수 있다. 예를 들어 좌표평면 상 [math(\tan{(x^2+y^2)}=1)]은 어떤 그래프를 그리게 될까? 간단히 일반해의 개념을 사용하면
| [math(\begin{aligned} \displaystyle x^2+y^2=n\pi+\frac{\pi}{4} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \displaystyle y-f(x)=k_{n} \end{aligned})] |
더 나아가, [math(\cos{e^x})], [math(sin{x^{-1}})] 같은 것도 생각해볼 수 있다.
5.2. 삼각함수부등식
삼각함수부등식을 푸는 것은 삼각방정식과 완전히 동일하다. 그래프와 단위원 모두 이용할 수 있다.주치 구간에 대하여 [math(\cos{x}>a)] (단, [math(|a| \leq 1)])을 푸는 것을 예로 들어 이 논의를 마치고자 한다.
위와 같이 그래프를 보면, [math(\cos{x}>a)]의 의미는 곧 [math(y=\cos{x})]의 그래프가 [math(y=a)]보다 위에 있는 구간의 [math(x)]좌표의 구간을 구하는 것과 같다. 따라서 [math(0\leq x < x_{1})] 또는 [math( x_{2}< x \leq 2 \pi)]가 그 해이다.
단위원을 통한 방법 또한 단위원 상의 점이 [math(x=a)] 보다 오른쪽에 있는 각의 범위를 구하면 되므로 같은 해를 구할 수 있다.
삼각방정식과 마찬가지로 구하는 구간을 지정하지 않는 경우 부등식의 해는 무한히 나오게 된다.
참고로 삼각부등식은 다른 것을 뜻하므로 혼동에 주의할 것.
6. 극한과 미적분
6.1. 특수한 극한값을 갖는 합성함수
그림과 같이 [math(0<\angle {\rm A}<\pi/2)]이고, [math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=1)]을 만족하는 삼각형 [math(\rm BAC)]를 고려하자. 한편, 에서 변 [math(\rm AB)]의 연장선위의 [math(\rm P)]에서 변 [math(\rm AC)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm C)]라 하자. 부채꼴 [math(\rm BAC)]의 넓이를 [math(S)]라 하면 다음이 성립한다.
| [math(\triangle {\rm BAC}<S<\triangle {\rm PAC})] |
| [math(\begin{aligned} \triangle {\rm BAC}&=\frac{1}{2}\cdot 1^{2} \cdot\sin{A} \\ S&=\frac{1}{2}\cdot 1^{2} \cdot A \\ \triangle {\rm PAC}&=\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \tan{A} \end{aligned})] |
| [math( \sin{A}<A<\tan{A})] |
| [math( 1<\dfrac{A}{\sin{A}}<\dfrac{1}{\cos{A}} \quad \left(\because 0<A<\dfrac{\pi}{2} \right))] |
| [math( \cos{A}<\dfrac{\sin{A}}{A}<1)] |
| [math( \displaystyle \lim_{A\to 0^{+}}\dfrac{\sin{A}}{A}=1)] |
음의 각에 대하여 구하기 위하여 [math(t=-A)]로 치환하면 [math(t \to 0^{-})]일 때 [math(A \to 0^{+})]이고,
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to 0^{-}}\dfrac{\sin{t}}{t}&=\lim_{A\to 0^{+}}\dfrac{\sin{(-A)}}{-A} \\ &=\lim_{A\to 0^{+}}\dfrac{-\sin{A}}{-A} \\&=\lim_{A\to 0^{+}}\dfrac{\sin{A}}{A} \\&=1 \end{aligned})] |
| [math( \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1)] |
한편, 탄젠트에 대하선
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan{x}}{x}&=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\dfrac{1}{x} \\ &=\lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x} \frac{1}{\cos{x}} \\&=1 \cdot 1 \\&=1 \end{aligned})] |
위 사항을 정리하면, 아래와 같다.
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{x}}{x}&=1 \\ \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan{x}}{x}&=1 \end{aligned})] |
이 결과는 [math(y=(sin x)/x)]의 그래프, [math(y=(tan x)/x)]의 그래프를 통해서도 알 수 있다. 간혹 [math((\cos x)/x)]의 극한은 왜 구하지 않냐고 궁금해하는 위키러들도 있을 것인데, [math(y=(cos x)/x)]의 그래프의 모습에서 볼 수 있듯 원점에서 좌극한과 우극한이 같지 않아 극한값을 갖지 않는다.
현대 수학에서는 '논리의 엄밀성'을 근거로, 위와 같이 넓이를 이용한 증명 방식이 순환 논법이라 주장하기도 한다. 극한을 증명하기 위해 각 도형의 '넓이'를 이용하고 있는데 부채꼴의 넓이를 구하는 과정에서 순환 논법에 빠진다는 것[16]이다. 물론 이는 반지름이 [math(r)]인 원의 넓이가 [math(\pi r^2)]이라는 사실을 자명한 것이라 받아들임으로써 해결이 되지만, 현대 수학에서는 한정된 공리와 정의만을 이용하여 논리적인 연역법에 따라 증명된 것만 이용할 수 있기 때문에 '증명되어야 할 원의 넓이'가 '자연스러운 것'으로 쉽게 받아들여지지 않는다[17]는 것이다. 이 문단 참조.
이를 피하기 위해 나온 것이 바로 무한급수를 이용한 정의이다. 전술한 대로 무한급수를 이용한 정의는 임의의 실수뿐만 아니라 복소수에 대해서도 절대 수렴하므로 극한에서 문제없이 다룰 수 있으며, [math(\cos x = 0)]을 만족하는 최소 양수가 존재하며 그 [math(2)]배가 [math(\pi)]라는 것으로 해결이 된다. 기타 기하학적인 성질 역시 증명이 가능하지만, 무한급수 역시 극한의 개념이 선행되어야 자연스럽기 때문에 여전히 좋은 해결책은 아니다. 어디까지나 현대 수학, 그리고 청소년들에게 이걸 이렇게 가르치는 게 적절한지를 고민하는 수학교육학에서의 떡밥이므로 일반인 위키러들은 '그렇게 보는 해석도 있다' 정도의 수준으로 넘어가면 된다.
2015 개정 교육과정 기준으로는 미적분에서 처음 배우기 시작한다. 이 내용을 '삼각함수의 극한'으로 배우지만 실제로는 '삼각함수가 유리함수에 합성된 합성함수의 극한'을 배우는 것이다. 실제로 수업 시간, 교과서에서 [math(y= (\sin x)/x)], [math(y=(\tan x)/x)]의 그래프나 성질을 직접적으로 다루지 않기 때문이다. '삼각함수'라는 단원으로부터 분리되어 극한 단원 혹은 미적분 파트에서 다루는 이유도 이 때문이다. 이 내용은 사실 '삼각함수'와 더 밀접하지 않으며, 그래프들을 다루는 것은 교육적으로 별로 의미가 없다. 종전 2009 개정 교육과정 미적분Ⅱ 때처럼 삼각함수와 더 직접적인 관련이 있는 것처럼 보일 것을 우려하고, 다시 현 교육과정처럼 '극한' 단원 편입으로 바꾼 것도 교육적 적합성을 다시 고려했기 때문으로 보인다.
이 내용의 교육적인 의의는 어떤 실수에 대해 그 실수를 취한 삼각함수의 비가 무한히 작아질 때 어떤 값으로 수렴하는지 파악하고 이 때 ' 사인 법칙'과 '근사'[18]를 익히기 위해서 배우는 것이다. 이 정리는 바로 밑에 있는 삼각함수의 도함수를 증명하는 과정에서 사용된다. 이는 '로그함수의 극한'이라고 배우는 자연로그와도 유사하다.
참고로 이 극한값은 [math(A)]의 단위에 관계 없이 일정하다. 육십분법으로 나타낸 각 [math(\varphi)]는
| [math(\begin{aligned}A = \dfrac\pi{180\degree}\varphi\end{aligned})] |
| [math(\dfrac{A}{2} = \dfrac\pi{360\degree}\varphi)] |
| [math(\sin\varphi < \dfrac\pi{180\degree}\varphi < \tan\varphi \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac\pi{180\degree}\cos\varphi < \dfrac{\sin\varphi}\varphi < \dfrac\pi{180\degree})] |
| [math( \begin{aligned} \lim\limits_{\varphi\to0\degree}\dfrac{\sin\varphi}\varphi &= \dfrac\pi{180\degree}\\& = \dfrac\pi{180\times1\degree}\\& = \dfrac\pi{180\times\dfrac\pi{180}} \\& = 1 \quad \left(\because 1\degree = \dfrac\pi{180}\right) \end{aligned})] |
6.2. 도함수
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6.3. 역도함수
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7. 역함수
8. 관련 함수
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9. 푸리에 급수
주기함수를 사인 및 코사인의 무한합으로 전개하는 것을 말한다.
10. 복소 및 극형식
10.1. 극좌표
10.2. 오일러 공식 관련
허수단위를 [math(i)]로 나타내면 오일러 공식에 의해 [math(e^{ix}=\cos x+i\sin x)]이므로| [math( \begin{aligned} \cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \\ \sin x &= \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{aligned})] |
| [math( \begin{aligned} \cosh t &= \dfrac{e^t+e^{-t}}2 \\ \sinh t &= \dfrac{e^t-e^{-t}}2 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \cos x &= \cosh{ (ix)} \\ \sin x &= -i\sinh{ (ix)} \end{aligned})] | [math(\Leftrightarrow)] | [math(\begin{aligned} \cosh x &= \cos{ (ix)} \\ \sinh x &= -i\sin{ (ix)}\end{aligned})] |
| [math( \begin{aligned} \sin x &= -i\sinh{ (ix)} \\ \cos x &= \cosh{ (ix)} \\ \tan x &= -i\tanh{ (ix)} \\ \csc x &= i\,\mathrm{csch}\,{(ix)} \\ \sec x &= \mathrm{sech}\,{(ix)} \\ \cot x &= i\coth{ (ix)} \end{aligned})] |
한편, 위 공식을 이용해 삼각함수의 함숫값을 대수적인 방법으로 구할 수 있다. 다만 대입하는 각이 특수각이 아닐 경우 환원 불능(Casus irreducibilis)[19]이 될 수 있으므로 주의해야 한다.[20]
10.3. 복소함수에서의 삼각함수의 절댓값
[math(z=x+iy)]일 때, 삼각함수의 덧셈정리를 사용하면| [math( \begin{aligned} \sin z &= \sin(x+iy) = \sin x\cos iy + \cos x\sin iy \\ &= \sin x\cosh y+i \cos x\sinh y \\ \cos z &= \cos(x+iy) = \cos x\cos iy-\sin x\sin iy \\ &= \cos x\cosh y-i \sin x\sinh y \end{aligned})] |
다음이 성립한다.
| [math( \begin{aligned} |\sin z|&=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y} \\ |\cos z|&=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y} \end{aligned})] |
| [math( \begin{aligned} |\sin z|&=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y} \\&=\sqrt{\sin^2x+\sin^2x\sinh^2y+\cos^2x\sinh^2y} \\& =\sqrt{\sin^2x+\sinh^2y} \\ |\cos z|&=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y} \\&=\sqrt{\cos^2x+\cos^2x\sinh^2y+\sin^2x\sinh^2y} \\& =\sqrt{\cos^2x+\sinh^2y} \end{aligned})] |
10.4. 복소평면에서의 삼각함수의 그래프
|
|
|
| [math(\sin z)] | [math(\csc z)] |
|
|
|
| [math(\cos z)] | [math(\sec z)] |
| 파일:Trig-tan.png |
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| [math(\tan z)] | [math(\cot z)] |
11. 교과에서의 삼각함수
- 6차 교육과정: 공통수학(고1), 수학Ⅱ(자연계) - 공통수학은 마지막 단원, 수학 II는 2단원
- 7차 교육과정: 수학 10-가/수학 10-나(고1), 미분과 적분(자연계) - 수학 10-나 마지막 단원, 미분과 적분 1단원
- 삼각함수와 복소평면 삭제
- 2007 개정 교육과정: 수학(고1)[22], 수학Ⅱ(자연계)
- 2009 개정 교육과정: 미적분Ⅱ(자연계)
- 2015 개정 교육과정: 수학Ⅰ(고2·3 기본), 미적분(고2·3 심화)[23]
12. '삼각함수에 관한 식' 오역 의견
원서나 교과서 등에서는 사인 함수를 [math(\sin\theta)]로 서술하는 경우가 있다. 하지만 [math(\sin\theta)]는 함숫값을 나타내는 식이며, [math(\theta)]가 변수로 쓰이지 않는 이상 ' 함수' 자체가 아니라는 점에서 다소 엄밀함이 떨어진다. 반례로 [math(\log k)]의 경우, 그 자체가 로그함수가 아닌 로그라고 불린다. 그 외의 다른 함수를 설명할 때도 함수와 함숫값을 엄연히 구별하는데, 삼각함수에서는 잘 지키지 않는 점이 특이하다.영어(원문)의 경우, 삼각함수를 뜻하는 trigonometric function에서 'trigonometric'가 ' 삼각법의'를 뜻하는 형용사이다.[24] 언어적 구조만 보더라도 trigonometric은 수식언임이 자명하며, 이 구조를 그대로 한국어로 직역했을 때 '함수'라는 단어를 수식하는 건 '삼각법의'라는 걸 알 수 있다.
대한수학회에서의 trigonometric equations(직역: 삼각법의 방정식)의 정식 한국어 용어인 ' 삼각방정식'의 사례처럼 '삼각법의 식'에서 '-법의'를 생략하여 ‘삼각식’으로 번역할 수도 있었는데 그러지 못하였다. 그렇다고 '삼각함수의 식'으로 번역하자니 원문의 수식언 trigonometric는 '삼각함수의'가 아니기 때문에 그럴 수 없다.
13. 관련 문서
[1]
다른 이름으로 angle function(각 함수), circular function(
원 함수), goniometric function(각도 함수) 등이 있다.
[2]
[math(0\degree)]에서 [math(90\degree)]사이의 각
[3]
기존의 예각은 물론 예각이 아닌 각까지 포함하는 더 넓은 개념
[4]
보통
단위가 존재하지 않는다고 잘못 알려져 있다.
[5]
흔히 삼각함수와 동일한 것으로 착각하지만 삼각비에서는 [math(0 \degree)]와 [math(90 \degree)]에서 값이 정의되지 않는다. 단, 극한값은 존재한다.
[6]
사실
시초선은 시점이 [math(\rm O)]인 반직선일 뿐이며 위치는 어떻게 잡아도 상관이 없다. 굳이 [math(x)]축 양의 방향으로 잡은 이유는 [math(xy)]좌표평면과
극좌표계간의 변수 변환이 편리하기 때문이다.
[7]
절대수렴하는 수열합에 한해서는 수열의 배치를 바꾸더라도 수열합은 변하지 않는다. 이를 이용하여 복소수의 거듭제곱의 실수부와 허수부의 위치를 재조정해서 실수부와 허수부가 한 값으로 수렴함을 보일 수 있다. 다만 이는 절대수렴하지 않는 수열합에 대해서는 성립하지 않는 성질이다. 예를 들어서 [math(a_n={(-1)^n}/n)]이라고 하면, 이 수열은 수렴하지만 절대수렴하지 않는데, 이 경우 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_n)]의 순서를 재조정하면 원래 값의 2배, 3배 이상을 만드는 것도 가능하다. 하지만 절대수렴하는 수열인 [math(b_n=2^{-n})]의 경우, 이 수열은 순서를 어떻게 재조정하더라도 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_n=1)]이 보장된다.
[8]
즉, 사인함수와 코사인함수의
차수가 0이라는 의미이다.
[9]
임의의 실수 범위의 함수 [math(f)]에 대하여 적당한 상수 [math(k\ne 0)]을 잡을 때, [math(f)]의 정의역에 속하는 임의의 [math(x)]에 대하여 [math(f(x+k)=f(x))]가 성립하면, [math(f)]를 주기함수라 하고, [math(k)]를 [math(f)]의 주기라 한다. 주기 중 양의 최솟값을 기본 주기라고 한다.
[10]
보통 [math(\theta)]는 예각이나 특수각, 또는 나올 수 있는 양의 각 중 가장 작은 값을 택하나 필요에 따라 임의의 각, 음의 각을 택하여도 된다.
[11]
[math(\sin{x} + \cos{x})]
[12]
그 예로 [math(\tan{x}=(\pi/4)x)]의 해는
이것과 같이 나온다.
[13]
조건을 잘 설정한 경우 그래프를 그려 해결할 수도 있을 것이다.
[14]
이를
분지 절단(branch cut)이라고 한다.
[15]
이는 (삼각함수)[math(=)](상수) 꼴로 정리되는 방정식만 해당한다.
[16]
넓이를 엄밀하게 다루려면 적분이 선행되어야 하고, 적분을 다루기 위해서는 미분이 선행되어야 하는데, 미분을 다루려면 극한이 선행되어야 한다. 극한을 다루고 있는데 극한이 정립이 되어야 하는 결론에 다다르므로 순환 논법이다.
[17]
기하학적으로 극한의 개념을 쓰지 않고 원의 넓이가 [math(\pi r^2)]이라는 것을 증명하기가 대단히 어렵다.
[18]
샌드위치 정리 또는 조임 정리(squeeze theorem)
[19]
실수이지만, 허수단위를 없앨 수 없는 꼴
[20]
대표적인 예로
파섹이 있다. 파섹을 정의하는 데 특수각이 아닌
[math(pi/648000)]라는 각도에 삼각함수를 취한 값이 들어간다.
[21]
[math(\begin{aligned} \tan z&=\tan(x+iy)\\ &= \dfrac{\tan x + \tan iy}{1 - \tan x\tan iy} \\ &=\dfrac{\tan x+i \tanh y}{1-i \tan x\tanh y} \\ &=\dfrac{(\tan x+i\tanh y)(1+i\tan x\tanh y)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ &=\dfrac{\tan x(1-\tanh^2y)+i\tanh y(1+\tan^2x)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ &=\dfrac{\mathrm{sech}^2\,y\tan x+i\tanh y\sec^2x}{1+\tan^2x\tanh^2y} \end{aligned})] [22] 사상 최초로 삼각함수가 마지막 단원이 아니다. [23] 기본과 심화로 구분되었지만 두 과목은 엄밀히 같은 계층인 '일반선택과목'이다. '수학Ⅰ'에서는 기본적인 개론과 함수의 그래프, 방정식 등을 다룬다면, '미적분'에서는 삼각함수의 덧셈정리, 반각공식, 배각공식, 극한, 미분, 적분 등을 다룬다. [24] 포털 검색 결과, trigonometry 번역 '삼각법'
[math(\begin{aligned} \tan z&=\tan(x+iy)\\ &= \dfrac{\tan x + \tan iy}{1 - \tan x\tan iy} \\ &=\dfrac{\tan x+i \tanh y}{1-i \tan x\tanh y} \\ &=\dfrac{(\tan x+i\tanh y)(1+i\tan x\tanh y)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ &=\dfrac{\tan x(1-\tanh^2y)+i\tanh y(1+\tan^2x)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ &=\dfrac{\mathrm{sech}^2\,y\tan x+i\tanh y\sec^2x}{1+\tan^2x\tanh^2y} \end{aligned})] [22] 사상 최초로 삼각함수가 마지막 단원이 아니다. [23] 기본과 심화로 구분되었지만 두 과목은 엄밀히 같은 계층인 '일반선택과목'이다. '수학Ⅰ'에서는 기본적인 개론과 함수의 그래프, 방정식 등을 다룬다면, '미적분'에서는 삼각함수의 덧셈정리, 반각공식, 배각공식, 극한, 미분, 적분 등을 다룬다. [24] 포털 검색 결과, trigonometry 번역 '삼각법'