최근 수정 시각 : 2022-03-18 23:13:40

조화수(수학)

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1. 정의2. 성질
2.1. 점화 관계2.2. 반사 공식
3. 적분4. 일반화5. 생성함수6. 알려진 값

1. 정의

조화수(harmonic numbers) [math(\boldsymbol{H_n})]은 자연수 [math(n)]에 대하여 다음과 같이 조화수열의 합으로 정의되는 수이다.

[math(\displaystyle H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k )]

특히, [math(n\to\infty)]일 때에 해당하는 다음 급수는 '조화급수'라고 하며, 이는 양의 무한대로 발산함이 알려져 있다.

[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k=1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty )]

나아가 비교판정법에 의하여 다음과 같은 임의의 조화수열의 무한급수는 항상 발산한다.

[math(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac a{1+a(k-1)d})]


니콜 오렘(Nicole Oresme, 1325~1382)은 조화급수가 아래 관계임을 보여 수렴하지 않음을 증명했다.

[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k > 1+\frac12\sum_{k=1}^\infty {\bold 1}_{[2,\,\infty)}(k) )]

[math({\bold 1}_{[2,\,\infty)})]는 2 이상의 수를 판별하는 집합 판별 함수이다.

조화수를 아래와 같이 무한급수로도 표현할 수 있다. 급수를 전개해보면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.

[math(\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{\infty} \!\left( \frac1k - \frac1{k+n} \right) )]

한편, 조화수의 정의역을 양의 실수로 확장할 수도 있다. 이 때에는 아래와 같이 정적분으로 표현한다. [math(x)]가 자연수일 때는 분수를 약분한 후 정적분하면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.

[math(\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t )]

2. 성질

2.1. 점화 관계

조화수는 다음과 같은 점화식 관계를 만족한다. [math(x)]가 자연수 [math(n)]일 때에는 아래의 점화 관계를 직관적으로 이해할 수 있다.

[math(\displaystyle H_{x+1}=H_x+\frac1{x+1} )]

2.2. 반사 공식

조화수에는 다음과 같이 반사 공식이 존재한다.

[math(\displaystyle H_{1-x}-H_x=\pi\cot(\pi x)-\frac1x+\frac1{1-x} )]

3. 적분

정적분식 정의를 사용하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 H_x \,\mathrm{d}x &= \iint_{(0,\,1)^2} \frac{1-t^x}{1-t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}x = \gamma \\
\int_0^n H_x \,\mathrm{d}x &= n\gamma + \ln(n!)
\end{aligned})][1][2]

여기서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이고 [math(n)]은 자연수이다.

4. 일반화

조화수를 일반화한 버전으로, '일반화된 조화수'(generalized harmonic numbers)를 생각할 수 있다. 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n\frac1{k^m} )]

[math(n)]을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.

[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n^{(m)} = \zeta(m) )]

5. 생성함수

조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다. 증명은 생성함수 문서의 해당 부분에서 볼 수 있다.

[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_nx^n=-\frac{\ln{(1-x)}}{1-x} )]

조화수의 지수 생성함수는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}H_n\frac{x^n}{n!}&=-e^x\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k\frac{(-x)^k}{k!} \\&=e^x[\mathrm{Ei}(x)+\gamma+\ln x] \end{aligned} )]

여기서 [math(\mathrm{Ei}(x))]는 지수 적분 함수이다.

일반화된 조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_n^{(m)}x^n=\frac{\mathrm{Li}_m(x)}{1-x} )]

여기서 [math(\mathrm{Li}_m(x))]는 폴리로그함수이다.

6. 알려진 값

실수 범위에서 몇 가지 알려진 조화수의 값은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
H_{1/2}&=2-2\ln{2} \\
&\approx0.6137056389 \\
H_{1/3}&=3-\frac{\pi}{2\sqrt3}-\frac32\ln3 \\
&\approx0.4451818849 \\
H_{1/4}&=4-\frac{\pi}2-3\ln2 \\
&\approx0.3497621315 \\
H_{1/5}&=5-\frac{\pi}{10}\sqrt{25+10\sqrt5}+\frac12\ln2-\frac54\ln5 \\
&\qquad \qquad+\frac{-1+\sqrt5}4\ln{(-1+\sqrt5)}-\frac{1+\sqrt5}4\ln{(1+\sqrt5)} \\
&\approx0.2881757683 \\
H_{1/6}&=6-\frac{\sqrt3}2\pi-2\ln2-\frac32\ln3 \\
&\approx0.2450881595
\end{aligned})]

[math(H_{1/5})]의 값을 구하는 과정에서는 여기의 'Example 15'에서 소개하는 공식과 여기에 나와있는 값들을 사용하였다. [math(H_{1/5})]을 제외한 나머지 값들은 정적분식 정의를 사용해서 구할 수 있다.

[1] [math(\displaystyle \iint_{(0,\,1)^2} \Leftrightarrow \int^{1}_{0}\int^{1}_{0})]이다. 자세한 내용은 중적분 참조. [2] 좀 더 쉽게 설명하면 밑에 각 변이 1인 정사각형을 깔아놓고 이렇게 생긴 곡면을 씌워 그 사이에 있는 공간의 부피를 구하는 식이다.