최근 수정 시각 : 2022-05-18 22:42:57

평균값 정리

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1. 개요2. 상세3. 코시의 평균값 정리4. 활용
4.1. 함수의 증감4.2. 로피탈의 정리4.3. 미분가능성4.4. 적분의 평균값 정리4.5. 가우스의 평균값 정리
5. 활용6. 관련 문서

1. 개요

/ Mean Value Theorem, MVT[1]

미분가능한 함수에 관한 정리로, 라이프니츠가 최초로 고안했고 이후의 학자들에 의해 여러 바리에이션과 마개조를 거친 이론들이 꽃을 피우게 된다. 한국에선 고등학교 수학 II를 배울 때 기본적인 평균변화율의 개념을 처음 접하게 된다.

2. 상세

고등학교에서 배우는 평균값의 정리는 다음과 같다.
함수 [math( f\left(x\right) )]가 닫힌 구간 [math( \left[a, b\right] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( \left(a, b\right) )]에서 미분가능하면 [math( \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} = f'\left(c\right), c \in \left(a, b\right) )]인 [math(c)]가 적어도 하나 존재한다.
기하학적으로 해석하면 두 점 [math(A\left(a, f\left(a\right)\right), B\left(b, f\left(b\right)\right))]를 연결하는 직선과 평행한 접선이 구간 [math(\left(a, b\right))] 안에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약 [math(f\left(a\right) = f\left(b\right))]이면 롤의 정리가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는 롤의 정리의 일반화라고 할 수 있다.

이 정리 덕에 부정적분값에 상수만 붙이는 게 정당화된다. 즉, [math( F'\left(x\right) = f\left(x\right) )]일 때 미분하여 [math( f\left(x\right) )]가 되는 함수는 [math( F\left(x\right)+C)] 꼴뿐이다.

미적분의 기본정리를 접하기 전 단계에서는 미분에서 가장 중요한 근간이 되는 정리이다. 미분 문제, 특히 접선을 이용한 방정식과 부등식류의 문제를 풀다가 잘 모르겠을 때는 평균값 정리를 적용하면 쉽게 풀리는 경우가 대부분이다.
증명
점 [math(\left(a,f(a)\right) )]와 점 [math(\left(b,f(b)\right) )]를 지나는 직선의 방정식을 [math(y=l(x))]라고 하자.

[math(F(x)=f(x)-l(x) )]라 두면, 이 함수는 [math( \left[a,b\right])]에서 연속이고 [math(\left(a,b\right) )]에서 미분가능하며, [math(F(a)=0, F(b)=0 )]이므로 롤의 정리에 의하여 [math(F'(c)=f'(c)-l'(c)=0 )]인 [math(c \in \left(a,b\right) )]가 존재한다.

[math(l'(c)=m= \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a})]이므로 [math( f'(c)=\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a})]이다.

평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선 [math(y = f(x))] 위의 두 점 [math( (a, f(a)))]와 [math((b, f(b)))]를 지나는 선분에 대하여, 구간 [math([a,\,b])]에서 곡선 [math(y = f(x))] 위의 어떤 점의 접선이 이 선분에 평행하다는 것을 뜻한다.

파일:나무_평균값정리_기하학적의미.png

앞의 평균값 정리에서 [math(b-a = h)]라 하면 [math(c-a < b-a)]이므로 [math(0<\displaystyle {c-a \over h}<1)]이 된다. 여기서 [math( \theta =\displaystyle {c-a \over h})]로 놓으면 평균값 정리는
[math(f(a+h) = f(a) + hf'(a + \theta h))], [math(0< \theta < 1)]
와 같이 나타낼 수 있다. 즉, 가까운 두 점을 한 점의 함숫값과 그 점 인근의 미분값을 이용해서 계산할 수 있다는 것이며, 이것이 바로 선형근사의 기본 접근방식이다.

3. 코시의 평균값 정리

고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀 더 일반화한 버전으로, 내용은 다음과 같다.
함수 [math( f\left(x\right) )]와 [math( g\left(x\right) )]가 닫힌 구간 [math( \left[a, b\right] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( \left(a, b\right) )]에서 미분가능하면 [math( f'\left(c\right)\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right] = g'\left(c\right)\left[f\left(b\right)-f\left(a\right)\right] )]인 [math(c)]가 [math( \left(a, b\right) )]내에 적어도 하나 존재한다.

여기서 [math(g\left(x\right) = x )]라 두면 우리가 보통 알고 있는 평균값의 정리가 된다.

증명
F\left(x\right) = f\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} </math>라 정의하자. 그럼 [math(F)]는 닫힌구간 [math(\left[a, b\right])]에서 연속이고 열린구간 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하다.

또한, [math( F\left(a\right)=F\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-g\left(a\right)f\left(b\right))]이므로 롤의 정리에 의해 [math(F'\left(c\right) = 0 )]를 만족하는 [math(c\in \left(a, b\right))]가 존재한다.

그러면 [math(F'\left(x\right) = f'\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g'\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\})]이므로, [math( f'\left(c\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\} = g'\left(c\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\})]

4. 활용

4.1. 함수의 증감

여러 가지 활용이 있겠지만, 함수의 그래프를 그리는 방법이 가장 익숙할 것이다.
함수 [math(f)]가 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하고 모든 [math(x\in(a,b))]에 대해 [math(f'\left(x\right) > 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 증가한다.
증명
열린 구간 [math(\left(a,b\right))] 안에서 임의의 실수 [math(x_1, x_2)]를 [math(x_1<x_2)]가 되게 잡는다. 그럼 [math(f)]는 [math(\left[x_1, x_2\right])]에서 연속이고 [math(\left(x_1, x_2\right))]에서 미분가능하다.

따라서 평균값의 정리에 의해 [math(\displaystyle f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1})]를 만족하는 [math(x_0)]가 [math(\left(x_1, x_2\right))]내에 적어도 하나 존재한다. 또한 [math(x_2-x_1 > 0, f'\left(x_0\right) > 0)]이므로 [math(f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) > 0 )]이다. 즉, [math(f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right))]가 성립한다. [math(x_1, x_2)]는 구간 안의 임의의 값이므로 [math(f)]는 구간 내에서 증가한다.

비슷한 방법으로 아래 명제를 증명할 수 있다.
함수 [math(f)]가 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하고모든[math(x\in(a,b))]에 대해 [math(f'\left(x\right) < 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 감소한다.

4.2. 로피탈의 정리

해당 문서 참고

4.3. 미분가능성

어떤 한 점에서 미분가능성을 모를 때, 주변 미분계수의 극한을 관찰함으로써 미분가능성을 판정할 수도 있다.
실수 [math(a)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]에서 정의된 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(f)]가 [math(a)]에서 연속이고 [math(I-\left\{a\right\})]에서 미분가능하며, [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L)]이면([math(L)]은 실수) [math(f)]는 [math(a)]에서 미분가능하고 [math(f'\left(a\right)=L)]이다.
증명
\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L</math>이므로 임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여 양수 [math(\delta \left(\varepsilon\right))]가 존재하여 [math(0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right))]인 임의의 [math(x \in I)]에 대해 [math(\left|f'\left(x\right)-L\right|<\varepsilon)]이다.

한편 평균값 정리에 의하여 임의의 [math(x\in I-\left\{a\right\})]에 대해 [math(\displaystyle {f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=f'\left(c\right))]인 [math(c)]가 [math(a)]와 [math(x)]사이에 존재한다. 즉, [math(0<\left|c-a\right|<\left|x-a\right|)]이다.

그러면 [math(x \in I)]이고 [math(0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right))]일 때 [math(\displaystyle \left|{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}-L\right|=\left|f'\left(c\right)-L\right|<\varepsilon)]이 성립하므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=L)]이다. 따라서 [math(f)]는 [math(a)]에서 미분가능하고 [math(f'\left(a\right)=L)]이다.

참고로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=\pm\infty)]이면 [math(f)]가 [math(a)]에서 미분가능하지 않고, [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right))]가 수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는경우 이 방법으로는 미분가능성을 판단할 수 없다. 로피탈의 정리와 사용조건이 같다는 걸 알 수 있다.[2]

4.4. 적분의 평균값 정리

대학교 미분적분학에 등장한다. 이 정리는 주어진 곡선에 대한 면적과 같은 직사각형을 구하는 데 도움을 준다.
함수 [math(f)]가 실수상에 속하는 폐구간[math([a, b])]에서 연속함수이면, [math(\displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c))]를 만족시키는 [math(c\in(a, b))]가 존재한다.
증명
[math(f)]가 [math([a, b])]에서 연속이므로 최대, 최소값의 정리에 의하여 [math(M = \sup\{f(x)|x\in[a, b]\})], [math(m = \inf \{f(x)|x\in[a, b]\})]가 존재한다. 따라서 모든 [math(x\in[a, b])]에 대하여 [math(m\le f(x)\le M)]이므로 적분의 대소 비교 성질에 의하여 [math(m(b - a)\le \displaystyle \int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x\le M(b - a))]이다. 그러므로 다음이 성립한다.

[math( m\le \displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x \le M)]

[math(f)]는 [math([a, b])]에서 연속이므로, 중간값의 정리에 의하여 [math(\displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c))]를 만족시키는 [math(c\in(a, b))]가 존재한다.

4.5. 가우스의 평균값 정리

Gauss's mean value theorem
복소평면상에서 코시 적분 공식에서 유도되는 공식.
함수 [math(f)]가 닫힌 원 [math(\left|z-z_{0}\right|\leq r)]에서 해석적(analytic)이면, [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta)]이다.
증명
코시 적분 공식 [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\mathcal{C}}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z})]에서, [math(\mathcal{C}:z_{0}+re^{i\theta})]라고 하자.
즉, [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\left|z-z_{0}\right|=r}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z})]인데, [math(z-z_{0}=z_{0}+re^{i\theta}-z_{0}=re^{i\theta})]이므로, [math(\mathrm{d}z=ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta)]가 되고, [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{0}^{2\pi}\displaystyle{\frac{f(z_{0}+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta})]가 된다.
정리하면 [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta)]가 성립한다.
적분 평균값 정리에서 [math(a=0, b=2\pi, x=z_{0}+re^{i\theta}, c=z_{0})]라고 둘 경우의 경우와 일치한다. [math(x)]를 [math(\mathbb{C})]상에서 범위 [math(X:\left|z_{0}-y\right|\leq r)]의 경계선으로 보면, [math(c=z_{0}\to c\in X)]이기 때문.

5. 활용

  • 이차함수는 임의의 닫힌 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에 존재한다는 특수한 성질을 갖는다. 다항함수/공식 참고.
  • 삼차함수는 평균값 정리의 역의 반례가 존재하는 최소 차수의 다항함수이다. 삼차함수 참고.
  • 경제성장론 솔로우-스완 모형에서, 생산함수의 그래프에 대하여 닫힌 구간 [math([0,\,k_{\rm max}])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점에서 균제상태의 소비가 최대가 되며 이때의 자본-노동 비율을 '황금률 자본-노동 비율'이라 하고 [math(k_{\rm G})]로 표기한다.

6. 관련 문서



[1] 영미권에서 MVT라고 하면 보통은 알아듣는다. [2] 사실 이 명제는 로피탈의 정리의 특수한 경우로도 볼 수 있다.