최근 수정 시각 : 2022-11-03 16:30:28

산술·기하 평균 부등식

절대부등식
Absolute Inequalities
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코시-슈바르츠 부등식 산술·기하 평균 부등식
[math(\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right))] [math(\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}})]
젠센 부등식 횔더 부등식
[math(\lambda_n f\left(x_n\right)\ge f\left({\lambda_n}{x_n}\right))] [math(\left(f^p \right)^{1/p} \left(g^q \right)^{1/q} \ge f g)]
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[math(ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})] [math(\frac{E(X)}k\ge{\rm P}(X\ge k))]
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[math(\begin{aligned}P[\mu-k\sigma<X<\mu+k\sigma]\geq1-\frac1{k^2}\end{aligned})]
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[math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)]
합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축 }}}}}}}}}}}}

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1. 개요2. 산술 평균과 기하 평균의 특성
2.1. 산술 평균2.2. 기하 평균
3. 산술·기하 평균 부등식
3.1. 증명
3.1.1. 수학적 귀납법을 이용한 증명3.1.2. 자연로그의 밑을 이용한 증명
4. 주의사항5. 기타6. 관련 문서

1. 개요

산술·기하 평균 부등식(· , arithmetic mean-geometric mean inequality) 또는 AM-GM 부등식은 절대부등식의 하나로, 관찰값들의 산술 평균이 항상 기하 평균보다 크거나 같음을 의미한다. 산술 평균과 기하 평균이 같은 경우는 모든 실수항인 관찰값이 동일한 경우이다.

코시-슈바르츠 부등식과 함께 고등학교 교육과정에 포함되어 있다. 까다로운 최대/최솟값 문제를 풀 때 심심치 않게 쓴다.

2. 산술 평균과 기하 평균의 특성

2.1. 산술 평균

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 평균 문서
2.1번 문단을
부분을
참고하십시오.
Arithmetic Mean
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가장 일반적으로 사람들이 생각하는 평균으로 다 합쳐서 개수만큼 나눠서 얻을 수 있다. 각각의 관찰값 a들의 총합을 n으로 나눈 값이라고 말하기도 한다. 어찌 보면 당연한 사실이겠지만 모든 관찰값들에 동일하게 임의의 x값을 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눈 뒤 다시 평균을 내면 평균에도 동일한 값이 계산된 결과가 나온다.

2.2. 기하 평균

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 평균 문서
2.2번 문단을
부분을
참고하십시오.
Geometric Mean
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숫자들을 모두 곱해서 n 제곱근을 취해서 얻는 평균.

기하 평균은 예를 들어 연간 경제성장률, 물가인상율, 연간 이자율, 감쇠/증폭율, 백분비, 크기 확대 비율 같이 표본들이 비율이나 배수이고 각 표본값이 연속성/연계성이 있어서 표본들을 곱한 값이 의미가 있는 경우에 주로 쓰인다. 예를 들어 한국의 2000년 부터 2010년까지 평균경제성장률 등.

3. 산술·기하 평균 부등식

산술·기하 평균 부등식
[math(n)]개의 수 [math(a_1,a_2,\dots,a_n)]가 모두 양수라 하자.[1] 그러면,{{{#!wiki style="margin:10px 0;text-align:center"
[math(\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geqq\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n})]}}}가 성립한다. 단, 등호는 [math(a_1=a_2=\cdots=a_n)]일 때만 성립.
고등수준에서 알기 쉽게 설명한 영상

3.1. 증명

3.1.1. 수학적 귀납법을 이용한 증명

워낙 유명한 절대부등식이기 때문에 매우 많은 증명이 존재하는데 보통 수학적 귀납법을 사용한다. 아래의 증명은 오귀스탱루이 코시가 1821년에 쓴 Cours d'Analyse에 나오는 증명으로 흔히 아는 'n=1에서 성립하고, n에서 성립하면 n+1에서 성립한다' 보다 조금 더 복잡하다. 물론 그냥 귀납법으로 증명하는 것도 가능하다. 위키백과만 뒤져봐도 2가지 서로 다른 증명이 나온다.
① [math(n=1)]일 때는 당연하고, 자주 이용할 [math(n=2)]일 때를 보자. 이 때 증명하고자 하는 것은

[math(\dfrac{a_1+a_2}{2}\geq\sqrt{a_1a_2})], 즉 이는 [math(\dfrac{a_1+a_2}{2}-\sqrt{a_1a_2}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}\right)^2\geq0)]

이므로 성립한다.

② [math(n)]일 때 성립하면 [math(2n)]일 때 성립함을 보이자. [math(2n)]개의 양수를 [math(a_1,a_2,\dots,a_{2n})]라 하자. 가정에 의해,

[math(m_1=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq g_1=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac1n)]

[math(m_2=\dfrac{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n}}{n}\geq g_2=\left(a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\right)^\frac1n)]

의 두 부등식이 성립한다. 두개씩 끊어서 비교하면 쉽게 구할 수 있다. 또한, 우리는 [math(n=2)]일 때의 산술·기하 평균 부등식을 사용 가능하다.

[math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2n}}{2n}=\dfrac{m_1+m_2}{2}\geq\dfrac{g_1+g_2}{2}\geq\left(g_1g_2\right)^{1/2}=\left(a_1a_2\cdots a_{2n}\right)^{1/2n})]

따라서, [math(n)]일 때 성립하면 [math(2n)]일 때도 성립한다.

③ [math(n)]일 때 성립하면 [math(n-1)]일 때 성립함을 보이자. 임의의 [math(n-1)]개의 수 [math(a_1,a_2,\dots,a_{n-1})]에 대해, [math(a_n)]을 저 [math(n-1)]개의 수의 산술평균으로 두자. 그리고 전체 [math(n)]개의 수의 산술평균을 계산하면

[math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\,\left(=a_n\right))]

이 되어, 원래 [math(n-1)]개 수의 산술평균과 같은 값임을 알 수 있다. 또한, [math(n-1)]개 수의 기하평균을 [math(g)]로 두자.

이제 보이고자 하는 것은 [math(a_n\ge g)]인데, 가정에 의해 n개의 수에 대해 산술·기하 평균 부등식이 성립하므로

[math(a_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac1n={a_n}^{1/n}g^{(n-1)/n})]

즉 [math(a_n\ge {a_n}^{1/n}g^{(n-1)/n})]이고, [math({a_n}^{(n-1)/n}\ge g^{(n-1)/n})], [math(a_n\ge g)]이다. 따라서 [math(n)]에서 성립하면 [math(n-1)]일 때도 성립한다.

①②③에 의해 모든 자연수 [math(n)]에 대해 성립한다. 왜냐하면, ②에 의해 [math(2^m)]꼴의 모든 자연수에 대해서 성립하며, ③에 의해 [math(2^m)]보다 작은 모든 자연수에 대해서 성립하게 되는데, 모든 자연수는 자신보다 큰 [math(2^m)]꼴의 자연수를 당연히 가지기 때문이다.

3.1.2. 자연로그의 밑을 이용한 증명

자연로그의 밑 [math(e)]를 이용한 증명도 존재한다. [math(e^{x-1}\ge x)]를 이용하는데, 이는 [math(f(x)=e^{x-1}-x)]로 놓고 [math(f'(x))]를 통하여 증명 가능하다.
{{{#!wiki style=""
[math(X=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n})]라 하면 다음이 성립한다.
<tablealign=center>[math(\begin{aligned}e^{(a_1/X)-1}&\ge\dfrac{a_1}{X}\\e^{(a_2/X)-1}&\ge\dfrac{a_2}{X}\\ &\vdots\\e^{(a_n/X)-1}&\ge\dfrac{a_n}{X}\end{aligned})]
에서 이를 모두 곱하면

[math(e^{(a_1+a_2+\cdots+a_n)/X-n}\ge\dfrac{a_1}{X}\dfrac{a_2}{X}\cdots\dfrac{a_n}{X})]

이때 [math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{X}-n=n-n=0)], 따라서
[math(\begin{aligned}e^0=1&\ge\dfrac{a_1a_2\cdots a_n}{X^n}\\X^n&\ge a_1a_2\cdots a_n\\ \therefore\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}&\ge\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac1n\end{aligned})] }}}

4. 주의사항

이 부등식을 이용하여 최댓값 혹은 최솟값을 구하는 경우는, 다음과 같은 경우이다.
  • 두 수의 합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구한다.
  • 두 수의 곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구한다.
간혹 위 상황에 해당하지 않는데 부등식을 적용한 후 등호 조건을 이용하여 최댓값과 최솟값을 구하는 경우가 있는데, 이는 오답이 나온다. 자세한 정보는 이 글을 참고.

5. 기타

역사가 오랜 부등식이며, 형태도 간단한 만큼 아주 다양한 형태의 확장이 나왔다. 멱평균부등식/가중치 산술·평균부등식 등이 잘 알려져 있으며 그 하나하나가 올림피아드와 같은 경시대회에서는 반드시 알게 되어 있는 것들이다.

대수적 정수론 분야에서 이름높은 수학자 Kiran Kedlaya는 졸업 논문으로 다음과 같은 재미있고 기괴한 절대부등식의 증명을 내놓았다.

[math(\dfrac{a_1+\left(a_1a_2\right)^{1/2}+\cdots+\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}}{n}\leq\left(a_1\times\dfrac{a_1+a_2}{2}\times\cdots\times\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)^\frac1n)]

양변에 산술평균과 기하평균이 혼합되어 있다. 증명이 궁금한 사람은 여기로.

6. 관련 문서



[1] 즉 모든 변량이 양수라는 전제하에