최근 수정 시각 : 2022-11-10 15:32:21

무한소

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1. 일반적인 인식2. 초실수체에서의 무한소
2.1. 무한소2.2. 함수의 극한
3. 관련 문서

1. 일반적인 인식

/ infinitesimal[1]

무한소는 엡실론-델타 논법이 존재하기 이전에 극한을 설명 혹은 계산하기 위하여 여러 수학자들이 고안해낸 개념이다. 페르마는 극대·극소 문제를 풀기 위하여, adequality라는 개념을 도입하였고, 뉴턴은 시간에 따라 변화하는 함수의 순간변화율(뉴턴은 이를 fluxion이라 불렀다.)을 구하기 위해, 무한소를 이용하였다. 또한 라이프니츠는 함수의 접선의 기울기를 구하면서 미분소([math({\rm d}x)])라는 것을 만들었다. 그러나 수학적으로 엄밀하지 못하여 조지 버클리 등에게 비판을 받았다. 이후, 18세기 초에 코시, 볼차노 바이어슈트라스 엡실론-델타 논법을 개발하여 극한을 정의한 이후에 무한소의 '개념' 자체는 별 주목을 받지 못하고 역사의 기억으로 남게 된다.

하지만 엄밀함을 희생한다면 미분소 정도는 막상 써먹기는 편리하고, 지금도 수학자들이 아니면 [math({\rm d}x,\, {\rm d}y)] 등을 일종의 수처럼 자유롭게 쓰는 경우는 많다. 다행히도 미분소로만 쓰는 무한소의 의미는 현대수학에서 미분형식이란 이름으로 나름대로 엄밀하게 만들어졌고, 따라서 암묵의 룰을 지키며 주의해서 쓴다면 문제는 없다. 물론 해석학이 자리잡히지 않은 상태에서 이런 이야기를 들으면 오개념이 생기기 딱 좋기 때문에 현대의 미적분학 교육과정에선 무한소와 미분소 얘기를 100% 배제하는 경향이 있다.

2. 초실수체에서의 무한소

20세기 후반에 아브라함 로빈슨 등이 무한소와 무한대를 포함시키도록 실수체를 확장한 초실수체(hyperreal)[2]를 도입하여 극한, 미분, 적분 등을 설명하는 비표준 해석학을 개발하였다. 일단 무한소와 초실수체에 대한 존재를 마음속으로 받아들이면 미적분학이 굉장히 직관적이 되지만, 무한소와 초실수체 자체를 이해하려고 한다면, 엡실론-델타 논법을 이해하는 것보다 훨씬 어렵고 공부를 많이 하여야 한다. 초실수체 문서도 참고하는 것이 좋다.

2.1. 무한소

초실수체에서 무한소란 다음 셋 중 하나이다.[3]
  1. 양의 무한소: 0보다는 크면서 임의의 양의 실수보다 작은 초실수이다.[4]
  2. 음의 무한소: 0보다는 작으면서 임의의 음의 실수보다 큰 초실수이다.
  3. [math(0)]: 우리가 아는 덧셈에 대한 항등원, 그거 맞다.
1e-324조차도 0으로 취급하는 컴퓨터와는 달리 0에 무한히 가까운 것도 0으로 취급하지 않다니...

0을 제외하면 어디다 쓸까 싶지만 삼각형 하나를 크기가 1/2인 삼각형 2개로 나누고 그걸 또 1/2인 삼각형으로 나누는 것을 무한 번 반복하면 결국 한 변이 된다. 그 외에도 1을 1 초과한 수로 나누는 것을 무한 번 반복해서 0이 되는 것도 생각해볼 수 있다. 이 말은 곧 1=2가 맞다는 말이 된다. 무한 개의 삼각형이 있는데 왜 0이 되는가? 이를 해결하기 위해 무한소가 나온 것이다.[5]

다르게 생각하면 이렇다. 1부터 1보다 큰 임의의 자연수까지의 자연수 중 하나가 정답이라고 치자. 이 때 선택할 수 있는 기회가 충분히 많다면 1부터 마지막까지 다 선택해버리면 반드시 그 중에서 정답이 존재하게 된다. 정답을 맞히지 못했을 경우의 확률은 완전한 0%이므로 정답이 뭐든 같은 상황이 무한히 일어나더라도 그런 일은 절대 일어날 수 없다. 반대로 1과 2 중 하나가 정답이라고 치자. 이 때 선택은 1과 2 중 하나만 해야 하는데 이를 완전한 랜덤이라고 치자. 정답을 선택하는 순간 바로 끝나는 것이다. 1번째로 실패할 확률은 50%이고, 2번째는 25%... 선택할 수 있는 기회가 적은 현실에서는 오히려 이쪽이 훨씬 확률이 높겠지만 무한 번째의 경우라도 완전한 0%는 아니다. 이유는 이러한 상황이 무한히 일어나는 경우도 생각해봐야 하기 때문. 만약 1이 정답이고 1만 선택할 수 있다면 시도 횟수가 얼마든 0회만 아니라면 이는 무한소가 아니라 완전한 0%이다. 이와 관련된 것은 생일 문제가 있다.

연속확률분포로 생각해보면 이렇다. 최대 150ml까지만 물을 담을 수 있는 컵에 물을 더도말고 덜도말고 정확히 100ml만 따를 확률은 0%에 수렴한다. 다만 실제로는 물 분자를 산소와 수소로 나눌 경우 더 이상 나눌 수 없기 때문에 정확한 양은 커녕 소수점 뒤의 자릿수가 조금만 많아도 그 확률은 0%가 되어버린다. 만약 물이든 뭐든 무한히 나눌 수 있고, 무한히 나눠버리면 그 물질의 양은 무한소, 사실상 없어진다고 치자. 이렇게 되면 무한히 시도할 경우 반드시 정확히 100ml만 따를 수 없는 건 아니다.[6] 이러면 컵에 물을 정확히 100ml만 따를 확률은 무한소라고 보면 된다. 하지만 넘치지 않고 200ml 이상 따를 확률은 얼마인가? 단 물을 압축시킬 수는 없다. 이 확률은 완전한 0%이므로 무한히 시도해도 절대 일어날 수 없다.

물론 양의 무한소와, 음의 무한소는 하나만 있는게 아니라 셀 수 없이 무한히 많다. [math(\epsilon)]과 [math(\delta)]가 양의 무한소이면 [math(2\epsilon)], [math(\epsilon^{2})], [math(\epsilon+\delta)], [math(\epsilon\delta)]등도 양의 무한소이다. 또한, 0은 말 그대로 0이기 때문에 0으로 나눌 수는 없지만, 양의 무한소, 음의 무한소는 0이 아니기 때문에 나누기도 가능하다. 예컨데, [math(\epsilon)]이 양의 무한소이면, [math(1/\epsilon)]은 양의 무한대[7]이다.

무한소는 덧셈, 곱셈, 뺄셈에 대하여 닫혀있지만, 나눗셈에 대하여는 닫혀있지 않다.[8] 즉, 임의의 두 무한소 [math(\epsilon)], [math(\delta)]에 대하여
  1. [math(\epsilon+\delta)]
  2. [math(\epsilon-\delta)]
  3. [math(\epsilon\times\delta)]
은 모두 무한소이다. 그러나 [math(\epsilon)]이 0이 아닌 무한소이면
  1. [math(\epsilon \div \epsilon^{2}=1/\epsilon)]은 무한대이다.
  2. [math(\epsilon^{2} \div \epsilon=\epsilon)]은 무한소이다.
  3. [math(\epsilon \div \epsilon=1 )]은 실수이다.

또한 무한소가 아닌 임의의 유한 초실수 [math(a)]와 임의의 무한소[math(\epsilon)]에 대하여
  1. [math(a+\epsilon)]는 유한초실수이다.
  2. [math(a\times\epsilon)]는 무한소이다.
  3. [math(a\div \epsilon)]은 무한대이다.

임의의 두 초실수 [math(a,b)]에 대하여 [math(a-b)]가 무한소이면 [math(a)]와 [math(b)]를 한없이 가깝다고 한다.

유한초실수 [math(a)]가 주어졌을 때, [math(a)]에 한없이 가까운 실수가 유일하게 존재하는데, 이를 [math(a)]의 표준부분(standard part)이라고 하며, [math(st(a))]로 나타낸다.
[math(a=st(a)+\epsilon)]
을 만족하는 실수 [math(st(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다.

파일:무한소현미경.png
배율이 [math(1/\epsilon)](무한히 확대한 격)인 무한소 현미경으로 관찰한 5 주변의 초실직선

여담으로 컴퓨터에서 수가 너무 커지면 무한대로 표시되는데 반대로 너무 작으면 무한소가 아닌 아예 0이 되어버린다. 0에 한없이 다가가다보면 5e-324 쯤에 더 이상 다가가지 못하고 0이 되는 것이다. 또한 현재 값의 10경 분의 1조차도 되지 않는 값으로 더하거나 빼면 아무리 그 과정을 반복해도 아예 하지 않은 것과 같다.

2.2. 함수의 극한

함수 [math(f)]가, 실수 [math(c)]에 한없이 가깝지만 [math(c)]는 아닌 임의의 초실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(x))][9]가 실수 [math(L)]에 한없이 가까우면, [math(x)]가 [math(c)]로 갈 때의 [math(f)]의 극한을 [math(L)]이라 한다. 즉, 임의의 0이아닌 무한소 [math(\Delta x)]에 대하여
[math(st(f(c+\Delta x))=L)]
이 성립하면 [math(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L)] 이다. 예를들어 [math(f(x)=x^{2})]에 대하여 [math(x)]가 3으로 가면, 0이 아닌 임의의 아닌 무한소 [math(\Delta x)]에 대하여
[math(st(f(3+\Delta x))=st((3+\Delta x)^{2})=st(9+6\Delta x+\Delta x^{2})=9)]
이므로, [math(\lim\limits_{x\to 3}x^{2}=9)]이다.

3. 관련 문서


[1] 인피니테시믈(/ˌɪnfɪnɪˈtesɪml/)로 발음한다. [2] 존 호튼 콘웨이가 만든 초현실수(surreal number)와는 다르다. [3] 0으로 한없이 다가가지만 0은 아니라던가 그런것이 아니다. 그냥 하나의 수인 것이다. [4] 실수체의 원소를 실수라 하고, 초실수체의 원소를 초실수라 한다. 실수체는 초실수체의 부분집합이므로, 실수는 일종의 초실수이다. [5] 참고로 0.999...=1같은 무한소수는 어떤 수를 특정 수로 나눴을 때 그 무한소수이다. 10을 3으로 나누면 3.333...(3이 무한 개)이 되는 것처럼. 그 수를 다시 나눈 수로 곱했을 때의 원래의 수로 돌아오게 된다. 즉 무한소가 아닌 임의의 양수를 특정 수로 무한히 나누고 곱해도 그 값이 무한소나 0이 될 일은 없다는 말이다. 아니, 무한소나 0은 커녕 마지막에 나누는 게 아니라 곱했다면 수 자체는 미동도 없다. 이게 일어난다는 것은 확률 무한소가 아닌 완전한 0%가 일어나는 것이나 마찬가지이고 1=2가 맞다고 인정하는 꼴이다. 그러니 혼동하지 말자. 정리하자면, 무한소에 해당하는 0.000...1은 0.999...와 1의 차이인 완전한 0보다 크다. [6] 여기서 오해하지 말아야 할 게 100ml는 특정한 값인 건 사실이나 가능성이 0은 아니고 무한소다. [7] 임의의 실수보다 큰 초실수 [8] 나눗셈이라는 게 애초에 아무리 큰 수를 2로 나눠도 눈에 띄게 감소하지만 결국 유한한 횟수에 유한한 나누는 수로는 0이 아닌 양수를 0이나 음수에 도달할 수는 없다. [9] 극한을 보려는 함수가 실함수이고, 여기서 x는 초실수이기 때문에 f(x)라는 식으로 쓰는 것은 약간의 넌센스가 있다. 1차논리로 기술된 f에 대한 참인 모든 명제를 다 만족하면서 정의역과 공역을 실수체에서 초실수체로 확장 된 함수 f*가 존재하여야 하는데, 전달원리(transfer principle)란 것에 의해 존재한다고 한다. 이를 f의 자연스러운 확장(natural extension)이라 한다.


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