최근 수정 시각 : 2021-08-10 11:55:33

단조 수렴 정리

해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
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1. 개요2. 상세

1. 개요

단조 수렴 정리( 調 , monotone convergence theorem, MCT)는 해석학에서 수열의 극한과 관련된 정리 중 하나이다. 증명하는 방법은 완비 공리(completeness axiom)를 이용하여 실수의 완비성(completeness of real number)을 밝혀내는 것이다.

2. 상세

단조 수렴 정리를 바르게 이해하기 위해서는, 단조수열(monotone sequence)과 유계(bounded)라는 개념을 정확히 이해할 필요가 있다.

일단 무한수열 {an}이 주어져 있다고 하자.

모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \leq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 (단조)증가수열이다.
모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \geq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 (단조)감소수열이다.
{an}이 증가수열 또는 감소수열일 때, 단조수열이라고 부른다.

실수 [math(M)]이 존재하고 모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \leq M)]일 때 [math(\{a_n\})]은 위로 유계(bounded above)이다. 이때 [math(M)]을 상계(upper bound)라고 한다.
실수 [math(m)]이 존재하고 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n \geq m)]일 때 [math(\{a_n\})]은 아래로 유계(bounded below)이다. 이때 [math(m)]을 하계(lower bound)라고 한다.
[math(\{a_n\})]이 위로 유계이면서 아래로 유계일 때, 유계라고 부른다.

"유계이면서 단조인 실수열은 모두 수렴한다(If a real sequence is bounded and monotone, it converges.)"라는 것이 단조 수렴 정리의 내용이다.