최근 수정 시각 : 2024-04-30 21:56:52

단조 수렴 정리


해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
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1. 개요2. 상세

1. 개요

調 / monotone convergence theorem(MCT)
단조 수렴 정리는 해석학에서 수열의 극한과 관련된 정리 중 하나이다. 증명하는 방법은 완비 공리(completeness axiom)를 이용하여 실수의 완비성(completeness of real number)을 밝혀내는 것이다.

2. 상세

단조 수렴 정리를 바르게 이해하기 위해서는, 단조수열(monotone sequence)과 유계라는 개념을 정확히 이해할 필요가 있다. (유계의 개념에 대해서는 유계 문서 참고.)

일단 무한수열 [math(\{a_n\})]이 주어져 있다고 하자. 모든 자연수 [math(n)]에 대해
  • [math(a_n \leq a_{n+1})]이면, [math(\{a_n\})]은 단조증가수열(감소하지 않는 수열)이다.
  • [math(a_n \geq a_{n+1})]이면, [math(\{a_n\})]은 단조감소수열(증가하지 않는 수열)이다.

유계이면서 단조인 실수열은 모두 수렴한다는 것이 단조 수렴 정리이다.
[증명]
-------
(출처: 해석학 1, Herbert Amann, Joachim Escher)

  1. 수열 [math(\{a_n\})]이 위로 유계인 단조증가수열이라 하자. 그러면 수열의 치역 집합 [math(A)]는 실수 집합 안에서 비어 있지 않은 유계이다. 완비성 공리에 의해 [math(A)]는 실수 안에서 상한 [math(a)]가 존재한다.
  2. 보조정리: 임의의 수 [math(x)]가 어떤 집합의 상한보다 작을 때, 그 집합 안에는 항상 [math(x)]보다 큰 수 [math(y)]가 존재한다. (만약 [math(x)]가 집합 안의 모든 [math(y)]보다 더 크거나 같다면, [math(x)]는 그 집합의 상계이므로 상한보다 작을 수 없다. 상한의 정의가 '제일 작은 상계'이므로.)
그러므로, 임의의 양수 [math(\epsilon)]이 주어지면 보조정리에 의해 다음 식을 만족하는 자연수 [math(N)]을 찾을 수 있다.
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[math(\begin{aligned}
a_N > a-\epsilon
\end{aligned} )]}}}
그리고 수열 [math(\{a_n\})]은 단조증가수열이므로, [math(N)]보다 더 큰 자연수 [math(k))]대해 다음과 같은 부등식이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\begin{aligned}
a_k \ge a_N > a-\epsilon
\end{aligned} )]}}}
그러므로 거의 모든 (유한한 수열의 항 빼고) 수열의 항이 [math(a)]의 [math(\epsilon)]-근방에 있으므로, 수열 [math(\{a_n\})]는 [math(a)], 즉 수열의 치역의 상한으로 수렴한다.
i. 만약 수열 [math(\{a_n\})]이 아래로 유계인 단조감소수열이면, [math(a)]를 수열의 치역의 하한으로 잡고 [math(b_n = -a_n)]으로 놓으면 수열 [math(\{b_n\})]은 위로 유계인 단조증가수열이다. 수열 [math(\{b_n\})]의 상한은 [math(-a)]이므로, ii.를 통해서 [math(-a)]로 수렴하는 걸 알 수 있다. 그러므로 수열 [math(\{a_n\})]은 수열의 치역의 하한 [math(a)]로 수렴하는 것을 알 수 있다.