최근 수정 시각 : 2024-05-14 12:48:37

콜라츠 추측

[math({\rm \Large C}\text{ollatz Conjecture})]
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1. 개요2. 어떤 추측인가?3. 해결하기 어려운 이유4. 일반화5. 페르마의 마지막 정리와의 비교6. 테렌스 타오의 접근7. 여담8. 관련 링크

1. 개요

로타르 콜라츠(Lothar Collatz)가 1937년에 제기한 추측. 페르마의 마지막 정리와 같이 수학자들을 고민에 빠트린 전설의 문제이다.

이에 대한 대표적인 권위자로 Jeffrey C.Lagarias[1] 교수가 있다. 제프리 라가리아스(Jeffrey Lagarias) 교수는 2010년에 이 문제에 대한 알려진 정보만을 토대로 "이것은 현재의 수학에서 완전히 벗어난 매우 어려운 문제입니다"라고 주장했다.

2. 어떤 추측인가?

이른바 "우박수" 또는 "우박 수열"이라는 이름으로 아는 사람이 많을 것이다. 이는 숫자가 커졌다 작아졌다를 반복하다 결국 1에 수렴하는 걸 비구름에서 빗방울이 오르락내리락하며 우박이 되는 모습에 빗대어 그렇게 부른다.

[math( T(n) = \begin{cases} \begin{array}{cl} \begin{aligned}\dfrac n2 , \end{aligned}& \textsf{if }n\textsf{ is even} \\ 3n+1, & \textsf{if }n\textsf{ is odd} \end{array} \end{cases} )]

이 함수 T(n)을 모든 자연수 n에 대해 유한번 재귀 반복하면 1로 간다는 추측이다. 약간 변형된 표현으로

[math( T'(n) = \begin{cases}\begin{array}{cl} \begin{aligned} \dfrac n2, \end{aligned}& \textsf{if }n\textsf{ is even} \\ \begin{aligned} \dfrac{3n+1}2, \end{aligned}& \textsf{if }n\textsf{ is odd}\end{array}\end{cases})]

라고 제시하기도 한다. 홀수에 대해서 3n+1 을 하면 무조건 짝수가 되는데 그 다음 단계에서 2로 나누게 되므로 한단계를 생략하고 미리 2로 나눈 것이다. 이 수열의 끝이 1이냐 아니냐만 중요하기에 중간 단계를 간략화하는 것은 별다른 영향을 주지는 않는다. 단 최대 얼마까지 커지느냐를 따지는 경우라면 원래의 표현을 기준으로 해야 한다.

이를 풀어서 설명하자면 1을 제외한 아무 자연수나 생각한 다음 그게 홀수라면 3을 곱한 다음 1을 더하고, 짝수라면 2로 나눈다. 그렇게 나온 수를 다시 저 식에 집어 넣고 이하 반복, 이걸 계속하다 보면 1이 나온다는 것이다. 예를 들어 5에서 시작하면 5는 홀수니까 3×5+1=16이 되고 16은 짝수니까 16/2=8, 이후 4와 2를 거쳐 1에 도달하게 된다.

이 추측의 반례는 아직 나오지 않았고 아마도 참일 것으로 추정된다. 반례가 하나라도 나오는 순간 별다른 증명이 필요없이 저 추측은 거짓인 것으로 문제가 끝나기 때문이다. 이미 1980년대에 컴퓨터를 이용해 약 1까지의 숫자를 넣어보았지만 모두 1에 도달했다.[2]

이 추측은 [age(1937-01-01)]년이 넘도록 풀리지 않고 있다. 게다가 상금도 걸려 있다. 1000파운드와 500달러의 상금이 걸려 있는데, 이중 500달러의 상금을 건 사람은 에르되시 팔이다.[3] 또한 1.2억엔(약 11억)의 상금을 지급한다. #

3. 해결하기 어려운 이유

콜라츠 추측이 풀기 어려운 이유를 알려면 일단 이것부터 알아야 한다. 점근 표기법은 [math(\mathcal{O}(f(x)))]의 형식으로 표기되며 영어로는 Big O notation이다. [math(\mathcal{O}(f(x))=g(x))]가 의미하는 바는 [math(f(x))]에 비해 [math(g(x))]의 값이 일정 범위 내에서 항상 같거나 떨어진다는 것이다. 콜라츠 추측은 이 Big O notation에 의한 분류에서 야생 함수로 분류된다.

그리고 원시함수이기 때문에 증가율이 항상 높다. 이것 때문에 심지어 "항상 콜라츠 함수의 값은 감소한다"는 명제도 증명이 안 되고 있다.

4. 일반화

결론부터 말하면 일반화를 해도 진전이 없다. 콘웨이의 생명 게임 창시자로 유명한 존 호튼 콘웨이 1972년 정지 문제를 이용해 일반화한 문제는 결정 불가능하다고 증명했기 때문이다. 콜라츠 추측이 결정 불가능하다는 게 아니다. 콜라츠 추측은 짝수면 1/2를 곱하고 홀수면 3n+1을 하는 함수 g가 주어지고 모든 n에 대해 이것이 수렴하는지 묻는 것인데 이제는 n(mod P)에 따라서 서로 다른 P개의 일차함수를 통해 값을 반환하는 더 일반화된 함수 g를 생각하자는 것이다. 이때 콘웨이의 증명은 이러한 임의의 g와 n이 주어졌을 때 gk(n)이 1에 도달하는지 푸는 문제는 결정 불가능하다는 것이다.[4]

그리고 2007년 Simon과 Kurtz는 이를 n>0인 경우로만 한정하는 대신 모든 n>0 에 대해 1로 수렴하는지 물어보는 문제로 바꾸어 이 문제 역시 결정 불가능함을 증명했다. 더 놀라운 것은 2015년에는 mod P에서 P를 6480으로 고정시켜도 그 문제 역시 결정 불가능하다는 것이 증명되었다.

이러한 결과들은 콜라츠 추측을 일반화시켜 연구하는 것이 어려울 것임을 시사한다. 그러나 콜라츠 추측의 참/거짓/증명불가능성과는 직접적인 연관이 없는데 일반화된 알고리즘이 없어도 각 경우를 모두 풀 수 없는 것은 아니기 때문이다.[5]

5. 페르마의 마지막 정리와의 비교

증명의 악랄한 난이도에 비해 문제 자체는 초등학생도 이해할 수 있을 정도로 단순하다. 당장 사칙연산 자연수의 개념만 알아도 이해가 되기 때문. 페르마의 마지막 정리는 그래도 지수의 개념은 알아야 되고 리만 가설 복소수와 리만 함수에 대한 이해가 필요하다는 점을 생각해보면 콜라츠 추측이 얼마나 단순한지 알 수 있다.

지금 당장 구글에 The proof of the Collatz conjecture이라고 치면 전문 수학자부터 20살, 심지어 15살이 쓴 논문까지 존재한다. 그리고 아무것도 동료평가를 통과하지 못했다. 이렇게 계속 증명 시도가 좌절되니 괴델의 불완전성 정리에 따른 증명 불가능설이 고개를 들고 있으며 상당한 신빙성을 얻고 있다.[6]

6. 테렌스 타오의 접근

2019년 9월 8일 타오가 콜라츠 추측을 건드렸다. 논문 기사
  • 어떤 함수 [math(f(x))]에서
  • [math(x)]가 무한히 커질 때 [math(f(x))]도 무한이 되면
  • 거의 모든 자연수 [math(N)]에 콜라츠 함수를 반복하면 [math(f(N))] 이하로 언젠가는 떨어진다.
    • '거의 모든'이 수학적이지 않아 납득이 안 갈 수 있는데, 조건을 만족시키는 수의 확률이 1에 수렴한다는 것을 의미한다.[7]
  • 이 말은 '거의 모든 자연수에 대하여 콜라츠 추측이 성립한다'와 동치이다. 로그를 여러 번 사용한 함수같이 매우 천천히 무한으로 발산하는 함수가 있기 때문이다.

물론 이 말은 콜라츠 추측 자체를 증명한 것이 아니다.[8] 참고로 "콜라츠 추측은 (거의) 필연적으로 감소한다"는 것은 타오 이전에도 이미 증명되었는데 1976년에 [math(f(x)=x)]인 경우[9][10]가 1979년에 [math(f(x)=x^{0.869})]인 경우가, 1994년에 [math(f(x)=x^{0.7925})]인 경우가 증명되었기 때문이다. 즉 타오의 업적은 이를 엄청나게 일반화 시켜서 '거의 모든 자연수에 대하여 콜라츠 추측이 성립한다'를 증명한 것이다.[11] 2020년 타오 본인이 정리한 프레젠테이션을 보면 관련 내용이 언급된다.

타오가 제시한 방법은 케임브릿지 수학 저널에 게재되었다 저널 논문. 물론 이 증명이 참이라 해도 여전히 반례가 존재할 가능성은 있다. 단적으로 임의의 N∈ℕ이 합성수일 확률은 1에 수렴하지만(즉 거의 모든 자연수는 합성수이지만) 그 반례인 소수는 가산무한히 많음이 잘 알려져 있다.

7. 여담

만약 이 추측이 거짓이라면 1로 가지 않는 반례가 존재한다는 것을 의미한다. 수학자들은 이런 '예상되는 반례'가 만약 진짜 존재한다면, 자기 자신으로 순환하는 루프가 존재할 것으로 생각한다.[12] 예를 들어 콜라츠 추측을 3n+1 이 아니라 3n-1 로 살짝 변경하면 5의 경우 아래와 같은 루프가 만들어 진다.
counter example of (3n-1) problem
5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5
17의 경우에도 비슷한 루프가 만들어진다.
counter example of (3n-1) problem
17 → 50 → 25 → 74 → 37 → 110 → 55 → 164 → 82 → 41 → 122 → 61 → 182 → 91 → 272 → 136 → 68 → 34 → 17
비록 3n-1의 명제의 경우 반례가 있어서 거짓으로 증명되었지만 1억까지 대입했을 때 5 루프와 17 루프 이외의 다른 루프(반례)는 없었다고 한다. 확률적으로 감소한다는 통계가 유한번 재귀했을 때 1로 수렴하는 것을 증명하지 못한다는 걸 보여주는 좋은 예시라고 할 수 있다.

3n-1 문제는 3n+1 문제를 음수로 확장한 것과 동일하다. 즉, 위의 2개의 루프를 음수로 확장한 3n+1 로 생각할 경우 아래와 같이 된다.
-5 → -14 → -7 → -20 → -10 → -5
-17 → -50 → -25 → -74 → -37 → -110 → -55 → -164 → -82 → -41 → -122 → -61 → -182 → -91 → -272 → -136 → -68 → -34 → -17

그리고, 4 → 2 → 1 루프와 마찬가지로 -1 → -2 로 로 반복되는 기본 루프가 또하나 존재한다.

다른 가능성으로는 무한히 발산한다는 것이 있다. 단 이는 반례의 존재 증명이 어렵다는 문제점이 있다. 그래서 허무맹랑해 보이기도 하지만 존재하지 않는 것이 거의 확실해 보이기로는 순환 루프나 발산이나 오십보백보 수준이다.

어떤 튜링 머신의 행동 양상은 콜라츠 수열과 같은 양상을 띠기도 하는데 이러한 튜링 머신을 통틀어 Collatz-like Busy Beaver라고 부른다. 낮은 수의 바쁜 비버 연구에서 핵심적인 역할을 한다. 일부 튜링 머신의 정지 여부를 판단하는 것은 콜라츠 추측과 같은 난이도를 가지고 있는 것으로 보인다.

C++언어를 사용해서 직접결과를 계산해보았다.
n max(n) 계산에 걸린시간(i7-8core)
2 2 00:00:00
3 16 00:00:00
7 52 00:00:00
15 160 00:00:00
27 9232 00:00:00
255 13120 00:00:00
447 39364 00:00:00
639 41524 00:00:00
703 250504 00:00:00
1819 1276936 00:00:00
4255 6810136 00:00:00
4591 8153620 00:00:00
9663 27114424 00:00:00
20895 50143264 00:00:00
26623 106358020 00:00:00
31911 121012864 00:00:00
60975 593279152 00:00:00
77671 1570824736 00:00:00
113383 2482111348 00:00:00
138367 2798323360 00:00:00
159487 17202377752 00:00:00
270271 24648077896 00:00:00
665215 52483285312 00:00:00
704511 56991483520 00:00:00
1042431 90239155648 00:00:00
1212415 139646736808 00:00:00
1441407 151629574372 00:00:00
1875711 155904349696 00:00:00
1988859 156914378224 00:00:00
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2684647 352617812944 00:00:00
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5656191 2412493616608 00:00:01
6416623 4799996945368 00:00:01
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19638399 306296925203752 00:00:04
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80049391 2185143829170100 00:00:23
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계산결과 링크 https://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/mathland/math07/collatz04.htm

8. 관련 링크



[1] <The Ultimate challenge:The 3x+1 problem>이라는 관련 서적을 쓰기도 했으며 이 외에도 리만 가설을 조화수열 형태로 정리한 걸로 유명하다. [2] 2020년 [math(2^{68})]까지 참으로 드러났다. [3] 에르되시가 500달러를 걸었지만 증명이 안 되자 "수학은 아직 이런 문제를 풀 준비가 되어있지 않다"(Mathematics may not be ready for such questions)라는 말을 남겼다. [4] 사실 이 g가 튜링 완전하기 때문에 정지 문제가 적용된다. 그래서 이걸로 만든 프로그래밍 언어를 FRACTRAN이라고 한다. 콘웨이가 짠 P=6,469,693,230짜리 소수 생성 프로그램은 덤 [5] P=1, g(x)=2x 와 같은 경우가 있다. [6] 상술했듯 이미 일반화한 문제는 결정 불가능함이 증명되었기도 하다. [7] 참고로 '거의 모든'(Almost all, Almost everywhere 등)은 분야마다 조금씩 다른 의미로 쓰이는데, 해석적 정수론과 확률론 등 해석학 계열 연구분야에서는 이 말을 '해당 조건을 만족하지 못하는 원소의 모임은 측도 0이다'나 '이 성질이 성립할 확률이 1에 수렴한다' 등의 의미로 사용하는 경우가 많다. 해석학적 맥락에서 이들은 사실상 같은 뜻이며, 위상수학 및 동역학계 관련 분야에서 쓰이는 경우에도 제각기 비슷한 맥락의 의미로 쓰인다. [8] 당장 아래 문단에 있는 3n-1 문제에 대해서도 같은 논리를 적용할 수 있기 때문이고 이 문제의 경우 1로 끝나지 않는 루프가 발견되었기 때문이다. [9] 즉, 콜라츠 함수를 반복할 경우 초기값보다 작아질 확률은 1이다. [10] 이 버전을 거의 모든 자연수 [math(N)]에서 모든 자연수 [math(N)]으로 바꿔 증명할 수만 있다면 콜라츠 추측도 무한강하법으로 증명할 수 있지만 아직까진 아무도 성공하지 못했다. [11] 참고로 2003년에는 충분히 큰 자연수 N에 대해 N 이하의 자연수 중 최소 [math(N^{0.84})]만큼은 콜라츠 추측이 성립한다는 것이 증명되었다. [12] 1993년 Eliahou는 반례가 등장할 수 있는 루프의 길이를 구하는 공식을 발견했는데 최소길이가 무려 17,087,915이므로 루프를 찾기가 쉽지는 않다.