최근 수정 시각 : 2022-07-08 08:07:29

교환법칙

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1. 개요2. 교환법칙이 일반적으로 성립하는 연산3. 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산4. 예5. 같이 보기


/ commutativity

1. 개요

원소 a, b를 포함한 집합 S와 연산 *가 정의되어 있을 때,
a * b = b * a
가 성립하면 집합 S에서 연산 *에 대해 교환법칙이 성립한다고 한다.

반대로 a * b ≠ b * a 가 되는 반례가 하나라도 나온다면 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.

2. 교환법칙이 일반적으로 성립하는 연산

특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.

+ (덧셈)
× (곱셈)
지수 로그(수학)의 곱
max(a,b) (둘 중 큰 수를 고르는 연산: 실수 범위)
min(a,b) (둘 중 작은 수를 고르는 연산: 실수 범위)
· ( 내적: 벡터 범위)
* (합성곱: 라플라스 변환 관련 연산)
∘ (아다마르 곱: 행렬 범위)
# (연결합: 위상)

3. 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산

특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.

- (뺄셈): a-b, b-a는 서로 부호가 반대이다.
÷ (나눗셈, 당연히 0으로 나누면 안 된다.): a÷b와 b÷a는 서로 역수 관계이다.
^ (제곱)[증명1]
↑↑ ( 테트레이션)
∘ (둘 이상의 함수의 합성)
× ( 외적): 벡터 범위, a×b와 b×a는 크기가 같지만 방향이 반대로 뒤집힌다.
× (곱셈: 곱셈이 정의된 행렬 범위)
× (곱셈: 사원수 범위)[증명2]
+/× (덧셈/곱셈): 무한서수가 포함된 연산
⊗ ( 텐서곱: 텐서 범위)

4.

  • 1+2 = 2+1 (3-1 = 2, 3-2 = 1)
  • 1+3 = 3+1 (4-1 = 3, 4-3 = 1)
  • 1+4 = 4+1 (5-1 = 4, 5-4 = 1)
  • 1+5 = 5+1 (6-1 = 5, 6-5 = 1)
  • 1+6 = 6+1 (7-1 = 6, 7-6 = 1)
  • 1+7 = 7+1 (8-1 = 7, 8-7 = 1)
  • 1+8 = 8+1 (9-1 = 8, 9-8 = 1)
  • 1+9 = 9+1 (10-1 = 9, 10-9 = 1)
  • 2+3 = 3+2 (5-2 = 3, 5-3 = 2)
  • 2+4 = 4+2 (6-2 = 4, 6-4 = 2)
  • 2+6 = 6+2 (8-2 = 6, 8-6 = 2)
  • 3+4 = 4+3 (7-3 = 4, 7-4 = 3)
  • 3+6 = 6+3 (9-3 = 6, 9-6 = 3)
  • 4+5 = 5+4 (9-4 = 5, 9-5 = 4)
  • 2×3 = 3×2 (6÷2 = 3, 6÷3 = 2)
  • 3×6 = 6×3 (18÷3 = 6, 18÷6 = 3)

5. 같이 보기



[증명1] 반례를 이용한 증명) 23=8, 32=9로, 23≠32이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 제곱에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다. [증명2] 반례를 이용한 증명) ij=k, ji=-k로, ij≠ji이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 사원수의 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.