최근 수정 시각 : 2022-08-09 16:55:58

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1. 개요2. 진술
2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)
3. 증명4. 관련 문서

1. 개요

최대·최소 정리(· , extreme value theorem; EVT)는 함수의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로, 연속함수의 대표적인 성질 중 하나이다.

2. 진술

2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리

[ 정리 ] 최대·최소 정리( 수학Ⅱ(2015))
함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
여기서 중요한 것은 닫힌 구간연속이다. 둘 중 한 조건이라도 성립하지 않는다면, 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다. 일견 당연해 보이는 이 정리는, 고교 수준을 넘는다며 증명을 생략하고 넘어가는 경우가 대부분이다.

2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)

[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem)
컴팩트집합 [math(X)]에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to \mathbb R)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
고교 수준의 정의에서 닫힌 유계구간이 컴팩트집합(compact set)으로 치환된 형태다. 실제로 하이네-보렐 정리에 따르면 실수 집합의 닫힌 유계구간은 전부 컴팩트집합이므로, 위 정리를 온전히 포함하게 된다.
[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem)
컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

3. 증명

당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계(boundness)나 컴팩트성(compact)을 알아야 한다.
[ 보조정리 1 ]
함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 임의의 [math(x_0 \in [a, b])]에 대하여 [math(f \rvert_{I \cap [a, b]})]가 유계이도록 하는 열린 구간 [math(x_0\in I)]가 항상 존재한다.
{{{#!folding [ 증명 ]
함수 [math(f)]가 [math(x_0 \in [a, b])]에서 연속이므로
<table width=100%>
[math(\displaystyle \begin{aligned}
을 성립시키는 양수 [math(\delta > 0)]가 존재한다. 이제 [math(I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta))]라고 놓으면, 삼각부등식에 의해
[math(\displaystyle \begin{aligned}
x \in I \cap [a ,b] \quad\Rightarrow\quad |x-x_0| < \delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)| < |f(x_0)|+1
\end{aligned} )]
이다. 가장 오른쪽 [math(|f(x_0)|+1)]은 고정된 값이므로 [math(f|_{I \cap [a ,b]})]가 유계. [math(\blacksquare)]}}}
[ 보조정리 2 ]
임의의 컴팩트집합 [math(X \subset \mathbb R)] 위에서 정의된 함수 [math(f: X \to \mathbb R)]에 대하여, [ 보조정리 1 ]이 성립한다면 함수 [math(f)]는 [math(X)] 전체에서 유계이다.
{{{#!folding [ 증명 ]
각 [math(x \in X)]에 대하여, [ 보조정리 1 ]의 열린 구간을 [math(I_x = (x-\delta_x, x+\delta_x))]라고 하자. 그렇다면 [math(\{I_x\}_{x \in X})]는 컴팩트집합 [math(X)]의 열린 덮개(open covering)임을 확인할 수 있다. 따라서 [math(X)]의 유한 부분 덮개(finite subcovering)가 존재하며, 적당히 이름을 다시 붙여서 [math(\{I_{x_k}\}_{1 \leq k \leq n})]가 해당 유한 부분 덮개라고 할 수 있다. 이때, 함수 [math(f)]는 구간 [math(I_{x_k} \cap X)]에서 유계이므로
<table width=100%>
[math(\displaystyle \begin{aligned}
을 만족하는 [math(M_k > 0)]가 존재한다. 이제 [math(\displaystyle M = \max_{1 \leq k \leq n} M_k)]라 놓자. 임의의 [math(x \in X)]에 대해 [math(X \subset \displaystyle \bigcup_{k = 1}^n I_{x_k})]이므로, [math(x \in I_{x_i})]인 [math(1 \leq i \leq n)]이 존재한다. 따라서 [math(|f(x)| < M_i \leq M)]이고, 이는 모든 [math(x \in X)]에 대해 참이므로 [math(f)]는 [math(X)]에서 유계이다. [math(\blacksquare)]}}}
[ 정리 ] 최대·최소 정리( 수학Ⅱ(2015))
함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a ,b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
{{{#!folding [ 증명 ]
[ 보조정리 1, 2 ]에 의해 [math(f)]는 [math([a ,b])]에서 유계이다. 그러므로 [math(M = \sup \{ f(x) \,|\, x \in [a ,b] \})]와 [math(m = \inf \{ f(x) \,|\, x \in [a ,b] \})]가 실수 집합 내에 존재한다. 정의상 [math(x \in [a ,b])]이면 [math(m \leq f(x) \leq M)]이다. 이제 [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a ,b])]가 존재함을 증명하자.

결론을 부정하여, 임의의 [math(x \in [a ,b])]에 대해 [math(f(x) \neq M)], 즉 [math(f(x) < M)]을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 [math(g: [a ,b] \to \mathbb R)]는 잘 정의되며, 연속이다. ( 연속함수의 성질 참고.)
<table width=100%>
[math(\displaystyle \begin{aligned}
g(x) = \frac1{M-f(x)}
\end{aligned} )]
그러므로 [math(g)]에도 [ 보조정리 1, 2 ]를 적용할 수 있다. [math(g)]도 구간 [math([a ,b])]에서 유계이므로, 적당한 실수 [math(N)]이 존재하여 [math(g(x) = |g(x)| \leq N)]이 성립한다. 따라서 [math(\dfrac1{M-f(x)} \leq N)]이고 [math(f(x) \leq M - \dfrac1N \quad \forall x \in [a, b])]이다. 이는 [math(M)]이 집합 [math(\{ f(x) \,|\, x \in [a, b] \})]의 최소 상한(supremum)이라는 가정에 모순이다.

그러므로 귀류법 가정이 틀렸음을 알았으니, 함수 [math(f)]는 [math(M)]을 함숫값으로 가진다. 즉, [math(f)]는 최댓값 [math(M)]을 가진다. 한편, [math(\inf f = -\sup(-f))] 및 [math(\min f = -\max(-f))]을 이용하면 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다. [math(\blacksquare)]}}}
[ 정리 ] 최대·최소 정리(exterme value theorem)
컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
{{{#!folding [ 증명 ]
이번에도 결론을 부정하여 [math(f(X))]가 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 그러면, 임의의 [math(f(x_0) \in f(X))]에 대해 어떤 [math(x' \in X)]가 존재하여 [math(f(x_0) < f(x'))]이 성립한다. 따라서
<table width=100%>
[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(X) \subset \bigcup_{x \in X} \,(-\infty, f(x))
\end{aligned} )]
이다. 그러므로 [math(\{ (-\infty, f(x)) \}_{x \in X})]는 컴팩트집합 [math(f(X))]의 열린 덮개가 된다.[1] 따라서 이 열린 덮개의 유한 부분 덮개 [math(\{ (-\infty, f(x_i)) \}_{1 \leq i \leq n})]가 존재할 것이고,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(X) \subset \displaystyle \bigcup_{i=1}^n \,(-\infty, f(x_i)) = (-\infty, \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i))
\end{aligned} )]
이다. 그런데 [math(\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i) \in f(X))]이지만 [math(\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i) \notin (-\infty, \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i)))]이므로 이는 모순이다.

그러므로 귀류법 가정이 틀렸음을 알았으니 [math(f(X))]는 최댓값을 가진다. 최솟값의 경우에도 똑같이 증명할 수 있다. [math(\blacksquare)]}}}||

4. 관련 문서


[1] 연속함수가 보내는 컴팩트집합의 상 역시 컴팩트집합이다.