최근 수정 시각 : 2022-07-09 09:22:11

드 무아브르 공식

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1. 개요2. 지수의 확장에 따른 드 무아브르 공식의 증명
2.1. 정수
2.1.1. 자연수(양의 정수)2.1.2. 02.1.3. 음의 정수
2.2. 실수
2.2.1. 유리수2.2.2. 무리수
3. 복소근
3.1. 방정식 예3.2. 삼각함수 예3.3. 컨텍스트

1. 개요

[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta)] [가]
[math([ \mathrm{cis}(x) ]^n = \mathrm{cis}(nx))][2]
de Moivre’s formula
오일러 공식에서 유도되는, 절대값이 1인 복소수의 실수지수 거듭제곱을 단순화시켜주는 공식이다.[3]
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>이므로, 양쪽 항에 각각 [math(n)]거듭제곱을 취하면
[math(\left(e^{i\theta}\right)^{n}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n})]
[math(e^{in\theta}=\cos \left ( n\theta \right) +i\sin \left (n\theta \right))]

또한 이 공식에 따라 허수지수함수는 반쌍형성[4]을 띤다.
[math(\overline{\rm cis}(x) = {\rm cis}(-x))]

2. 지수의 확장에 따른 드 무아브르 공식의 증명

증명 과정은 먼저 수학적 귀납법으로 자연수 지수에 대해서 증명한 뒤, 이를 바탕으로 정수 지수, 유리수 지수에 대해서 증명하고 마지막으로 실수의 완비성을 이용해 실수 지수에 대해서 증명한다.
전제
정수론에서, 정수의 집합 [math(\mathbb{Z})]은 다음과 같이 정의된다.
①. 자연수 집합 [math(\mathbb{N}:=\{n|n\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z^{+}})]
※자연수 집합은 페아노 공리계를 만족하는 최소의 집합으로 정의된다. 자세한 내용은 자연수 항목 참조.
②. 음의 정수 집합 [math(\mathbb{Z^{-}}:=\{-n|n\in\mathbb{N}\})]
※음의 정수는 덧셈에 대한 역원이 자연수 집합에 속해있는 모든 수의 집합으로 정의된다.
③. 덧셈의 항등원 집합인 [math(\{0\})]
→ 정수의 집합 [math(\mathbb{Z}:=\mathbb{Z^{+}}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z^{-}})]
이 전제를 토대로, 수학적 귀납법을 통해 증명한다.

2.1. 정수

2.1.1. 자연수(양의 정수)

①. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right))]는 [math(n=1)]일 때는 자명하다.
②. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right))]가 임의의 양의 정수 [math(k)]에서 성립한다고 가정하자.
즉, [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 성립한다.
이제, 양변에 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right))]를 곱해보자.
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=\left \{ \cos\left ( k\theta \right )+i\sin\left ( k\theta \right ) \right \}\times\left ( \cos \theta+i\sin \theta \right ))]
좌변은 지수의 성질에 의하여 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k+1})]이 되고, 우변은 전개하면 다음과 같아진다.
[math(\cos\left ( k\theta \right )\cos \theta-\sin\left ( k\theta \right )\sin\theta+i\left \{\sin\left ( k\theta \right )\cos\theta +\cos\left ( k\theta \right ) \sin\theta \right \})]
이제, 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 정리해주면, 이 식은 이렇게 단순화된다.
[math(\cos\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \}+i\sin\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \})]
즉, [math(k)]에서 성립할 때, [math(\left(k+1\right))]에서도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의하여 이 식은 모든 자연수 [math(n)]에 대해서 항상 성립한다. 이로써 자연수(=양의 정수) 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.

2.1.2. 0

[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left (n\theta \right)+i\sin \left(n\theta\right))]에서, [math(n=0)]일 때
좌변은 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{0}=1)]이며
우변은 [math(\cos \left(0\theta\right)+i\sin \left(0\theta\right)=1+0i=1)]이므로 자명하다.

2.1.3. 음의 정수

ab=1aba^{-b}=\displaystyle{\frac{1}{a^{b}}}라는 것과 [math(\cos(\theta)-\sin(\theta)=\cos(-\theta)+\sin(-\theta))]라는 것을 기억하자.
이제, 음의 정수 [math(k)]에 대해서, [math(k=-t)]가 되는 양의 정수 [math(t)]를 생각하면, 자연수 지수에서의 드 무아부르 정리에 의해
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{-t}=\displaystyle{\frac{1}{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{t}}}=\displaystyle{\frac{1}{\cos \left( t\theta \right) +i\sin \left( t\theta \right) }})]가 된다.
이제 이 식을 실수화 시키기 위해 분자와 분모에 [math(\cos \left ( t\theta \right)-i\sin \left(t\theta \right) )]를 곱하자. 이는 [math(\cos \left( t\theta\right)+i\sin \left(t\theta \right))]의 켤레 복소수이다.
[math(\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\left(\cos \left(t\theta\right)+i\sin \left(t\theta\right)\right)\cdot\left(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)\right)}}=\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\cos^{2} \left(t\theta\right)+\sin^{2} \left(t\theta\right)}}=\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right))]가 된다.[5]
이 때, [math(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)=\cos\left ( -t\theta \right )+i\sin\left ( -t\theta \right )=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 되어, 음의 정수 지수에서도 성립함을 증명했다.

이로써 자연수(=양의 정수), 0, 음의 정수 지수에서 모두 성립하므로, 정수 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.

2.2. 실수

2.2.1. 유리수

전제
정수지수에서 성립함을 보였기 때문에 이를 이용한다.
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos (n\theta)+i\sin(n\theta))]가 유리수 지수 [math(n=\displaystyle{\frac{a}{b}})] (a, b는 서로소인 정수)에서 성립한다고 하자.
즉, [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)}}=\displaystyle{\cos \left (\frac{a}{b}\theta\right)+i\sin\left(\frac{a}{b}\theta\right) })]가 성립한다고 하자.
이제, 양 변을 [math(b)]제곱하자.
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta \right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)b}}=\displaystyle{\left(\cos \left (\frac{a}{b}\theta\right)+i\sin \left(\frac{a}{b}\theta \right) \right)^{b}})]
좌변을 정리하면 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{a}=\cos \left ( a\theta \right)+i\sin \left ( a\theta \right) )]가 되고, 우변도 정리하면 다음과 같다.
[math(\cos \left( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)+i\sin \left ( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)=\cos \left( a\theta \right )+i\sin \left ( a\theta \right) )]
양 변의 계산값이 같으므로, 유리수 지수에서도 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.

2.2.2. 무리수

전제1. 실수의 완비성
수직선상에 위치한 어떤 수라도, 그 수를 향해 수렴하는 단조 증가, 혹은 단조 감소 유리수열을 만들 수 있다.
※예시
[math(\sqrt{2}=1.414213\cdots)]라는 무리수가 존재한다면, 이런 수열을 만들 수 있다.
[math(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \cdots)]
[math(\displaystyle{\frac{a}{b}})]라는 유리수가 존재한다면 이런 수열을 만들 수 있다.
[math(a_{n}=\displaystyle{\frac{a}{b}-10^{-n}})]
전제2. 지수함수의 무리수지수 정의
[math(a^{b})]라는 수가 주어졌을 시, [math(b)]가 무리수라면, 이 [math(b)]를 향해 수렴하는 단조증가/단조감소 수열 [math(u_{n}, l_{n})]을 만들 수 있다.
그렇다면, [math(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{u_{n}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{l_{n}}})]로 극한값은 하나의 값으로 수렴하여, 이 수렴되는 극한값이 바로 [math(a^{b})]라고 정의된다.

이로써 유리수, 무리수 지수에서 모두 성립하므로, 실수 지수에서 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.
즉, 실수의 완비성에 의하여 모든 실수 지수에서 성립하게 되는 것이다.

3. 복소근

드 무아브르 공식은 1의 n제곱근(nth root of unity)에서 나타나는 복소수인 복소근을 보여주는 성질을 갖고있다.
이러한 성질은 n차방정식의 n개의 근을 갖는다는 대수학의 기본 정리를 잘 보여준다.

3.1. 방정식 예

[math( x^3 =1 )]
[math(x^3-1=0)]의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면

[math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)]

이차방정식 [math(x^2+x+1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.

[math( x=1\;\textsf{또는}\;x=\dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \text{와} \;x=\dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} )]

[math(x^3=1)](또는 [math(x^2+x+1=0)])의 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 [math(\overline \omega)]로 표기함으로써 켤레복소수임을 나타낼수있다.

3.2. 삼각함수 예

예 1의 3제곱근 [math( x^3 =1 )]에서 보면 드무아브르 공식은 다음과 같다.
[math( x^n =a (cos\theta + i sin\theta) \text{이때} a= \omega^n (nth \, root \,of\, unity))]
[math( x^3 = \left(a(cos\theta + i sin\theta) \right)^3 = 1(cos\theta + i sin\theta) )]
[math( a^3(cos\theta + i sin\theta)^3 = 1(cos360\degree + i sin360\degree) )]
[math( a^3(cos3\theta + i sin3\theta) = 1(cos360\degree + i sin360\degree) )]
[math( a^3= 1 \, \text{그리고}3\theta = 360\degree k + 360\degree k )]
[math( \theta = \dfrac{360\degree}{3}k + \dfrac{360\degree}{3}k \quad)]
[math( \theta = 120\degree k + 120\degree k )]이고
[math( k=\{n-1,n-2,...,n-n\}= \{2,1,0\} )]이므로
따라서
[math( \theta= 120\degree,240\degree,0\degree)]
따라서
[math( x = cos 120\degree + i sin 120\degree \, , cos 240\degree + i sin 240\degree \, , cos 0\degree + i sin 0\degree \, )]
따라서 이렇게

[math( \;x=\dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \; , \;x=\dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} \;, x=1\;)]
를 조사할수도 있다.

3.3. 컨텍스트

결론적으로 드무아브르 공식은 1의 3제곱근에서 보면
[math( \omega^1 = \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} )]이고
[math( \omega^2 = \omega \cdot \omega = \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) = \dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2})] 이고
[math( \omega^3 = \omega \cdot \omega^2 = \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} \right) = 1 )] 이다.
그리고
[math( \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega^1 = \omega^1 )] 이다.
이러한 맥락(context)에서 1의 3제곱근 드무아브르 공식은
[math( \omega)]의 지수를 순서수로 다루어 본다면
[math( \omega^1)]을 자기 자신으로 하는 [math(1,2,3,1,2,3,...)]의 순환 순열군 순환군의 맥락(context)을 보여준다는 점에서 주요하다고 할수있다.
한편 드무아브르 공식은 1의 n제곱근에서
[math( \omega^n =1)]임을 조사할수있다.


[가] Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Accessere variae considerationes de methodis comparationum, combinationum & differentiarum, solutiones difficiliorum aliquot problematum ad sortem spectantium, itemque constructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quae in motibus corporum coelestium occurrunt - Abraham de Moivre, 1730 (Google Books) https://books.google.co.kr/books/about/Miscellanea_analytica_de_seriebus_et_qua.html?id=TFX1165yEc4C&redir_esc=y ,(인터넷 아카이브) https://archive.org/details/bub_gb_TFX1165yEc4C [2] 오일러 공식을 함수꼴로 쓸 때의 형태. [3] 지수함수의 복소수지수 거듭제곱은 다가함수가 되기 때문에, 드 무아브르 공식으로 유도되는 값은 대표값이 된다. [4] 켤레 대칭 [5] [math(\displaystyle{\frac{z_1}{z_2}}=\displaystyle{\frac{z_{1}\bar{z_2}}{\left|z_2\right|^{2}}})]라는 점을 이용해도 된다. [math(z_1=1)], [math(\left|z_2\right|=1)]이므로 [math(\displaystyle{\frac{1}{z_2}}=\bar{z_2})]라고 해석할 수도 있다.