최근 수정 시각 : 2022-06-22 16:11:52

대칭군

1. 대수학에서 집합의 치환들을 모은 군
1.1. 개요1.2. 정의1.3. 대칭군의 성질
1.3.1. 대칭군의 직관적인 이해1.3.2. 대칭군 원소의 표기법1.3.3. 순환(cycle)1.3.4. 대칭성1.3.5. 호환과 짝치환, 홀치환1.3.6. 교대군1.3.7. 서로소1.3.8. 기본적인 유한 대칭군의 성질
2. 도형 및 공간의 대칭들을 모은 군

1. 대수학에서 집합의 치환들을 모은 군

/ symmetric group
치환군은 순열의 성질인 홀짝성(parity)으로 인해서 양분되는 대칭군의 형태를 보여준다. 대칭군은 n개의 원소로 된, 군을 이룬 치환들의 집합이다.

1.1. 개요

대칭군이란 의 일종으로, 어떤 집합 [math(S)]에 대해 [math(S)]에서 [math(S)]로 가는 일대일 대응 함수(bijective function)[1]들을 원소로 갖는 군이다. 자기 자신으로 가는 함수는 원소의 순서를 섞는 것이므로 이 함수를 순열이라고 부른다. 군이론에서 가장 기본이 되는 군이면서 중요한 군이므로 대수학을 공부할 학생이라면 대칭군의 성질을 잘 알아 두도록 하자
모든 군은 치환군의 부분일 뿐

1.2. 정의

어떤 집합 [math(A)]가 주어졌을 때, 그 집합 [math(A)]의 치환[2]들로 만들어지는 모든 것을 원소로 갖는 군을 대칭군이라 한다.

보다 자세한 대칭군의 성질을 논하자면 다음과 같다.

집합 [math(A)]에서 유도된 대칭군을 [math(S_A)]이나 [math(\operatorname{Sym} A)]와 같이 표현한다.[5] 또 [math(\left|A\right|=n)]이면 [math(S_{n})]으로도 표현하고[6], 이를 "[math(n)]차 대칭군"이라고 한다.

1.3. 대칭군의 성질

1.3.1. 대칭군의 직관적인 이해

파일:Symmetric_group_S4;_lattice_of_subgroups_Hasse_diagram;_all_30_subgroups.svg
대칭군 [math(S_4)]의 부분군을 나타낸 격자점
문서에서 알 수 있듯이 모든 군은 어떤 수학적 대상의 "대칭 구조"에서 자연스럽게 나온 대상이다.어렵게 생각하지 말자

대칭군은 이 중에서도 가장 기본적인 수학적 대상인 집합에서 유도된 구조이고, 모든 수학적 구조는 집합 위에서 정의되므로카테고리는 생각하지 말자
모든 군이 대칭군의 일부(부분군)으로 표현될 수 있다,

예를 들어서 정사각형에서 유도되는 이면군을 생각해보자
정사각형의 각 꼭짓점에 반시계 방향으로 번호를 붙여 그 배열을 [math(\left(1,~2,~3,~4\right))]로 표현하면 정사각형을 회전해서 [math(\left(2,~3,~4,~1\right))]과 같은 배열을 만들 순 있으나 [math(\left(2,~1,~4,~3\right))] 같은 배열은 정사각형의 좌우를 뒤집어야만 만들 수 있다.
또한 아무리 뒤집거나 돌려도 [math(\left(1,~3,~2,~4\right))]와 같은 배열은 만들 수 없다[7]

하지만 [math(\left(1,~2,~3,~4\right))]를 단순히 점들의 집합으로 본다면 [math(\left(1,~3,~2,~4\right))] 같은 것을 포함한 모든 배열이 가능하다.

즉, 모든 이면군은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있는 것이다.
여기서 알 수 있듯이 대칭군은 어떠한 규칙 없이 집합의 원소를 섞는 것으로 만들어진다는 것을 알 수 있다.[8]

일상생활에서는 특별한 규칙 없이 무작위로 섞는 카드 섞기, 돌려서 면을 맞추는 트위스티 퍼즐 등이 대칭군의 성질을 띤다는 것을 알 수 있다.

수학적 대상을 생각한다면 [math(n)]차원 단체(simplex)에서 유도되는 군이 [math(S_n)], [math(A_n)]임을 알 수 있다.

1.3.2. 대칭군 원소의 표기법

일반적으론 위에 인수를, 아래에 치환된 결과를 적는 [math(2)]행 표기법을 쓴다.[9]
[math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix})]
그러나 제[math(1)]행에는 반드시 항등치환의 순서가 오기 때문에 치환 함수에서는 종종 제[math(1)]행을 생략하고 교환하는 순서만을 표기한 [math(1)]행 표기법이 쓰이기도 한다. 이때 부동점은 편의상 생략된다.
[math(\sigma_{1542}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]

1.3.3. 순환(cycle)

어떤 한 치환이 순환이라 함은, 변하는 원소들의 모임이 꼭 하나뿐인 것이다. 예를 들어보자. 위의 예에서 변하는 원소들의 모임은 [math(\left\{1,~5,~4,~2\right\})]뿐이다. 따라서 순환이다. 그러나 [math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 3 & 5 & 4\end{pmatrix})]에서 변하는 원소들의 모임은 [math(\left\{4,~5\right\})], [math(\left\{1,~2\right\})]이므로 순환이 아니다.

모든 순환은 [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]와 같은 꼴로 표현될 수 있다. 이 표현이 나타내는 치환은, [math(1 \rightarrow 5)], [math(5 \rightarrow 4)], [math(4 \rightarrow 2)], [math(2 \rightarrow 1)]로 바꾸는 치환을 나타낸다. 나머지 원소는 그대로 둔다. 예를 더 들자면, [math(\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix})]은 [math(2)]와 [math(3)]을 맞교환하는 것이다.

이와 같은 표현에서 쓰인 원소의 개수를 순환의 길이라 한다. [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]는 길이가 [math(4)]인 순환, [math(\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix})]은 길이가 [math(2)]인 순환이다. 또한, 이렇게 원소가 겹치지 않는 두 순환을 서로소라 한다.
[math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix})]을 예로, 이 대칭군은 [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]와 [math(\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})] 두 개의 순환하는 원소를 가지며, 두 순환은 서로소이다.
모든 치환은 서로소인 치환들의 곱으로 표현되며, 위의 예시를 예로 들면 다음과 같다.
[math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})]

1.3.4. 대칭성

[math(\sigma_{123} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})]의 2행표기법에서 1행 표기법으로는 [math( \left( 123 \right) )]으로 표기할수있다.
예를 들어 이것을 P={1,2,3}이고 집합P 에서 순열 생성 알고리즘으로 돌리면
(123) , (132) ,(231) ,(312),(213),(321)로 6개 나온다. 6개의 치환군(순열군)은 다음과 같이 거울상의 대칭성을 갖는 대칭군이다.
(123)
(231)
(312)
(321)
(132)
(213)
짝순열(even) 홀순열(odd)
P={1,2,3,4}
(1234)
(2314)
(3124)
(4123)
(4231)
(4312)
(1423)
(3412)
(1342)
(3142)
(3421)
(2341)
(4321)
(4132)
(4213)
(3214)
(1324)
(2134)
(3241)
(2143)
(2431)
(2413)
(1243)
(1432)
짝순열(빨간색은 홀순열) 홀순열(파란색은 짝순열)
홀짝성(parity)에서 대칭성을 갖는 대칭군
(1234)
(2314)
(3124)
(4321)
(4132)
(4213)
(1423)
(3412)
(1342)
(3241)
(2143)
(2431)
(4123)
(4231)
(4312)
(3214)
(1324)
(2134)
(3142)
(3421)
(2341)
(2413)
(1243)
(1432)
짝순열 홀순열

1.3.5. 호환과 짝치환, 홀치환

[math(\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix})]과 같이 두 원소를 맞교환하는 치환[10]을 호환이라 한다. 모든 치환은 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다. 윗 문단에서 예시로 든 [math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})]에서 [math(\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})]는 호환이며, [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]는 [math(\begin{pmatrix}1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 4\end{pmatrix})]로 나타낼 수 있다.
단, 이 표현은 유일하지 않다.[11] 그러나 표현하는 데에 필요한 호환의 개수에 대한 홀짝성은 일정하다. 즉, [math(3)]개의 호환으로 표현되는 치환은 [math(2)]개의 호환으로 나타낼 수 없다. 따라서 치환(순열)의 홀짝성(parity)을 확인할 수 있고, 홀수 개 호환의 곱으로 표현되면 홀치환, 짝수 개 호환의 곱으로 표현되면 짝치환이라고 한다.
P={1,2,3,4}의 집합P를 군(G)으로 할때
(1234)
(3124)
(2314)
(4213)
(1423)
(2143)
(1342)
(4132)
(3412)
(4321)
(2431)
(3241)
(2134)
(1324)
(3214)
(2413)
(4123)
(1243)
(3142)
(1432)
(4312)
(3421)
(4231)
(2341)
짝순열 홀순열

1.3.6. 교대군

[math(S_n)]에서 짝치환을 꼽으면 군을 이루는데, 이를 교대군(alternating group)이라 하며 [math(A_n)]으로 나타낸다 [math(n\ge 5)]일 때, 단순군이다.
이것은 순열의 홀짝성(parity)에 기인한다. 우순열과 우순열의 합성은 우순열이며 기순열과 기순열은 우순열이다. 따라서 대칭군을 자기자신으로 한번 합성하면 교대군을 얻을수있다. 따라서 교대군은 대칭군의 [math(\dfrac12)]이다.

1.3.7. 서로소

치환에서 서로소라 함은 바뀌는 원소가 겹치지 않는 것을 의미한다. 가령, [math(\sigma_{12}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix})]와 [math(\sigma_{45}=\begin{pmatrix}4&5\end{pmatrix})]는 서로소이다.

1.3.8. 기본적인 유한 대칭군의 성질

[math(S_n)]에 대해,
  • 원소의 개수가 [math(n!)]개이다.[12]
  • 짝치환의 개수와 홀치환의 개수는 같다.[13] 즉, 둘의 개수는 모두 [math(\frac{n!}{2})]이다. 이러한 성질로 인해서 치환군은 대칭군으로 표현될수있다. 또한 특히, 짝치환은 교대군을 이룬다.
  • 호환의 역원은 자기 자신이다.
  • 서로소인 두 치환은 교환적이다.
  • 교환자 부분군이 [math(A_n)]이다.
  • [math(n\neq4)]이면 정규부분군이 자명군과 자기 자신, 그리고 교대군 뿐이다.[n=4]
  • [math(n\ge3)]이면 비가환군이며[15], 자명한 중심을 갖는다. 따라서 멱영군이 아니다.
  • [math(n\ge5)]이면 비가해군이다.[16]
  • 모든 군은 치환군의 부분군이다.[17]

[math(A_n)]에 대해,
  • 원소의 개수가 [math(\frac{n!}{2})]개이다.
  • 모든 원소는 [math(3)]순환치환의 곱으로 표현된다.
  • [math(n\neq4)]이면 단순군이다.[n=4]
  • [math(n\ge4)]이면 비가환군이며[19], 자명한 중심을 갖는다. 따라서 멱영군이 아니다.
  • [math(n\ge5)]이면 비가해군이다.[20]
  • 모든 군은 교대군의 부분군이다.

2. 도형 및 공간의 대칭들을 모은 군

group of symmetry / symmetry group [21]

주로 기하학에서 대칭, 즉 대상을 보존하는 모든 변환들을 모아 놓은 이다. 보통 생각할 수 있는 유클리드 평면이나 공간에선 대칭은 합동변환이고, 다른 종류의 공간에서는 그 공간 위에서 특수하게 정의된 구조를 보존하는 변환들을 생각하게 된다. 뉘앙스는 약간 다를 수 있겠지만 변환군(transformation group)이라고 지칭되기도 한다.

대칭군의 항등원은 항상 아무 것도 하지 않는 항등변환이 된다. 대칭이 구조를 보존한다면 대칭끼리의 합성이나 역변환도 구조를 보존해야 하므로, 대칭군이 군의 다른 공리들을 만족함도 직관적으로 생각할 수 있다. 군의 개념 자체가 광범위한 대칭을 연구하는 데에서 시작되었으므로, 추상적 정의로서의 군보다도 이 대칭군으로 군을 간주하는 것이 어떻게 보면 더욱 근본적이다. 굳이 따지자면 위의 대칭군도 구조가 전혀 없는 집합에서의 변환군으로 간주할 수도 있다.

예를 들면 정삼각형의 대칭 조작은 0도, 120도, 240도 회전, 그리고 세 중선에 대한 선대칭 3개 총 6개로 이루어져 있다. 이들 6개 조작은 군을 이루고, 그 구조는 (1번 항목의) 대칭군 [math(S_3)]과 동형이다. 비슷하게 정n각형의 대칭군에서 나온 원소 [math(2n)]개 짜리 이면군(dihedral group)을 생각할 수 있다. 만약 평면을 뒤집지 않는 변환들(즉 평행이동과 회전이동의 합성들)만을 생각한다면 정n각형의 대칭군은 순환군 [math(C_n)]이 될 것이다. 공간에서도 정6면체나 정8면체의 회전 대칭군이 [math(A_4)]와 동형이라던가, 정12면체나 정20면체의 회전 대칭군이 [math(A_5)]와 동형이라는[22] 사실은 학부대수학에서 표현론의 도입 예시 중 하나로 종종 써먹을 것이다.

평면의 유한한 도형의 대칭군은 이면군과 순환군 두 종류밖에 없지만, 반복되는 무늬나 격자, 결정 등의 대칭의 경우 무한군이 나올 수 있다. 평면의 이산적 대칭군에 대해 더욱 자세한 것은 대칭 문서를 참고하자. 이산적인 경우 뿐만이 아니라 원의 대칭군 [math(\mathrm{O}_2)](반사 포함) 혹은 [math(\mathrm{SO}_2)](미포함)의 경우처럼 연속적인 대칭군도 얼마든지 나올 수 있다.

한편으로는 공간 속의 도형 하나의 대칭에서 벗어나 공간 자체의 대칭을 생각할 수도 있다. 거리가 주어진 공간[23]의 경우 모든 합동변환(즉 등장변환 혹은 등거리사상)들을 모조리 모아놓는데, 유클리드 공간의 경우는 평행이동과 회전/반사 이동들의 합성들을 모두 모은
[math( \displaystyle \mathrm{E}_n = \{ x \mapsto Ax + b : A \in \mathrm{O}_n, \, b \in \mathbb{R}^n \} )]
이 [math(\mathbb{R}^n)]의 대칭군인 유클리드 군(Euclidean group)이 될 것이다. 비유클리드 기하학에서는 구면기하학의 대칭군으로 나오는 [math(\mathrm{SO}_3)]이나 쌍곡기하학의 대칭군인 [math(\mathrm{PSL}_2)] 등등을 생각할 수도 있다. 거리가 없는 공간이라도 공간에 주어진 구조[24]를 보존하는 대칭군을 생각할 수 있고, 상대성 이론에서 나오는 로런츠 군 등이 이런 예시에 속한다.

현대 기하학에서는 대칭군 전체의 대수학적/기하학적 성질을 탐구해 공간에 대한 성질을 얻어내는 것이 주요 사고방식 중 하나가 되었다. 예로 구면 위에서의 라플라스 방정식의 해인 구면 조화 함수 같은 경우 [math(\mathrm{SO}_3)]의 표현론에서 그 답을 얻어낼 수도 있다. 한편으로는 이 대칭이라는 것도 대다수의 경우 행렬의 군으로 나타낼 수 있으므로, 모든 군은 행렬군의 부분군이다. 어찌 비슷한 말을 위에서 본 거 같다? 물리학자들이 말하는 우주적인 대칭이니 등등의 아무리 추상적인 공간을 생각하려고 해도 결국에는 특정 행렬군들만을 대칭군의 후보로서 연구하면 충분하다는 것을 알려준다. 그게 매우 어려워서 문제지만...

[1] 고등학교 교과서에 나오는 그 일대일 대응 맞다, 전단사 함수라고도 한다. [2] 자기 자신으로의 일대일 대응 함수들을 치환이라고 한다. [3] 치환은 함수이므로, 치환 함수의 합성을 군에서의 연산으로 대응시킬 수 있다. [4] 어떤 원소도 바꾸지 않는 치환 [5] [math(S)]는 대칭군의 영어 표현인 symmetric group에서 따온 것이다. [6] 대칭군은 집합의 원소 자체가 아니라 치환에 의해 원소 순서가 어떻게 바뀌었는지에 주목하기 때문에, 두 집합이 서로 다를지라도 원소의 수만 똑같으면 두 집합의 대칭군은 서로 동형이다. 서수의 관점에서 보면 [math(n=\{0,1,\cdots,n-1\})]이기도 하니 적절하다. [7] [math(1)]과 [math(3)]은 서로 대각선 관계에 있으므로 돌리거나 뒤집어서 옆에 오도록 만들 수 없다. [8] [math(1)] 옆에 [math(2)], [math(2)] 옆에 [math(3)], [math(3)] 옆에 [math(4)], [math(4)] 옆에 [math(1)] 등의 규칙을 가지고 섞으면 이면군이 만들어진다. [9] 행렬과 혼동할 수 있기 때문에 보통 행렬 쪽은 대괄호로 표기한다. [10] 즉 길이가 [math(2)]인 순환 [11] 항등치환은 한 번 시행한 호환을 다시 시행하면 되므로 호환의 제곱꼴로 유일하게 표현된다. 예를 들어 [math(\sigma=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix})]라 할 때, 항등 치환 [math(\rm id)]는 [math({\rm id} = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\sigma^2)]이다. [12] [math(n)]개 원소를 나열하는 개수가 [math(n!)]개이므로 자명하다. [13] 증명은 매우 쉽다. 짝치환에 임의의 호환 하나만 합성하면 홀치환이 되고, 이것에 다시 같은 호환을 합성하면 짝치환이 되는 것을 이용한다.(물론, 같은 쪽에 합성해야 한다.) [n=4] [math(n=4)]일 때는 [math(V_4=\left\{e,~\left(12\right)\left(34\right),~\left(13\right)\left(24\right),~\left(14\right)\left(23\right)\right\})]이 추가된다. [15] 특히 [math(S_3)]은 모든 군을 통틀어서 가장 작은 비가환군이다. [16] 이것이 아벨-루피니 정리(일반적인 5차 이상의 방정식은 근의 공식이 존재하지 않음)의 근본적인 이유이다. [17] 밑에서 소개되는 정리의 따름정리가 아니고, 반대로 아래 정리를 증명하기 위해 이 성질이 필요하다. [n=4] [19] 특히 [math(A_4)]는 라그랑주 정리의 역의 가장 작은 반례이다. [20] 교환자 부분군이 자기 자신이기 때문이다. [21] 'symmetry'와 'symmetric'의 차이에 유념하자. 한글에서는 주로 같은 활자로 번역되므로 문맥에 따라 이해해야 한다. [22] 위 두 예시 모두 회전대칭만을 생각한 것이다. 반사까지 생각하면 여기에 [math(C_2)]가 곱해진다. [23] 엄밀히 말하면 리만 다양체 [24] 주로 공간 위의 형식을 보존하는 경우가 많다.