1. 대수학에서 집합의 치환들을 모은 군
對 稱 群 / symmetric group치환군은 순열의 성질인 홀짝성(parity)으로 인해서 양분되는 대칭군의 형태를 보여준다. 대칭군은 n개의 원소로 된, 군을 이룬 치환들의 집합이다.
1.1. 개요
대칭군이란 군의 일종으로, 어떤 집합 [math(S)]에 대해 [math(S)]에서 [math(S)]로 가는 일대일 대응 함수(bijective function)[1]들을 원소로 갖는 군이다. 자기 자신으로 가는 함수는 원소의 순서를 섞는 것이므로 이 함수를 순열이라고 부른다. 군이론에서 가장 기본이 되는 군이면서 중요한 군이므로 대수학을 공부할 학생이라면 대칭군의 성질을 잘 알아 두도록 하자1.2. 정의
어떤 집합 [math(A)]가 주어졌을 때, 그 집합 [math(A)]의 치환[2]들로 만들어지는 모든 것을 원소로 갖는 군을 대칭군이라 한다.보다 자세한 대칭군의 성질을 논하자면 다음과 같다.
집합 [math(A)]에서 유도된 대칭군을 [math(S_A)]이나 [math(\operatorname{Sym} A)]와 같이 표현한다.[5] 또 [math(\left|A\right|=n)]이면 [math(S_{n})]으로도 표현하고[6], 이를 "[math(n)]차 대칭군"이라고 한다.
1.3. 대칭군의 성질
1.3.1. 대칭군의 직관적인 이해
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| 대칭군 [math(S_4)]의 부분군을 나타낸 격자점 |
대칭군은 이 중에서도 가장 기본적인 수학적 대상인 집합에서 유도된 구조이고, 모든 수학적 구조는 집합 위에서 정의되므로
모든 군이 대칭군의 일부(부분군)으로 표현될 수 있다,
예를 들어서 정사각형에서 유도되는 이면군을 생각해보자
정사각형의 각 꼭짓점에 반시계 방향으로 번호를 붙여 그 배열을 [math(\left(1,~2,~3,~4\right))]로 표현하면 정사각형을 회전해서 [math(\left(2,~3,~4,~1\right))]과 같은 배열을 만들 순 있으나 [math(\left(2,~1,~4,~3\right))] 같은 배열은 정사각형의 좌우를 뒤집어야만 만들 수 있다.
또한 아무리 뒤집거나 돌려도 [math(\left(1,~3,~2,~4\right))]와 같은 배열은 만들 수 없다[7]
하지만 [math(\left(1,~2,~3,~4\right))]를 단순히 점들의 집합으로 본다면 [math(\left(1,~3,~2,~4\right))] 같은 것을 포함한 모든 배열이 가능하다.
즉, 모든 이면군은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있는 것이다.
일상생활에서는 특별한 규칙 없이 무작위로 섞는 카드 섞기, 돌려서 면을 맞추는 트위스티 퍼즐 등이 대칭군의 성질을 띤다는 것을 알 수 있다.
수학적 대상을 생각한다면 [math(n)]차원 단체(simplex)에서 유도되는 군이 [math(S_n)], [math(A_n)]임을 알 수 있다.
1.3.2. 대칭군 원소의 표기법
일반적으론 위에 인수를, 아래에 치환된 결과를 적는 [math(2)]행 표기법을 쓴다.[9][math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix})]
그러나 제[math(1)]행에는 반드시 항등치환의 순서가 오기 때문에 치환 함수에서는 종종 제[math(1)]행을 생략하고 교환하는 순서만을 표기한 [math(1)]행 표기법이 쓰이기도 한다. 이때 부동점은 편의상 생략된다.
[math(\sigma_{1542}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]
1.3.3. 순환(cycle)
어떤 한 치환이 순환이라 함은, 변하는 원소들의 모임이 꼭 하나뿐인 것이다. 예를 들어보자. 위의 예에서 변하는 원소들의 모임은 [math(\left\{1,~5,~4,~2\right\})]뿐이다. 따라서 순환이다. 그러나 [math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 3 & 5 & 4\end{pmatrix})]에서 변하는 원소들의 모임은 [math(\left\{4,~5\right\})], [math(\left\{1,~2\right\})]이므로 순환이 아니다.모든 순환은 [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]와 같은 꼴로 표현될 수 있다. 이 표현이 나타내는 치환은, [math(1 \rightarrow 5)], [math(5 \rightarrow 4)], [math(4 \rightarrow 2)], [math(2 \rightarrow 1)]로 바꾸는 치환을 나타낸다. 나머지 원소는 그대로 둔다. 예를 더 들자면, [math(\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix})]은 [math(2)]와 [math(3)]을 맞교환하는 것이다.
이와 같은 표현에서 쓰인 원소의 개수를 순환의 길이라 한다. [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]는 길이가 [math(4)]인 순환, [math(\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix})]은 길이가 [math(2)]인 순환이다. 또한, 이렇게 원소가 겹치지 않는 두 순환을 서로소라 한다.
[math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix})]을 예로, 이 대칭군은 [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]와 [math(\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})] 두 개의 순환하는 원소를 가지며, 두 순환은 서로소이다.
모든 치환은 서로소인 치환들의 곱으로 표현되며, 위의 예시를 예로 들면 다음과 같다.
[math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})]
1.3.4. 대칭성
[math(\sigma_{123} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})]의 2행표기법에서 1행 표기법으로는 [math( \left( 123 \right) )]으로 표기할수있다.예를 들어 이것을 P={1,2,3}이고 집합P 에서 순열 생성 알고리즘으로 돌리면
(123) , (132) ,(231) ,(312),(213),(321)로 6개 나온다. 6개의 치환군(순열군)은 다음과 같이 거울상의 대칭성을 갖는 대칭군이다.
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(123) (231) (312) |
(321) (132) (213) |
| 짝순열(even) | 홀순열(odd) |
P={1,2,3,4}
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(1234) (2314) (3124) (4123) (4231) (4312) (1423) (3412) (1342) (3142) (3421) (2341) |
(4321) (4132) (4213) (3214) (1324) (2134) (3241) (2143) (2431) (2413) (1243) (1432) |
| 짝순열(빨간색은 홀순열) | 홀순열(파란색은 짝순열) |
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(1234) (2314) (3124) (4321) (4132) (4213) (1423) (3412) (1342) (3241) (2143) (2431) |
(4123) (4231) (4312) (3214) (1324) (2134) (3142) (3421) (2341) (2413) (1243) (1432) |
| 짝순열 | 홀순열 |
1.3.5. 호환과 짝치환, 홀치환
[math(\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix})]과 같이 두 원소를 맞교환하는 치환[10]을 호환이라 한다. 모든 치환은 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다. 윗 문단에서 예시로 든 [math(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\5 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})]에서 [math(\begin{pmatrix}3 & 6\end{pmatrix})]는 호환이며, [math(\begin{pmatrix}1 & 5 & 4 & 2\end{pmatrix})]는 [math(\begin{pmatrix}1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 4\end{pmatrix})]로 나타낼 수 있다.단, 이 표현은 유일하지 않다.[11] 그러나 표현하는 데에 필요한 호환의 개수에 대한 홀짝성은 일정하다. 즉, [math(3)]개의 호환으로 표현되는 치환은 [math(2)]개의 호환으로 나타낼 수 없다. 따라서 치환(순열)의 홀짝성(parity)을 확인할 수 있고, 홀수 개 호환의 곱으로 표현되면 홀치환, 짝수 개 호환의 곱으로 표현되면 짝치환이라고 한다.
P={1,2,3,4}의 집합P를 군(G)으로 할때
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(1234) (3124) (2314) (4213) (1423) (2143) (1342) (4132) (3412) (4321) (2431) (3241) |
(2134) (1324) (3214) (2413) (4123) (1243) (3142) (1432) (4312) (3421) (4231) (2341) |
| 짝순열 | 홀순열 |
1.3.6. 교대군
[math(S_n)]에서 짝치환을 꼽으면 군을 이루는데, 이를 교대군(alternating group)이라 하며 [math(A_n)]으로 나타낸다 [math(n\ge 5)]일 때, 단순군이다.이것은 순열의 홀짝성(parity)에 기인한다. 우순열과 우순열의 합성은 우순열이며 기순열과 기순열은 우순열이다. 따라서 대칭군을 자기자신으로 한번 합성하면 교대군을 얻을수있다. 따라서 교대군은 대칭군의 [math(\dfrac12)]이다.
1.3.7. 서로소
치환에서 서로소라 함은 바뀌는 원소가 겹치지 않는 것을 의미한다. 가령, [math(\sigma_{12}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix})]와 [math(\sigma_{45}=\begin{pmatrix}4&5\end{pmatrix})]는 서로소이다.1.3.8. 기본적인 유한 대칭군의 성질
[math(S_n)]에 대해,- 원소의 개수가 [math(n!)]개이다.[12]
- 짝치환의 개수와 홀치환의 개수는 같다.[13] 즉, 둘의 개수는 모두 [math(\frac{n!}{2})]이다. 이러한 성질로 인해서 치환군은 대칭군으로 표현될수있다. 또한 특히, 짝치환은 교대군을 이룬다.
- 호환의 역원은 자기 자신이다.
- 서로소인 두 치환은 교환적이다.
- 교환자 부분군이 [math(A_n)]이다.
- [math(n\neq4)]이면 정규부분군이 자명군과 자기 자신, 그리고 교대군 뿐이다.[n=4]
- [math(n\ge3)]이면 비가환군이며[15], 자명한 중심을 갖는다. 따라서 멱영군이 아니다.
- [math(n\ge5)]이면 비가해군이다.[16]
- 모든 군은 치환군의 부분군이다.[17]
[math(A_n)]에 대해,
- 원소의 개수가 [math(\frac{n!}{2})]개이다.
- 모든 원소는 [math(3)]순환치환의 곱으로 표현된다.
- [math(n\neq4)]이면 단순군이다.[n=4]
- [math(n\ge4)]이면 비가환군이며[19], 자명한 중심을 갖는다. 따라서 멱영군이 아니다.
- [math(n\ge5)]이면 비가해군이다.[20]
- 모든 군은 교대군의 부분군이다.
2. 도형 및 공간의 대칭들을 모은 군
group of symmetry / symmetry group [21]주로 기하학에서 대칭, 즉 대상을 보존하는 모든 변환들을 모아 놓은 군이다. 보통 생각할 수 있는 유클리드 평면이나 공간에선 대칭은 합동변환이고, 다른 종류의 공간에서는 그 공간 위에서 특수하게 정의된 구조를 보존하는 변환들을 생각하게 된다. 뉘앙스는 약간 다를 수 있겠지만 변환군(transformation group)이라고 지칭되기도 한다.
대칭군의 항등원은 항상 아무 것도 하지 않는 항등변환이 된다. 대칭이 구조를 보존한다면 대칭끼리의 합성이나 역변환도 구조를 보존해야 하므로, 대칭군이 군의 다른 공리들을 만족함도 직관적으로 생각할 수 있다. 군의 개념 자체가 광범위한 대칭을 연구하는 데에서 시작되었으므로, 추상적 정의로서의 군보다도 이 대칭군으로 군을 간주하는 것이 어떻게 보면 더욱 근본적이다. 굳이 따지자면 위의 대칭군도 구조가 전혀 없는 집합에서의 변환군으로 간주할 수도 있다.
예를 들면 정삼각형의 대칭 조작은 0도, 120도, 240도 회전, 그리고 세 중선에 대한 선대칭 3개 총 6개로 이루어져 있다. 이들 6개 조작은 군을 이루고, 그 구조는 (1번 항목의) 대칭군 [math(S_3)]과 동형이다. 비슷하게 정n각형의 대칭군에서 나온 원소 [math(2n)]개 짜리 이면군(dihedral group)을 생각할 수 있다. 만약 평면을 뒤집지 않는 변환들(즉 평행이동과 회전이동의 합성들)만을 생각한다면 정n각형의 대칭군은 순환군 [math(C_n)]이 될 것이다. 공간에서도 정6면체나 정8면체의 회전 대칭군이 [math(A_4)]와 동형이라던가, 정12면체나 정20면체의 회전 대칭군이 [math(A_5)]와 동형이라는[22] 사실은 학부대수학에서 표현론의 도입 예시 중 하나로 종종 써먹을 것이다.
평면의 유한한 도형의 대칭군은 이면군과 순환군 두 종류밖에 없지만, 반복되는 무늬나 격자, 결정 등의 대칭의 경우 무한군이 나올 수 있다. 평면의 이산적 대칭군에 대해 더욱 자세한 것은 대칭 문서를 참고하자. 이산적인 경우 뿐만이 아니라 원의 대칭군 [math(\mathrm{O}_2)](반사 포함) 혹은 [math(\mathrm{SO}_2)](미포함)의 경우처럼 연속적인 대칭군도 얼마든지 나올 수 있다.
한편으로는 공간 속의 도형 하나의 대칭에서 벗어나 공간 자체의 대칭을 생각할 수도 있다. 거리가 주어진 공간[23]의 경우 모든 합동변환(즉 등장변환 혹은 등거리사상)들을 모조리 모아놓는데, 유클리드 공간의 경우는 평행이동과 회전/반사 이동들의 합성들을 모두 모은
[math( \displaystyle \mathrm{E}_n = \{ x \mapsto Ax + b : A \in \mathrm{O}_n, \, b \in \mathbb{R}^n \} )]
이 [math(\mathbb{R}^n)]의 대칭군인 유클리드 군(Euclidean group)이 될 것이다.
비유클리드 기하학에서는 구면기하학의 대칭군으로 나오는 [math(\mathrm{SO}_3)]이나 쌍곡기하학의 대칭군인 [math(\mathrm{PSL}_2)] 등등을 생각할 수도 있다. 거리가 없는 공간이라도 공간에 주어진 구조[24]를 보존하는 대칭군을 생각할 수 있고, 상대성 이론에서 나오는
로런츠 군 등이 이런 예시에 속한다.현대 기하학에서는 대칭군 전체의 대수학적/기하학적 성질을 탐구해 공간에 대한 성질을 얻어내는 것이 주요 사고방식 중 하나가 되었다. 예로 구면 위에서의 라플라스 방정식의 해인 구면 조화 함수 같은 경우 [math(\mathrm{SO}_3)]의 표현론에서 그 답을 얻어낼 수도 있다. 한편으로는 이 대칭이라는 것도 대다수의 경우 행렬의 군으로 나타낼 수 있으므로,
[1]
고등학교 교과서에 나오는 그 일대일 대응 맞다, 전단사 함수라고도 한다.
[2]
자기 자신으로의 일대일 대응 함수들을 치환이라고 한다.
[3]
치환은 함수이므로, 치환 함수의 합성을 군에서의 연산으로 대응시킬 수 있다.
[4]
어떤 원소도 바꾸지 않는 치환
[5]
[math(S)]는 대칭군의 영어 표현인 symmetric group에서 따온 것이다.
[6]
대칭군은 집합의 원소 자체가 아니라 치환에 의해 원소 순서가 어떻게 바뀌었는지에 주목하기 때문에, 두 집합이 서로 다를지라도 원소의 수만 똑같으면 두 집합의 대칭군은 서로 동형이다.
서수의 관점에서 보면 [math(n=\{0,1,\cdots,n-1\})]이기도 하니 적절하다.
[7]
[math(1)]과 [math(3)]은 서로 대각선 관계에 있으므로 돌리거나 뒤집어서 옆에 오도록 만들 수 없다.
[8]
[math(1)] 옆에 [math(2)], [math(2)] 옆에 [math(3)], [math(3)] 옆에 [math(4)], [math(4)] 옆에 [math(1)] 등의 규칙을 가지고 섞으면 이면군이 만들어진다.
[9]
행렬과 혼동할 수 있기 때문에 보통 행렬 쪽은 대괄호로 표기한다.
[10]
즉 길이가 [math(2)]인 순환
[11]
항등치환은 한 번 시행한 호환을 다시 시행하면 되므로 호환의 제곱꼴로 유일하게 표현된다. 예를 들어 [math(\sigma=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix})]라 할 때, 항등 치환 [math(\rm id)]는 [math({\rm id} = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\sigma^2)]이다.
[12]
[math(n)]개 원소를 나열하는 개수가 [math(n!)]개이므로 자명하다.
[13]
증명은 매우 쉽다. 짝치환에 임의의 호환 하나만 합성하면 홀치환이 되고, 이것에 다시 같은 호환을 합성하면 짝치환이 되는 것을 이용한다.(물론, 같은 쪽에 합성해야 한다.)
[n=4]
[math(n=4)]일 때는 [math(V_4=\left\{e,~\left(12\right)\left(34\right),~\left(13\right)\left(24\right),~\left(14\right)\left(23\right)\right\})]이 추가된다.
[15]
특히 [math(S_3)]은 모든 군을 통틀어서 가장 작은 비가환군이다.
[16]
이것이 아벨-루피니 정리(일반적인 5차 이상의 방정식은 근의 공식이 존재하지 않음)의 근본적인 이유이다.
[17]
밑에서 소개되는 정리의 따름정리가 아니고, 반대로 아래 정리를 증명하기 위해 이 성질이 필요하다.
[n=4]
[19]
특히 [math(A_4)]는 라그랑주 정리의 역의 가장 작은 반례이다(원소의 개수가 6개인 부분군이 없음).
[20]
교환자 부분군이 자기 자신이기 때문이다.
[21]
'symmetry'와 'symmetric'의 차이에 유념하자. 한글에서는 주로 같은 활자로 번역되므로 문맥에 따라 이해해야 한다.
[22]
위 두 예시 모두 회전대칭만을 생각한 것이다. 반사까지 생각하면 여기에 [math(C_2)]가 곱해진다.
[23]
엄밀히 말하면 리만
다양체
[24]
주로 공간 위의
형식을 보존하는 경우가 많다.