최근 수정 시각 : 2022-06-19 14:53:44

항등식

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1. 개요2. 예시3. 미정계수법4. 판별법5. 관련 문서

1. 개요

/ identity

문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 [math(ax+b=0)]같은 식도 [math(a=b=0)]라는 조건이 주어지면 항등식이 된다.[1] 조건을 항상 잘 확인하자. 중1 때 잠깐 나오나, 고1 올라가면 더 복잡한 문제로 어렵게 나온다.

f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 정의할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.

2. 예시

[math(e)]는 자연로그의 밑, [math(i)]는 허수단위이다.

2.1. 삼각함수

  1. [math(\displaystyle \tan\theta= {\sin\theta \over \cos\theta})]
  2. [math(\sin^2\theta + \cos^2\theta=1)]
  3. [math(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta)]
  4. [math(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta)]
  5. [math(\cos x + i \sin x = e^{ix})] ( 오일러 공식)
  6. [math(\sin \theta = -i \sinh i \theta)]
  7. [math(\cos \theta = \cosh i \theta)]
  8. [math({\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}})]
  9. [math({\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}})]
  10. [math({\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}})]

2.2. 지수

  1. [math(x^{a+b} = x^ax^b)]
  2. [math(\displaystyle x^{a-b} = {x^a \over x^b})] (단, [math(x^{b} \neq 0)])
  3. [math(\left(x^a\right)^b=x^{ab})]
  4. [math(\left(x\cdot y\right)^n=x^n\cdot y^n)]
  5. [math(e^x = \sinh x + \cosh x)]

2.3. 로그

  1. [math(\log{ab}=\log{a}+\log{b})]
  2. [math(\displaystyle \log{a \over b}=\log{a}-\log{b})]
  3. [math(\log{a^n}=n\log{a})]
  4. [math(\displaystyle \log_{a}{b}={\log_{c}{b} \over \log_{c}{a}})] (밑 변환 공식)
  5. [math(\displaystyle \log_{a}{b}={1 \over \log_{b}{a}})]
  6. [math(\displaystyle \log_i{x} = {2 \over i \pi} \log_e{x})]
  7. [math(\mathrm{li}(x) = \mathrm{Ei} \circ \log_e (x))][2]

2.4. 미적분

  1. [math(\displaystyle {d \over dx} c = 0)] (c는 상수)
  2. [math(\displaystyle {d \over dx} x^n = n x^{n-1} \leftrightarrow \int x^n = {{1}\over {n+1}} x^{n+1}+c)] (c는 상수)
  3. [math(\displaystyle {d \over dx} \exp x = \exp x)]
  4. [math(\displaystyle {d \over dx} \ln x = x^{-1})]
  5. [math(\displaystyle \int^b_a f'(x)dx = f(b) - f(a) )] (단, 함수 [math(f')]이 닫힌 구간 [math(\left[a, b\right])]에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참조.)
  6. [math(\displaystyle \int_{1}^{e}{1 \over x}dx = \ln e - \ln 1 =1)]
  7. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x)]
  8. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x)]
  9. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x)]
  10. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\sec x=\sec\tan x)]
  11. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x)]
  12. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x)]
  13. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x)]
  14. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x)]
  15. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\tanh x=\text{sech}^{2}x)]
  16. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\text{sech} x=-\text{sech}x \tanh x)]
  17. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\text{coth} x=-\text{csch}^{2} x)]
  18. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\text{csch} x=-\text{csch} x \text{coth} x)]
  19. [math(\displaystyle \frac{d}{dx} |x| = \mathrm{sgn}\left(x\right) \leftrightarrow \int \mathrm{sgn}\left(x\right) = |x| + C)][3]
  20. [math(\displaystyle \frac{d}{dx} \mathrm{sgn}\left(x\right) = 2\delta\left(x\right) \leftrightarrow \int 2\delta\left(x\right) = 2 \theta \left(x\right) + C = \mathrm{sgn}\left(x\right) + 1 + C)][4]

2.5. 벡터

  1. [math((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b})]
  2. [math(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}))]
  3. [math(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0})]

2.6. 미분류

  1. [math({}_n\mathrm P_r = \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+1 \right)} = \left( n-r+1 \right) \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+2 \right)} = \left( n-r+1 \right) \cdot {}_n\mathrm P_{r-1})]
    (단, [math(\Re(n+1), \Re(n-r+1), \Re(n-r+2) \notin \mathbb{Z} - \mathbb{N})][5])
  2. [math(\Im(a)=0 \,\,\,(a \in \mathbb{R}))][6]

2.7. 곱셈 공식

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 곱셈 공식 문서
2번 문단을
부분을
참고하십시오.
1. [math((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)]
2. [math((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)]
3. [math((a+b)(a-b)=a^2-b^2)]
4. [math((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab)]
5. [math((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd)]

여기까지가 중학교 과정에서 배우는 곱셈 공식들이고, 나머지는 고등학교 입학하면 배운다.

2.8. 인수분해

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 인수분해 문서
3.1번 문단을
부분을
참고하십시오.
1. [math(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)]
2. [math(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2)]
3. [math(a^2-b^2=(a+b)(a-b))]
4. [math(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b))]
5. [math(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d))]

여기까지 중학교 과정이다. (물론, 곱셈 공식들의 양변을 바꾼 것들이다.)

3. 미정계수법

[math(x)]에 관한 등식 [math(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=a_0=0)]이다. 비슷하게 [math(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_0=b_0,a_1=b_1,\cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n)]이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.
1. 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
2. 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[7] 방정식을 푸는 방법.
숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
[8]

고1 올라가면 항등식을 이 방법으로 풀어야 한다.

4. 판별법

예:[math(a)]×[math(y)]=[math(a)]×[math(y)]
  • 식을 정리했을때, 위와같이 좌변,우변이 같다면 항등식이다.

5. 관련 문서





[1] 이 조건을 '자명하다'라고 한다. [2] [math(\mathrm{li}(x))]는 로그 적분 함수, [math(\mathrm{Ei}(x))]는 지수 적분 함수이다. [3] [math(\mathrm{sgn}\left(x\right))]는 부호 함수이다. [4] [math(\delta\left(x\right))]는 디랙 델타 함수, [math(\theta\left(x\right))]는 헤비사이드 계단 함수이다. [5] 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 또는 음의 정수가 되어서는 안된다는 뜻이다. [6] 실수 허수부는 무조건 0이라는 의미이다. [7] 보통 0이나 1을 대입한다. [8] 항이 [math(x)]개인 다항식(일차식)을 [math(y)]제곱한 다항식의 항의 개수는 [math(x^{y})]개이다. 따라서 항이 2개이고 지수가 10이므로 [math(2^{10}=1024)]개가 된다. 참고로, 항이 2개이고 지수가 100인 다항식 [math((x+y)^{100})]의 항은 [math(2^{100}=1267650600228229401496703205376)]개이다. 물론, 동류항은 정리하지 않고 순전히 전개만 했을 때이다. [9] 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는것이 목적이다.