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1. 개요
Yang - Mills existence and mass gap|
양-밀스 이론의 존재와 질량 간극 임의의 콤팩트하고 단순한 게이지 군(compact simple gauge group) G에 대해서, [math(\mathbb{R}^4)] 속 자명하지 않은 양-밀스 이론이 존재하여, Δ > 0 인 질량 간극을 가짐을 증명하시오. 존재의 증명은 적어도 몇몇 논문에 인용한 것만큼 강한 공리적 체계를 구성하는 것을 포함해야 한다. |
- 4차원 시공간 ([math(\mathbb{R}^4)])에 '양-밀스 이론'이 실제로 존재함을 증명해야 한다.
- 그 이론은 자명하지 않아야 한다.
- 이론 존재의 증명은 수학적 공리체계하에 엄밀하게 설계되어야 한다.
- 그 이론 아래서, 질량 간극은 0보다 커야 한다.
2. 양-밀스 이론
양-밀스 이론이란 중국인 물리학자 ' 양전닝'과 미국인 물리학자 '로버트 밀스'가 만든 양자장론 모델로 강력과 약력을 설명하는 데 이용 된다. 이런 이유로 표준 모형의 일부로 포함된다.양자 역학에서 언급되는 입자들이 빛의 속도에 가깝게 움직이면, 결국 상대성 이론이 적용되어야 한다. 이것을 상대론적 양자역학이라고 한다. 그것을 아우르는 이론이 ' 양자장론'이다.
참고할 만한 기사
2.1. 양자장론에 따른 설명
우리가 사는 시공간 안에 있는 시공간에 관련된 성분이 4개인 파동함수 [math(ψ(t, \vec x))]에 대한 라그랑지언은 [math(γ^μγ^ν+γ^νγ^μ=2η^{μν}I_4)]를 만족하는 4×4 정방행렬 γ들이랑 4차원 미분연산자가 들어간 아래 식을 만족한다.
[math(\mathcal{L}=\bar ψ(iγ^μ∂_μ-m)ψ)]
이 ψ가 (시공간이랑은 아무 상관 없는) n차원 벡터모양으로 하전된 입자[1]며, 위상변환 [math(ψ→ψ'=e^{iΛ}ψ)]을 따른다 할때 아무리 위상 Λ가 n×n 정방행렬모양인 함수라고 해도 저 라그랑지언이 안변하도록 게이지 변환을 써줘야한다.
미분연산자 [math(∂_μ)]에 위 위상변환이랑 관련된 게이지 변환 [math(A_μ→A_μ'=(e^{iΛ}A_μ-\dfrac ig∂_μe^{iΛ})e^{-iΛ})]을 따르는 n×n 정방행렬꼴 4차원 벡터 입자 [math(A_μ(t,\vec x))]를 더해 만든 새로운 연산자
[math(D_μψ=∂_μψ-igA_μψ)][2]
로 위 라그랑지언 속 미분항을
[math(\mathcal{L}=\bar ψ(iγ^μD_μ-m)ψ)]
이렇게 교체할 수 있고, 그다음 이 연산자를 가지고 적당히 만든 식
[math(F_{μν}ψ=\dfrac ig[D_μ(D_νψ)-D_ν(D_μψ) ])]
을 계산하면서 도출되는 양-밀스
텐서장
[math(F_{μν}=∂_μA_ν-∂_μA_ν-ig[A_μ,A_ν])]
을
아인슈타인 합 규약에 맞춰 제곱한 항을 위 라그랑지언에 추가하면 아래와 같은 라그랑지언을 얻는다.
[math(\mathcal{L}=\bar ψ(iγ^μD_μ-m)ψ-\dfrac18 \text{Tr}(F^{μν}F_{μν}))]
이 라그랑지언으로부터 벡터장에 대한
오일러-라그랑주 방정식을 꺼내면
비선형편미분행렬방정식이 나와 풀기 엄청 어려워지나, 장에 대한 양자화를 하려면, 라그랑지언을 간단하게 축약해야한다.문제의 핵심은 물질항이 없는 순수 양-밀스 장
[math(\mathcal{L}=-\dfrac18 \text{Tr}(F^{μν}F_{μν}))]
이 질량을 가질 것으로 예상된다는 사실이다. 이는 실험결과를 설명하기 위해 널리 통용되는 가정이지만 수학적으로 증명된 적은 없다. 이를 증명하는 것이 밀레니엄 문제의 핵심 요구사항이다.
2.2. 질량 간극
Mass Gap양-밀스 이론의 질량 간극이란 양-밀스 이론에서 예측하는 가장 가벼운 입자가 존재할 때, 그 입자의 질량을 의미한다. 이를 비상대론적 용어로 설명하면 해밀토니안이 가지는 첫 번째 들뜬 상태와 바닥상태의 에너지 차이가 질량 간극이다. 예를 들어 양자 조화 진동자는 [math(\hbar\omega)]의 질량 간극을 보인다고 말할수도 있다. 상대론적인 양자장이론에서 질량 간극은 경로적분을 이용하여 표현된다. 다만 경로적분기법은 수학적으로 엄밀하지 않아서 계산되는 질량간극이 정확하다는 것을 보장할 수 없다는 커다란 문제점이 존재한다. 문제의 요구사항은 양-밀스 장의 질량 간극이 0 보다 크다는 것을 보이는 것이다. 즉 양-밀스 장의 에너지 스펙트럼이 연속이 아니라, 최소 단위가 존재함을 보이라는 것이다.
2.3. 문제의 특징과 중요성
수학적으로는 함수해석학 및 리군론에 속하는 문제이다. 함수해석학은 다비트 힐베르트가 창시한 해석학(수학)의 분과이다. 함수해석학적으로 말하면 양-밀스 이론이 성립하는 공간에서의 스펙트럼 정리를 증명하고 스펙트럼이 불연속함을 보이는 문제라고도 할 수 있다.양-밀스 이론을 만든 양전닝, 로버트 밀스 둘 다 '이론물리학자'이며, 이 문제는 명백하게 물리학(양자장론)으로부터 시작된다. 그런데 이것에 대한 수학적 토대를 만들라는 것이기 때문에, 이 문제는 분명히 수학 문제[3]이다.
쉽게 말해서 아이작 뉴턴이 자신의 물리학을 설명하기 위해서 미적분이란 걸 만들었는데, 이 문제에서도 비슷한 걸 하라는 의미이다. 다만 뉴턴은 자기가 직접 했고, 이 물리학자들은 수학자에게 맡긴 차이가 있다. 뉴턴과 비슷한 사례로 에드워드 위튼이 있다. 위튼도 자신의 이론( 초끈 이론) 전개를 위한 수학이 필요해 직접 수학을 연구하다가, 심지어 필즈상까지 수상하였다. 그래서 위튼은 물리학자이자 수학자로 불린다.[4]
이 문제를 다룬 물리학적인 배경 설명은 게이지 장 문서에 설명되어 있다.
수학적 관점에서 볼 때 너무 특정한 분야에 치중된 문제라서 어떤 수학적 응용이 가능할지 불명확한 부분이 많다. 이는 리만 가설이 다양한 수학 문제들과 연결되어 있다고 밝혀진 것과 비교되는 점이다. 물리학적으로는 테크니컬러 입자나 프리온 입자의 세부적인 성질을 예측하는 데에 응용될 수 있다. 추후에는 중력의 재규격화에 응용될 가능성도 일부 존재한다.
3. 관련 업적
3.1. 조용민
2013년 4월 17일에는 건국대 조용민 교수가 양-밀스 질량 간극 가설 문제를 풀었다는 기사가 나왔다.그러나, 수학계에서는 조용민 교수의 논문이 물리학적인 성과는 인정하지만, '밀레니엄 문제를 풀었는가?'라는 질문에 대해서는 한결같이 '아니오'라는 입장을 내고 있다. 이 문제는 해당 분야에 관한 새로운 수학 체계를 쌓아 올릴 것을 요구하기 때문에, 조용민 교수의 연구가 도움이 될 수는 있지만, 수학적으로 엄밀한 해결에 이르기에는 아직 갈 길이 멀다고 보고 있다. 더 정확히 말하면, "수학적으로 엄밀한 해결에 이르는 길"에는 단 한 발짝도 들여놓지 못했다는 입장이다.
관련 게시물
http://www.tenelux.com/bbs/board.php?bo_table=diary&wr_id=70
https://www.facebook.com/sangmin.lee.142687/posts/557853757588115
http://pomp.tistory.com/883
http://slownews.kr/10111
3.2. 카렌 울렌벡
2019년 아벨상 수상자로 카렌 울렌벡이 선정되었다. 게이지 이론에 대한 업적이 인정받아 수상된 것인데, 실제로 양-밀스 이론과 관련이 있는 분야이다.4. 관련 있는 내용
불완전성 정리가 적용된 물리학 문제가 발견되었다. 2015년 12월 네이처에 기고된 논문에 의하면, 특정 물질의 전자들이 가지는 가장 낮은 에너지 값들 사이의 간격을 계산하는 것이 불가능하다는 사실을 밝혔다. 이 발견을 주도한 런던 대학의 양자물리학자 토비 큐빗은 양-밀스 질량-간극 가설 역시 이와 유사한 방법으로 풀 수 있을지 모른다고 말했다. 네이쳐 기사 번역 및 설명
[1]
이러면 이 입자는 총 성분수가 (시공간 관련 성분수) 4 × (전하량 관련 성분수) n = 총 4n개가 된다.
[2]
이 식에다 아까 얘기한 위상변환을 적용해보면 아래 식을 따르는 걸 알 수 있다.
[math(D_μψ→(D_μψ)'=e^{iΛ}D_μψ)]
위식에서, 상수 g는 커플링 상수로 디랙 장과 게이지 장의 커플링 세기를 나타낸다. [3] 엄밀히 따지자면 수리물리학 문제이다. [4] 뉴턴이 활약하던 시대와 달리 현대에서 물리학자와 수학자를 겸한다는 것은 매우 드문일이다. 뉴턴 시대와 다르게 현대는 여러 분야가 이전과는 비교도 안 될 만큼 고도로 복잡해졌기 때문인데, 이제는 수학자(혹은 물리학자)라도 자기가 연구하고있는 세부전공분야 이외에는 잘 모르는 경우가 상당하다. 그렇기 때문에 수학자이자 물리학자 아니 진정한 수리물리학자인 위튼이 더욱 대단하다는 평가를 받는 것이다.
[math(D_μψ→(D_μψ)'=e^{iΛ}D_μψ)]
위식에서, 상수 g는 커플링 상수로 디랙 장과 게이지 장의 커플링 세기를 나타낸다. [3] 엄밀히 따지자면 수리물리학 문제이다. [4] 뉴턴이 활약하던 시대와 달리 현대에서 물리학자와 수학자를 겸한다는 것은 매우 드문일이다. 뉴턴 시대와 다르게 현대는 여러 분야가 이전과는 비교도 안 될 만큼 고도로 복잡해졌기 때문인데, 이제는 수학자(혹은 물리학자)라도 자기가 연구하고있는 세부전공분야 이외에는 잘 모르는 경우가 상당하다. 그렇기 때문에 수학자이자 물리학자 아니 진정한 수리물리학자인 위튼이 더욱 대단하다는 평가를 받는 것이다.