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1. 개요2. 정의3. 성질4. 관련 함수들
4.1. 위상동형사상(homeomorphism)4.2. 열린 사상(open map)4.3. 닫힌 사상(closed map)4.4. 상사상(quotient map)4.5. 거리 함수(metric function)4.6. 경로(path)4.7. 수축(retract)4.8.
매끄러운 함수(smooth function)4.9. 미분동형사상(diffeomorphism)4.10.
병리적 함수(pathological function)
5. 고등학교 시험5.1. 예제
1. 개요
連 續 函 數 / continuous function연속함수란 함수의 일종으로, 변수의 연속적인 변화에 따라 함숫값이 연속적으로 변하는 함수를 일컫는다. 연속함수는 일반 위상수학, 해석학 등에서 주로 사용하는 수학적 도구이다.[1]
2. 정의
2.1. 실함수의 연속
2.1.1. 고교 교육과정 하에서의 정의
[ 정의 ] 함수 [math(f(x))]가 실수 [math(a)]에 대하여
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[ 정의 ] 실수 위에서 정의된 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f(x))]는 [math(x = a)]에서 연속([math(f(x))] is continuous at [math(x = a)])이라고 한다.
특히, 함수 [math(f(x))]가 모든 [math(x = a \in \mathbb R)]에서 연속이면, [math(f)]를 연속함수(continuous function)라고 한다. |
2.1.2. 엡실론-델타 논법을 사용한 정의
[ 정의 ] 실수 위에서 정의된 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f(x))]는 [math(x = a)]에서 연속([math(f(x))] is continuous at [math(x = a)])이라고 한다.
[math(\lvert x - a \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(a) \rvert < \varepsilon)] 그렇지 않다면, [math(f(x))]는 [math(x = a)]에서 불연속([math(f(x))] is discontinuous at [math(x = a)])이라고 한다.특히, 함수 [math(f(x))]가 모든 [math(x = a \in \mathbb R)]에서 연속이면, [math(f)]를 연속함수(continuous function)라고 한다. |
그래프를 통해 연속의 여부를 판별하려고 하면 헷갈리기 쉬운 예시로 [math(\mathbb R - \left\{ 0 \right\})]에서 정의된 함수 [math(x \mapsto \dfrac 1x)]가 있다. 언뜻 보면 불연속 함수로 보이지만, 이 함수는 엡실론 델타 논법을 이용한 정의에 따르면 연속함수이다.
2.2. 거리공간에 주어진 함수의 연속
[ 정의 ] 두 거리공간 [math((X, d_X))]와 [math((Y, d_Y))] 사이에 정의된 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f)]는 [math(a \in X)]에서 연속([math(f)] is continuous at [math(a \in X)])이라고 한다.
[math(d_X(x, a) < \delta \ \Rightarrow \ d_Y(f(x), f(a)) < \varepsilon)] 그렇지 않다면, [math(f)]는 [math(a \in X)]에서 불연속([math(f)] is discontinuous at [math(a \in X)])이라고 한다.특히, 함수 [math(f)]가 모든 [math(a \in X)]에서 연속이면, [math(f)]를 연속함수(Continuous function)라고 한다. |
2.3. 일반 위상공간에 주어진 함수의 연속
[ 정의 ] 두 위상공간 [math(X)]와 [math(Y)] 사이에 정의된 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f)]는 [math(a \in X)]에서 연속([math(f)] is continuous at [math(a \in X)])이라고 한다.
[math(x \in U \ \Rightarrow \ f(x) \in V)][3] 그렇지 않다면, [math(f)]는 [math(a \in X)]에서 불연속([math(f)] is discontinuous at [math(a \in X)])이라고 한다.특히, 함수 [math(f)]가 모든 [math(a \in X)]에서 연속이면, [math(f)]를 연속함수(continuous function)라고 한다. |
[math(\lvert x - a \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(a) \rvert < \varepsilon)]
이는 실함수의 연속과 같은 조건이므로, 두 정의는 충돌 없이 공존할 수 있다.
한편, 일반 위상공간에서는 연속함수에 대한 다음과 같은 동치조건이 있다. 보통 문제 등을 풀 때 다음 조건을 증명하여 연속성을 보인다.
[ 정의 ] 두 위상공간 [math(X)]와 [math(Y)] 사이에 정의된 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시킬 때, [math(f)]는 연속함수(continuous function)라고 한다.
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예를 들어 보통 위상이 주어진 [math(\mathbb R)]에서, 하한 위상(lower limit topology)이 주어진 [math(\mathbb R_l)]로의 항등함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R_l, f(x) = x)]가 있다. 직관적으로는 이 함수가 당연히 연속함수지만, 실제로 이 함수는 연속함수가 아니다. 왜냐하면 하한 위상공간에서는 [math([a, b))] 따위가 모두 열린 집합인데, 이 반열린구간의 역상 [math(f^{-1}([a, b)) = [a, b))]는 실수 집합 [math(\mathbb R)]의 열린 집합이 아니기 때문이다.[4] 역으로, 이산 위상(discrete topology)가 주어진 [math(\mathbb R_d)]에서 보통 위상이 주어진 [math(\mathbb R)]로의 디리클레 함수 [math(g: \mathbb R_d \to \mathbb R)]은
[math(g(x) = \begin{cases} 1, & \textsf{if }x \in \mathbb Q \\ 0, & \textsf{if }x \in \mathbb R - \mathbb Q \end{cases})]
라 쓸 수 있다. 이는 완전 불연속 함수처럼 보이지만, 이산 위상공간에서는 임의의 집합이 열린 집합이므로 [math(g)]는 연속함수이다.
3. 성질
연속함수는 수학, 특히 해석학과 위상수학의 아이콘과도 같은 중요한 개념이다. 아래와 같이 상당히 좋은 성질들을 가지고 있기 때문에, 다양한 분야에서 연속함수를 사용한다.3.1. 기본 성질
[ 명제 ] 함수 [math(f, g, h: \mathbb R \to \mathbb R)]가 [math(f, g)]는 [math(x = x_0)]에서, [math(h)]는 [math(x = f(x_0))]에서 연속일 때,
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[ 명제 ] 함수 [math(f: X \to Y)]가 [math(x_0 \in X)]에서 연속, [math(g: Y \to Z)]가 [math(f(x_0) \in Y)]에서 연속일 때 [math(g \circ f: X \to Z)] 또한 [math(x_0 \in X)]에서 연속이다.
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3.2. 위상적 성질
[ 명제 ] 함수 [math(f: X \to Y)]가 연속함수이면,
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3.2.1. 따름정리
특히, 위의 첫 번째, 두 번째 성질은 각각 최대·최소 정리, 중간값 정리의 일반화이다.3.3. 수열의 극한과의 관계
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[ 정리 ] 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 [math(x = c)]에서 연속이라고 하자. 수열 [math(\left\{ x_n \right\})]이 실수 [math(c \in \mathbb R)]로 수렴할 때, [math({\lim \limits_{n \to \infty}} f(x_n) = f \left({\lim \limits_{n \to \infty}} x_n \right) = f(c))] 이 성립한다. 말로 풀어 쓰면, 수열 [math(\left\{ f(x_n) \right\})]은 극한 [math(f(c))]을 가진다.
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[math({\lim \limits_{n \to \infty}} f(x_n) = \lfloor 0.999 \cdots \rfloor = 0 \ne 1 = \lfloor 1\rfloor = f(c))]
임을 알 수 있다. 정리가 성립하지 않는 이유는 최대 정수 함수 [math(f)]는 [math(x = 1)]에서 불연속이기 때문.[11] 그러나 최대 정수 함수의 불연속성을 고려하지 않은 채, 위 정리를 그대로 적용할 수 있는 것으로 오해하여 [math(0.999 \cdots \neq 1)]이 아닌가 하는 오류를 범하게 되는 것이다.
4. 관련 함수들
연속이거나 연속은 아니지만 연속함수와 비슷한 개념들. 이 개념들은 특정 공간이나 함수의 성질들을 이해하기 위해 만들어졌으며, 보통 학부 위상수학 시간에 배울 수 있다. 아래 단락에서, [math(X)]와 [math(Y)]는 주어진 위상공간을 나타낸다.4.1. 위상동형사상(homeomorphism)
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[ 정의 ] 위상동형사상(homeomorphism) 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(f)]을 위상동형사상(homeomorphism)이라고 부른다.
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4.2. 열린 사상(open map)
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[ 정의 ] 열린 사상(Open map) 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(f)]을 열린 사상(open map)이라고 부른다.
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4.3. 닫힌 사상(closed map)
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[ 정의 ] 닫힌 사상(Closed map) 함수 [math(f: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(f)]을 닫힌 사상(closed map)이라고 부른다.
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4.4. 상사상(quotient map)
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[ 정의 ] 상사상(quotient map) 함수 [math(p: X \to Y)]가 다음 성질을 만족시키면 [math(p)]를 상사상(quotient map), 또는 몫사상이라 한다.
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[math(p(x) = \begin{cases} x, & \textsf{if }x \ne a, b\\ c, & \textsf{if }x = a, b \end{cases})]
로 정의하면, ([math(c \in A \vee B)]는 두 공간을 붙인 점.) 이는 [math(A \vee B)]로부터 자연스럽게 유도된 상사상(induced quotient map)이 된다.
4.5. 거리 함수(metric function)
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[ 정의 ] 거리 함수(metric function) 함수 [math(d_X: X \times X \to \mathbb R)]가 다음 조건을 만족시키면, [math(d_X)]를 공간 [math(X)]의 거리(metric)이라 한다.[14] 임의의 [math(x, y, z \in X)]에 대하여,
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[ 명제 ] 거리 함수의 연속 임의의 거리 함수 [math(d_X: X \times X \to \mathbb R)]는 곱 위상(product topology)이 주어진 [math(X \times X)] 위의 연속함수이다.
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4.6. 경로(path)
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[ 정의 ] 경로(path), 닫힌 곡선(loop) 정의역이 구간 [math(I = [0, 1])]인 연속함수 [math(f: I \to X)]를 [math(X)]의 경로(path)라고 부른다.
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4.7. 수축(retract)
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[ 정의 ] 수축(retract) 위상공간 [math(X)]와 그 부분공간 [math(A \subset X)]에 대하여, 연속함수 [math(r: X \to A)]를 수축(retract)이라고 부른다. 공간 [math(A)]가 [math(X)]의 수축이다([math(A)] is a retract of [math(X)]), 공간 [math(X)]는 [math(A)] 위로 수축한다([math(X)] retracts onto [math(A)])와 같은 표현도 사용한다. |
4.8. 매끄러운 함수(smooth function)
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[ 정의 ] 매끄러운 함수(Smooth function) 함수 [math(f: X \to Y)]가 무한 번 미분 가능하며, 임의의 정수 [math(n \geq 0)]에 대하여 [math(f)]의 [math(n)]계 도함수 [math(f^{(n)})]이 모두 연속일 때[16], 연속함수 [math(f)]를 매끄러운 함수(smooth function)이라고 한다. |
4.9. 미분동형사상(diffeomorphism)
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[ 정의 ] 미분동형 사상(diffeomorphism) 미분다양체[math(X ,Y)] 사이의 전단사 함수 [math(f: X \to Y)]에 대해 [math(f)]가 미분가능하고 [math(f^{-1})] 이 미분 가능하면 [math(f)] 를 미분동형 사상(diffeomorphism)이라 한다 . |
정의에 의해 미분동형사상은 자연스럽게 위상동형사상이 된다. 일반적인 다양체에서는 위상동형만으로 충분하지만 공간의 국소적 좌표에서의 미분또한 고려하는 미분기하학에서는 위상동형보다도 더 자연스러운 동형이 미분동형이다.
4.10. 병리적 함수(pathological function)
행동 양상이 특이한 함수들. 보통 학부 해석학 첫 학기에 배우게 되며, 기존 수학적 직관을 깨부수는 다양한 함수들을 만나보게 된다. 대표적으로 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수가 있다.5. 고등학교 시험
고등학교 시험에서는 불연속점이 있는 함수에 다른 함수를 곱했더니 그 점에서 연속이 되는 상황을 많이 출제한다.함수 [math(f(x))]가 [math(x=f_1, \,f_2,\, \cdots)]에서, [math(g(x))]가 [math(x=g_1,\, g_2,\, \cdots)]에서 불연속일 때, [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 다음을 만족시켜야 한다.
[math(f(g_1)=f(g_2)=\cdots=g(f_1)=g(f_2)=\cdots=0)]
쉽게 말해서 한 함수의 불연속점의 [math(x)]좌표를 다른 함수에 대입하면 0이 되는 경우, 두 함수를 곱한 제3의 함수는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 이유는 다음과 같다.
우선, [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 불연속이라는 것은 [math(x=a)]에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 일치하지 않는다는 뜻이다. 그런데 여기에 다른 함수 [math(g(x))]를 곱했더니 [math(x=a)]에서 연속이 되려면, [math(g(a)=0)]이어야 [math(f(x)g(x))]의 [math(x=a)]에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 0이 되어 일치하게 된다. 0이 아니면 안 된다. 요컨대, 서로 다른 수들에 어떤 수를 각각 곱한 결과가 모두 같다는 것은, 그 곱한 수가 0이라는 뜻이다.
5.1. 예제
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| 2020학년도 6월 고3 나형 15번 |
- [풀이 보기]
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[math(\displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)=3,\;\lim_{x\to 0+}f(x)=2)]
이므로 [math(f(x))]는 [math(x=0)]에서만 불연속이다. 따라서, [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [math(\boldsymbol{g(0)=0})]이어야 한다. [math(g(x))]에 나오는 식 [math(2x)]와 [math(2x-1)] 중 [math(g(0)=0)]이 되는 경우는 [math(2x)]이므로, 아래 그림에 따라 [math(\boldsymbol{a>0})]이다.
[math(\displaystyle\lim_{x\to a-}g(x)=2a,\;\lim_{x\to a+}g(x)=2a-1)]
이므로 [math(g(x))]는 [math(x=a)]에서만 불연속이다. 따라서, [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [math(\boldsymbol{f(a)=0})]이어야 한다.
그러면 [math(f(a)=-2a+2\;(\because a>0))]이고
[math(-2a+2=0 \; \to \; a=1)]
[1]
단,
해석학은 수치화한 연속과 연산을 병행하는 학문이기 때문에 순수한 연속성만을 다루는 경우는 적다. 특히
미분에 대해 다루려면 연속만으로는 모자라며(후술하겠지만
연속이지만 미분불가능한 함수도 있다.), 함수의 연속과
적분가능성은 필요조건 관계도 아니다. 그래서 해석학에서는 연속함수 조건을 강화하여 미분가능한 함수(differentiable function), 균등연속함수(uniformly continuous function), 해석함수(analytic function)등을 사용한다.
[2]
[math(f(a) \in Y)]를 포함하는 [math(Y)]의 열린 부분집합.
[3]
동등한 표현으로 [math(f(U) \subset V)]가 있다.
[4]
일반적으로 이 함수는 정의역의 모든 점에 대하여 불연속인 완전 불연속 함수(totally discontinuous function)이다.
[5]
여기서 [math(k \in \mathbb R)]는 임의의 상수이며, [math((kf)(x) = kf(x))]이다.
[6]
여기서 [math((f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x))]이다.
[7]
여기서 [math((fg)(x) = f(x) \cdot g(x))]이다.
[8]
여기서 [math(\Bigl(\dfrac fg \Bigr)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}(g(x) \neq 0))]이다.
[9]
여기서 [math((h \circ f)(x) = h(f(x)))]이다. 이 성질은 실함수가 아닌 일반 위상공간에 정의된 함수에서도 성립한다.
[10]
이 사실로부터
컴팩트성(중에도 특히 점렬 컴팩트성)이 왜 그런 식으로 정의되는지 유추할 수 있다. 컴팩트성을 이용하지 않고 일변수함수의
최대·최소 정리를 증명하려면, 닫힌 집합 [math([a, b])]에서의 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하는 것이 핵심이다. 그런데 이 정리는 점렬 컴팩트성으로부터 나오며, 이를 일반화하여 컴팩트성이 정의가 된다. 실제로 거리공간에서는 점렬 컴팩트성과 컴팩트성이 동치.
[11]
일반적으로, 최대 정수 함수는 모든 정수점에서 불연속이다.
[12]
표기는 교재별, 사람별로 전부 다르므로 문맥에 맞게 사용하는 것이 좋다.
[13]
집합의 열림, 닫힘 및 and, or 등으로 표현되는 성질
[14]
노름(수학)의 정의와 비교하여 보자. 이렇게 거리 함수가 주어진 [math(X)]를 거리공간(metric space) 혹은 거리화 가능 공간(metrizable space)이라고 부른다.
[15]
또는 회로
[16]
이상의 조건을 기호로 [math(f \in \mathcal C^\infty)]라 표시한다.