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고체물리학·
응집물질물리학 |
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1. 개요
點 群, point group점군은 공간에서 어떤 조작에 대해 하나 이상의 고정된 점을 보존하는, 기하학적 대칭의 군(群)을 의미한다. 점군은 모든 차원의 유클리드 공간에서 존재하며, 모든 n차원 점군은 직교군 [math(O\left(n\right))]의 부분군이다. 점군은 직교행렬의 집합으로 표현될 수 있다.
기하학, 대수학 등 수학 뿐만 아니라, 화학, 응집물질물리학에서도 물질의 대칭성을 표시할 때 주로 사용된다.
2. 설명
쉽게 설명해, 점군은 임의의 기하학적 대상이 회전이나 반사 등의 조작에 대해, 어떤 대칭을 가지는지에 대한 서술이다.기하학적 대상에 대해 가능한 조작은 다음과 같다.
| 차원 | 조작 | 기호 | 설명 |
| 0차원 이상 | 동등 조작(identity) | [math(E)] | 아무런 조작도 가하지 않는다.[1] |
| 1차원 이상 | 반사(reflection) | [math(\sigma)] | 특정한 경계면[2]을 기준으로 대칭시킨다.[3] |
| 반전(inversion) | [math(i)] | 특정한 점을 기준으로 대칭시킨다. (점대칭) | |
| 2차원 이상 | 회전(rotation) | [math(C_n)] | 특정한 축을 기준으로 (360/n)º회전시킨다. |
| 3차원 이상 | 회전반사(Improper rotation) | [math(S_n)] | 특정한 축을 기준으로 (360/n)º 회전시킨 후, 해당 축에 수직인 평면을 기준으로 대칭시킨다. |
2.1. 1차원 대칭
직선 위에 있는 점들에 대한 대칭은 C1과 D1 두 가지밖에 없다.| Scn[Scn] | 명칭 | Int[Int] | Cox[Cox] | 대칭 차수 |
| C1 | 동등군(indentity group) | n | []+ | 1 |
| D1 | 반사군(reflection group) | nm | [] | 2 |
2.2. 2차원 대칭
평면 위에 있는 점들에 대한 대칭에는 Cn과 Dn이 존재한다. n은 자연수 또는 무한대가 될 수 있다.| Scn[Scn] | 명칭 | Int[Int] | Cox[Cox] | 대칭 차수 |
| Cn | 순환군 | n | [n]+ | n |
| Dn | 반사군 | nm | [n] | 2n |
2.3. 3차원 대칭
여기서부터 이면체 대칭(dihedral symmetry)과 정다면체 대칭(polyhedral symmetry)으로 나뉜다.| 분류 | Scn[Scn] | 명칭 | Int[Int] | Cox[Cox] | 대칭 차수 | |
| 낮은 차수 대칭[13] | C1 | 동등군 | 1 | |||
| Ci | 점대칭 | 2 | ||||
| Cs | 면대칭 | 2 | ||||
| 이면체 대칭 | C | Cn | 카이랄 정다면체 대칭 | n | [n]+ | n |
| Cnh | 각기둥 대칭[A] | [n+,2] | 2n | |||
| Cnv | 피라미드 대칭 | [n] | 2n | |||
| S | S2n | gyro-n-gonal group | [2n+,2+] | 2n | ||
| D | Dn | 이면체 대칭 | [n,2]+ | 2n | ||
| Dnh | 각기둥 대칭[A] | [n,2] | 4n | |||
| Dnd | 엇각기둥 대칭 | [2n,2+] | 4n | |||
| 정다면체 대칭 | T | T | 카이랄 정사면체 대칭 | [math(23)] | [3,3]+ | 12 |
| Td | 정사면체 대칭 | [math(\overline{4}3m)] | [3,3] | 24 | ||
| Th | 황철석면체 대칭[16] | [math(m\overline{3})] | [3,3+] | 24 | ||
| O | O | 카이랄 정다면체 대칭 | [math(432)] | [3,4]+ | 24 | |
| Oh | 정팔면체 대칭 | [math(m\overline{3}m)] | [3,4]+ | 48 | ||
| I | I | 카이랄 정이십면체 대칭 | [math(532)] | [3,5]+ | 60 | |
| Ih | 정이십면체 대칭 | [math(\overline{53}m)] | [3,5] | 120 | ||
(작성중)
[1]
아무것도 하지 않은 채 그대로 두나, 수학적 완전성을 위해 필요하다.
[2]
1차원일 경우 점, 2차원은 경계선, 3차원은 경계면(평면). 이와 같이 n차원 도형은 n-1차원 공간을 경계로 반사시킨다.
[3]
이 조작에 대해 대칭을 갖지 않는 성질을 카이랄성(Chirality)이라고 한다. 이는
물리학과
화학은 물론, 특히
약학에서 중요하게 다뤄지는 성질이다. 극단적인 예시로, 약물
분자의 카이랄성 때문에 발생한
탈리도마이드 사건이 있다.
[Scn]
숀플리스(Schönflies) 표기법
[Int]
헤르만–모갱(Herrman–Mauguin) 표기법, 또는 국제기호
[Cox]
콕서터(Coxeter) 표기법
[Scn]
[Int]
[Cox]
[Scn]
[Int]
[Cox]
[13]
대칭 요소가 없거나, 하나밖에 없는 점군.
[A]
Cnh와 Dnh는 둘 다 각기둥 대칭이라고 불리나, 서로 다르다. 같은 n이라면 Dnh가 더 대칭성이 크다.
[A]
[16]
pyritohedral symmetry. 광물
황철석에서 이름을 따왔다.