최근 수정 시각 : 2022-04-06 14:21:26

점군

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1. 개요2. 설명
2.1. 1차원 대칭2.2. 2차원 대칭2.3. 3차원 대칭

1. 개요

點 群, point group

점군은 공간에서 어떤 조작에 대해 하나 이상의 고정된 점을 보존하는, 기하학적 대칭의 군(群)을 의미한다. 점군은 모든 차원의 유클리드 공간에서 존재하며, 모든 n차원 점군은 직교군 [math(O\left(n\right))]의 부분군이다. 점군은 직교행렬의 집합으로 표현될 수 있다.

기하학, 대수학 등 수학 뿐만 아니라, 화학, 응집물질물리학에서도 물질의 대칭성을 표시할 때 주로 사용된다.

2. 설명

쉽게 설명해, 점군은 임의의 기하학적 대상이 회전이나 반사 등의 조작에 대해, 어떤 대칭을 가지는지에 대한 서술이다.

기하학적 대상에 대해 가능한 조작은 다음과 같다.
차원 조작 기호 설명
0차원 이상 동등 조작(identity) [math(E)] 아무런 조작도 가하지 않는다.[1]
1차원 이상 반사(reflection) [math(\sigma)] 특정한 경계면[2]을 기준으로 대칭시킨다.[3]
반전(inversion) [math(i)] 특정한 점을 기준으로 대칭시킨다. (점대칭)
2차원 이상 회전(rotation) [math(C_n)] 특정한 축을 기준으로 (360/n)º회전시킨다.
3차원 이상 회전반사(Improper rotation) [math(S_n)] 특정한 축을 기준으로 (360/n)º 회전시킨 후, 해당 축에 수직인 평면을 기준으로 대칭시킨다.

2.1. 1차원 대칭

직선 위에 있는 점들에 대한 대칭은 C1과 D1 두 가지밖에 없다.
Scn[Scn] 명칭 Int[Int] Cox[Cox] 대칭 차수
C1 동등군(indentity group) n []+ 1
D1 반사군(reflection group) nm [] 2

2.2. 2차원 대칭

평면 위에 있는 점들에 대한 대칭에는 Cn과 Dn이 존재한다. n은 자연수 또는 무한대가 될 수 있다.
Scn[Scn] 명칭 Int[Int] Cox[Cox] 대칭 차수
Cn 순환군 n [n]+ n
Dn 반사군 nm [n] 2n
단, n은 자연수 또는 무한대.

2.3. 3차원 대칭

여기서부터 이면체 대칭(dihedral symmetry)과 정다면체 대칭(polyhedral symmetry)으로 나뉜다.
분류 Scn[Scn] 명칭 Int[Int] Cox[Cox] 대칭 차수
낮은 차수 대칭[13] C1 동등군 1
Ci 점대칭 2
Cs 면대칭 2
이면체 대칭 C Cn 카이랄 정다면체 대칭 n [n]+ n
Cnh 각기둥 대칭[A] [n+,2] 2n
Cnv 피라미드 대칭 [n] 2n
S S2n gyro-n-gonal group [2n+,2+] 2n
D Dn 이면체 대칭 [n,2]+ 2n
Dnh 각기둥 대칭[A] [n,2] 4n
Dnd 엇각기둥 대칭 [2n,2+] 4n
정다면체 대칭 T T 카이랄 정사면체 대칭 [math(23)] [3,3]+ 12
Td 정사면체 대칭 [math(\overline{4}3m)] [3,3] 24
Th 황철석면체 대칭[16] [math(m\overline{3})] [3,3+] 24
O O 카이랄 정다면체 대칭 [math(432)] [3,4]+ 24
Oh 정팔면체 대칭 [math(m\overline{3}m)] [3,4]+ 48
I I 카이랄 정이십면체 대칭 [math(532)] [3,5]+ 60
Ih 정이십면체 대칭 [math(\overline{53}m)] [3,5] 120

(작성중)

[1] 아무것도 하지 않은 채 그대로 두나, 수학적 완전성을 위해 필요하다. [2] 1차원일 경우 점, 2차원은 경계선, 3차원은 경계면(평면). 이와 같이 n차원 도형은 n-1차원 공간을 경계로 반사시킨다. [3] 이 조작에 대해 대칭을 갖지 않는 성질을 카이랄성(Chirality)이라고 한다. 이는 물리학과 화학은 물론, 특히 약학에서 중요하게 다뤄지는 성질이다. 극단적인 예시로, 약물 분자의 카이랄성 때문에 발생한 탈리도마이드 사건이 있다. [Scn] 숀플리스(Schönflies) 표기법 [Int] 헤르만–모갱(Herrman–Mauguin) 표기법, 또는 국제기호 [Cox] 콕서터(Coxeter) 표기법 [Scn] [Int] [Cox] [Scn] [Int] [Cox] [13] 대칭 요소가 없거나, 하나밖에 없는 점군. [A] Cnh와 Dnh는 둘 다 각기둥 대칭이라고 불리나, 서로 다르다. 같은 n이라면 Dnh가 더 대칭성이 크다. [A] [16] pyritohedral symmetry. 광물 황철석에서 이름을 따왔다.

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