[[대수학|대수학 Algebra ]]
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1. 개요
點 群 / point group점군은 공간에서 어떤 조작에 대해 하나 이상의 고정된 점을 보존하는, 기하학적 대칭의 군(群)을 의미한다. 점군은 모든 차원의 유클리드 공간에서 존재하며, 모든 [math(n)]차원 점군은 직교군 [math({\rm O}(n))]의 부분군이다. 점군은 직교행렬의 집합으로 표현될 수 있다.
기하학, 대수학 등 수학 뿐만 아니라, 화학, 응집물질물리학에서도 물질의 대칭성을 표시할 때 주로 사용된다.
2. 설명
쉽게 설명해, 점군은 임의의 기하학적 대상이 회전이나 반사 등의 조작에 대해, 어떤 대칭을 가지는지에 대한 서술이다.기하학적 대상에 대해 가능한 조작은 다음과 같다.
차원 | 조작 | 기호 | 설명 |
0차원 이상 | 동등 조작(identity) | [math(E)] | 아무런 조작도 가하지 않는다.[1] |
1차원 이상 | 반사(reflection) | [math(\sigma)] | 특정한 경계면[2]을 기준으로 대칭시킨다.[3] |
반전(inversion) | [math(i)] | 특정한 점을 기준으로 대칭시킨다. (점대칭) | |
2차원 이상 | 회전(rotation) | [math(C_n)] | 특정한 축을 기준으로 (360/n)º회전시킨다. |
3차원 이상 | 회전반사(Improper rotation) | [math(S_n)] | 특정한 축을 기준으로 (360/n)º 회전시킨 후, 해당 축에 수직인 평면을 기준으로 대칭시킨다. |
2.1. 1차원 대칭
직선 위에 있는 점들에 대한 대칭은 C1과 D1 두 가지밖에 없다.Scn[Scn] | 명칭 | Int[Int] | Cox[Cox] | 대칭 차수 |
C1 | 동등군(indentity group) | n | []+ | 1 |
D1 | 반사군(reflection group) | nm | [] | 2 |
2.2. 2차원 대칭
평면 위에 있는 점들에 대한 대칭에는 Cn과 Dn이 존재한다. n은 자연수 또는 무한대가 될 수 있다.Scn[Scn] | 명칭 | Int[Int] | Cox[Cox] | 대칭 차수 |
Cn | 순환군 | n | [n]+ | n |
Dn | 반사군 | nm | [n] | 2n |
2.3. 3차원 대칭
여기서부터 이면체 대칭(dihedral symmetry)과 정다면체 대칭(polyhedral symmetry)으로 나뉜다.분류 | Scn[Scn] | 명칭 | Int[Int] | Cox[Cox] | 대칭 차수 | |
낮은 차수 대칭[13] | C1 | 동등군 | 1 | |||
Ci | 점대칭 | 2 | ||||
Cs | 면대칭 | 2 | ||||
이면체 대칭 | C | Cn | 순환 대칭[14] | n | [n]+ | n |
Cnh | 각기둥 대칭[A] | [n+,2] | 2n | |||
Cnv | 피라미드 대칭 | [n] | 2n | |||
S[16] | S2n | gyro-n-gonal group | [2n+,2+] | 2n | ||
D | Dn | 이면체 대칭 | [n,2]+ | 2n | ||
Dnh | 각기둥 대칭[A] | [n,2] | 4n | |||
Dnd | 엇각기둥 대칭 | [2n,2+] | 4n | |||
정다면체 대칭 | T | T | 카이랄 정사면체 대칭 | [math(23)] | [3,3]+ | 12 |
Td | 정사면체 대칭 | [math(\overline{4}3m)] | [3,3] | 24 | ||
Th | 황철석면체 대칭[18] | [math(m\overline{3})] | [3,3+] | 24 | ||
O | O | 카이랄 정다면체 대칭 | [math(432)] | [3,4]+ | 24 | |
Oh | 정팔면체 대칭 | [math(m\overline{3}m)] | [3,4]+ | 48 | ||
I | I | 카이랄 정이십면체 대칭 | [math(532)] | [3,5]+ | 60 | |
Ih | 정이십면체 대칭 | [math(\overline{53}m)] | [3,5] | 120 |
2.4. 4차원 대칭
4차원 이상의 회전은 복잡한 특징을 가진다. 2차원 또는 3차원 회전의 경우, 회전면[19]이 하나지만, 4차원 이상의 회전의 경우 둘 이상의 회전면을 가질 수 있기 때문이다.인간이 통상 3차원 공간에 살기 때문에 회전이라는 것을 '회전축을 중심으로 도는 것'으로 생각할 수 있으나, 이것은 3차원에서만 정의되는 것이며, 모든 차원에 적용되는 회전의 정의는 회전면에서 벌어지는 변환으로 이해해야 한다. 단편적으로, 만약 회전축을 중심으로 한 변환이라고 생각할 경우, 4차원 이상에서는 어떤 축에 수직한, 서로 평행하지 않은 평면이 수없이 많으므로 회전이 잘 정의되지 않는다. 따라서 4차원 이상의 회전은 회전축이 아닌 여러 개의 회전면의 개념으로 이해한다.
어떤 하나의 회전면을 기준으로 회전하는 심플 로테이션, 그리고 서로 수직한 두 방향으로 회전하는, 더블 로테이션(double rotation)으로 나뉜다. 더블 로테이션의 대칭은 듀오프리즘으로 대표될 수 있다.
이에 따라 4차원의 군은 크게 네 종류의 콕서터 군과 그 부분군으로 분류된다. 콕서터 군은 대합 대칭군 5종, 4차원 정다포체 대칭군 5종, 정다면체 기둥 대칭군 3종, 그리고 무수히 많은 듀오프리즘 대칭군으로 이루어진다.
4차원 점군 | ||||
분류 | 콕서터 군 | 관련 다면체 | Cox[Cox] | 위수 |
4차원 정다포체 대칭 (5종) |
A4 | 정오포체 | [3,3,3] | 120 |
D4 | 반정팔포체 | [31,1,1] | 192 | |
B4 |
정십육포체 정팔포체 |
[4,3,3] | 384 | |
F4 | 정이십사포체 | [3,4,3] | 1152 | |
H4 |
정육백포체 정백이십포체 |
[5,3,3] | 14400 | |
자기동형 정다포체 대칭 |
Aut(A4) | \[[3,3,3\]] | 240 | |
Aut(F4) | \[[3,4,3\]] | 2304 | ||
정다면체 기둥 대칭 (3종) |
A3A1 | 정사면체 기둥 대칭 | [3,3]×[] | 48 |
B3A1 | 정팔면체 기둥 대칭 | [4,3]×[] | 96 | |
H3A1 | 정이십면체 기둥 대칭 | [5,3]×[] | 240 | |
듀오프리즘 대칭 |
I2(p)I2(q) | 듀오프리즘 대칭 | [p]×[q] = [p,2,q] | 4pq |
대합 점군 (5종) |
대칭 없음 | []+ | 1 | |
반사 대칭 | [] | 2 | ||
2-fold 회전 대칭 | [2+] | 2 | ||
2-fold 더블 로테이션 대칭 | [2+, 2+] | 2 | ||
점대칭 | [2+, 2+, 2+] | 2 |
2.5. 일반화
유클리드 점군은 아래의 콕서터 군에 해당하거나, 이들 사이의 연산을 이용해 만들 수 있다.고전군 (Classical Groups) | ||||
콕서터 군 | 관련 대칭 | Cox[Cox] | 대칭 차수 | |
A | A2 | 정삼각형 | [3] | 6 |
A3 | 정사면체 | [3,3] | 24 | |
A4 | 정오포체 | [3,3,3] | 120 | |
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | |
An | 단체 | [3n-1] | [math(\left(n+1\right)!)] | |
BC | BC2 | 정사각형 | [4] | 8 |
BC3 |
정육면체 정팔면체 |
[4,3] | 48 | |
BC4 |
정팔포체 정십육포체 |
[4,3,3] | 384 | |
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | |
BCn |
초입방체 정축체 |
[4,3n-2] | [math(2^nn!)] | |
D | D3=A3 | 정사면체 | [3,3] | 24 |
D4 |
교대로 색칠된 정십육포체[22] |
[31,1,1] | 192 | |
D5 |
5-반초입방체 교대로 색칠된 5-정축체 |
[32,1,1] | 1920 | |
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | |
Dn |
반초입방체 교대로 색칠된 정축체 |
[3n-3,1,1] | [math(2^{n-1}n!)] |
예외적 군 (Exceptional Groups) | ||||
콕서터 군 | 관련 대칭 | Cox[Cox] | 대칭 차수 | |
I2(p) | 정다각형 | [p] | [math(2p)] | |
G2 | 정육각형 | [6] | 12 | |
H | H2 | 정오각형 | [5] | 10 |
H3 |
정십이면체 정이십면체 |
[5,3] | 120 | |
H4 |
정백이십포체 정육백포체 |
[5,3,3] | 14400 | |
F4 | 정이십사포체 | [3,4,3] | 1156 | |
E | E5=D5 | 5-반초입방체 | [31,2,1] | 1920 |
E6 | 221, 122 | [32,2,1] | 51840 | |
E7 | 321, 231, 132 | [33,2,1] | 2903040 | |
E8 | 421, 241, 142 | [34,2,1] | 696729600 |
다음의 점군은 서로 같다.
- 평면 대칭 점군: 모든 정다각형의 대칭은 I2(p)로 나타낼 수 있다.
- A2 = I2(3)
- BC2 = I2(4)
- H2 = I2(5)
- G2 = I2(6)
- 반초입방체 점군: 반초입방체의 콕서터 표기법([3n-3,1,1])을 바탕으로 계산하면 서로 동일함을 알 수 있다.
- D3 = A3 ([30,1,1] = [3,3])
- E5 = D5 ([31,2,1] = [32,1,1])
[1]
아무것도 하지 않은 채 그대로 두나, 수학적 완전성을 위해 필요하다.
[2]
1차원일 경우 점, 2차원은 경계선, 3차원은 경계면(평면). 이와 같이 n차원 도형은 n-1차원 공간을 경계로 반사시킨다.
[3]
이 조작에 대해 대칭을 갖지 않는 성질을 카이랄성(chirality)이라고 한다. 이는
물리학과
화학은 물론, 특히
약학에서 중요하게 다뤄지는 성질이다. 극단적인 예시로, 약물
분자의 카이랄성 때문에 발생한
탈리도마이드 사건이 있다.
[Scn]
숀플리스(Schönflies) 표기법
[Int]
헤르만-모갱(Herrman-Mauguin) 표기법, 또는 국제기호
[Cox]
콕서터(Coxeter) 표기법
[Scn]
[Int]
[Cox]
[Scn]
[Int]
[Cox]
[13]
대칭 요소가 없거나, 하나밖에 없는 점군.
[14]
cyclic symmetry
[A]
Cnh와 Dnh는 둘 다 각기둥 대칭이라고 불리나, 서로 다르다. 같은 n이라면 적도에 수직한 면대칭이 있는 Dnh가 더 대칭성이 2배 크다.
[16]
독일어로
거울을 뜻하는 Spiegel(슈피겔)에서 따왔다.
[A]
[18]
pyritohedral symmetry. 광물
황철석에서 이름을 따왔다.
[19]
회전축에 수직한 평면
[Cox]
[Cox]
[22]
셀이 서로 구분되지 않는 정십육포체의 절반의 대칭성을 가졌다.
[Cox]