점군

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1. 개요2. 설명

2.1. 1차원 대칭2.2. 2차원 대칭2.3. 3차원 대칭2.4. 4차원 대칭2.5. 일반화

1. 개요

點群 / point group

점군은 공간에서 어떤 조작에 대해 하나 이상의 고정된 점을 보존하는, 기하학적 대칭의 군(群)을 의미한다. 점군은 모든 차원의 유클리드 공간에서 존재하며, 모든 [math(n)]차원 점군은 직교군 [math({\rm O}(n))]의 부분군이다. 점군은 직교행렬의 집합으로 표현될 수 있다.

기하학, 대수학 등 수학 뿐만 아니라, 화학, 응집물질물리학에서도 물질의 대칭성을 표시할 때 주로 사용된다.

2. 설명

쉽게 설명해, 점군은 임의의 기하학적 대상이 회전이나 반사 등의 조작에 대해, 어떤 대칭을 가지는지에 대한 서술이다.

기하학적 대상에 대해 가능한 조작은 다음과 같다.

차원	조작	기호	설명
0차원 이상	동등 조작(identity)	[math(E)]	아무런 조작도 가하지 않는다.[1]
1차원 이상	반사(reflection)	[math(\sigma)]	특정한 경계면[2]을 기준으로 대칭시킨다.[3]
1차원 이상	반전(inversion)	[math(i)]	특정한 점을 기준으로 대칭시킨다. (점대칭)
2차원 이상	회전(rotation)	[math(C_n)]	특정한 축을 기준으로 (360/n)º회전시킨다.
3차원 이상	회전반사(Improper rotation)	[math(S_n)]	특정한 축을 기준으로 (360/n)º 회전시킨 후, 해당 축에 수직인 평면을 기준으로 대칭시킨다.

2.1. 1차원 대칭

직선 위에 있는 점들에 대한 대칭은 C₁과 D₁ 두 가지밖에 없다.

Scn[Scn]	명칭	Int[Int]	Cox[Cox]	대칭 차수
C₁	동등군(indentity group)	n	[]⁺	1
D₁	반사군(reflection group)	nm	[]	2

2.2. 2차원 대칭

평면 위에 있는 점들에 대한 대칭에는 C_n과 D_n이 존재한다. n은 자연수 또는 무한대가 될 수 있다.

Scn[Scn]	명칭	Int[Int]	Cox[Cox]	대칭 차수
C_n	순환군	n	[n]⁺	n
D_n	반사군	nm	[n]	2n

단, n은 자연수 또는 무한대.

2.3. 3차원 대칭

여기서부터 이면체 대칭(dihedral symmetry)과 정다면체 대칭(polyhedral symmetry)으로 나뉜다.

분류		Scn[Scn]	명칭	Int[Int]	Cox[Cox]	대칭 차수
낮은 차수 대칭[13]		C₁	동등군			1
		C_i	점대칭			2
		C_s	면대칭			2
이면체 대칭	C	C_n	순환 대칭[14]	n	[n]⁺	n
		C_nh	각기둥 대칭[A]		[n⁺,2]	2n
		C_nv	피라미드 대칭		[n]	2n
	S[16]	S_2n	gyro-n-gonal group		[2n⁺,2⁺]	2n
	D	D_n	이면체 대칭		[n,2]⁺	2n
		D_nh	각기둥 대칭[A]		[n,2]	4n
		D_nd	엇각기둥 대칭		[2n,2⁺]	4n
정다면체 대칭	T	T	카이랄 정사면체 대칭	[math(23)]	[3,3]⁺	12
		T_d	정사면체 대칭	[math(\overline{4}3m)]	[3,3]	24
		T_h	황철석면체 대칭[18]	[math(m\overline{3})]	[3,3⁺]	24
	O	O	카이랄 정다면체 대칭	[math(432)]	[3,4]⁺	24
	O	O_h	정팔면체 대칭	[math(m\overline{3}m)]	[3,4]⁺	48
	I	I	카이랄 정이십면체 대칭	[math(532)]	[3,5]⁺	60
	I	I_h	정이십면체 대칭	[math(\overline{53}m)]	[3,5]	120

2.4. 4차원 대칭

4차원 이상의 회전은 복잡한 특징을 가진다. 2차원 또는 3차원 회전의 경우, 회전면[19]이 하나지만, 4차원 이상의 회전의 경우 둘 이상의 회전면을 가질 수 있기 때문이다.

인간이 통상 3차원 공간에 살기 때문에 회전이라는 것을 '회전축을 중심으로 도는 것'으로 생각할 수 있으나, 이것은 3차원에서만 정의되는 것이며, 모든 차원에 적용되는 회전의 정의는 회전면에서 벌어지는 변환으로 이해해야 한다. 단편적으로, 만약 회전축을 중심으로 한 변환이라고 생각할 경우, 4차원 이상에서는 어떤 축에 수직한, 서로 평행하지 않은 평면이 수없이 많으므로 회전이 잘 정의되지 않는다. 따라서 4차원 이상의 회전은 회전축이 아닌 여러 개의 회전면의 개념으로 이해한다.

어떤 하나의 회전면을 기준으로 회전하는 심플 로테이션, 그리고 서로 수직한 두 방향으로 회전하는, 더블 로테이션(double rotation)으로 나뉜다. 더블 로테이션의 대칭은 듀오프리즘으로 대표될 수 있다.

이에 따라 4차원의 군은 크게 네 종류의 콕서터 군과 그 부분군으로 분류된다. 콕서터 군은 대합 대칭군 5종, 4차원 정다포체 대칭군 5종, 정다면체 기둥 대칭군 3종, 그리고 무수히 많은 듀오프리즘 대칭군으로 이루어진다.

4차원 점군
분류	콕서터 군	관련 다면체	Cox[Cox]	위수
4차원 정다포체 대칭 (5종)	A₄	정오포체	[3,3,3]	120
	D₄	반정팔포체	[3^1,1,1]	192
	B₄	정십육포체 정팔포체	[4,3,3]	384
	F₄	정이십사포체	[3,4,3]	1152
	H₄	정육백포체 정백이십포체	[5,3,3]	14400
자기동형 정다포체 대칭	Aut(A₄)		\[[3,3,3\]]	240
자기동형 정다포체 대칭	Aut(F₄)		\[[3,4,3\]]	2304
정다면체 기둥 대칭 (3종)	A₃A₁	정사면체 기둥 대칭	[3,3]×[]	48
	B₃A₁	정팔면체 기둥 대칭	[4,3]×[]	96
	H₃A₁	정이십면체 기둥 대칭	[5,3]×[]	240
듀오프리즘 대칭	I₂(p)I₂(q)	듀오프리즘 대칭	[p]×[q] = [p,2,q]	4pq
대합 점군 (5종)	대칭 없음		[]+	1
	반사 대칭		[]	2
	2-fold 회전 대칭		[2⁺]	2
	2-fold 더블 로테이션 대칭		[2⁺, 2⁺]	2
	점대칭		[2⁺, 2⁺, 2⁺]	2

2.5. 일반화

유클리드 점군은 아래의 콕서터 군에 해당하거나, 이들 사이의 연산을 이용해 만들 수 있다.

고전군 (Classical Groups)
콕서터 군		관련 대칭	Cox[Cox]	대칭 차수
A	A₂	정삼각형	[3]	6
	A₃	정사면체	[3,3]	24
	A₄	정오포체	[3,3,3]	120
	⋮	⋮	⋮	⋮
	A_n	단체	[3^n-1]	[math(\left(n+1\right)!)]
BC	BC₂	정사각형	[4]	8
	BC₃	정육면체 정팔면체	[4,3]	48
	BC₄	정팔포체 정십육포체	[4,3,3]	384
	⋮	⋮	⋮	⋮
	BC_n	초입방체 정축체	[4,3^n-2]	[math(2^nn!)]
D	D₃=A₃	정사면체	[3,3]	24
	D₄	교대로 색칠된 정십육포체 [22]	[3^1,1,1]	192
	D₅	5-반초입방체 교대로 색칠된 5-정축체	[3^2,1,1]	1920
	⋮	⋮	⋮	⋮
	D_n	반초입방체 교대로 색칠된 정축체	[3^n-3,1,1]	[math(2^{n-1}n!)]

예외적 군 (Exceptional Groups)
콕서터 군		관련 대칭	Cox[Cox]	대칭 차수
I₂(p)		정다각형	[p]	[math(2p)]
G₂		정육각형	[6]	12
H	H₂	정오각형	[5]	10
	H₃	정십이면체 정이십면체	[5,3]	120
	H₄	정백이십포체 정육백포체	[5,3,3]	14400
F₄		정이십사포체	[3,4,3]	1152
E	E₅=D₅	5-반초입방체	[3^1,2,1]	1920
	E₆	2₂₁, 1₂₂	[3^2,2,1]	51840
	E₇	3₂₁, 2₃₁, 1₃₂	[3^3,2,1]	2903040
	E₈	4₂₁, 2₄₁, 1₄₂	[3^4,2,1]	696729600

다음의 점군은 서로 같다.

평면 대칭 점군: 모든 정다각형의 대칭은 I₂(p)로 나타낼 수 있다.

A₂ = I₂(3)
BC₂ = I₂(4)
H₂ = I₂(5)
G₂ = I₂(6)

반초입방체 점군: 반초입방체의 콕서터 표기법([3^n-3,1,1])을 바탕으로 계산하면 서로 동일함을 알 수 있다.

D₃ = A₃ ([3^0,1,1] = [3,3])
E₅ = D₅ ([3^1,2,1] = [3^2,1,1])

[1] 아무것도 하지 않은 채 그대로 두나, 수학적 완전성을 위해 필요하다. [2] 1차원일 경우 점, 2차원은 경계선, 3차원은 경계면(평면). 이와 같이 n차원 도형은 n-1차원 공간을 경계로 반사시킨다. [3] 이 조작에 대해 대칭을 갖지 않는 성질을 카이랄성(chirality)이라고 한다. 이는 물리학과 화학은 물론, 특히 약학에서 중요하게 다뤄지는 성질이다. 극단적인 예시로, 약물 분자의 카이랄성 때문에 발생한 탈리도마이드 사건이 있다. [Scn] 숀플리스(Schönflies) 표기법 [Int] 헤르만-모갱(Herrman-Mauguin) 표기법, 또는 국제기호 [Cox] 콕서터(Coxeter) 표기법 [Scn] [Int] [Cox] [Scn] [Int] [Cox] [13] 대칭 요소가 없거나, 하나밖에 없는 점군. [14] cyclic symmetry [A] C_nh와 D_nh는 둘 다 각기둥 대칭이라고 불리나, 서로 다르다. 같은 n이라면 적도에 수직한 면대칭이 있는 D_nh가 더 대칭성이 2배 크다. [16] 독일어로 거울을 뜻하는 Spiegel(슈피겔)에서 따왔다. [A] [18] pyritohedral symmetry. 광물 황철석에서 이름을 따왔다. [19] 회전축에 수직한 평면 [Cox] [Cox] [22] 셀이 서로 구분되지 않는 정십육포체의 절반의 대칭성을 가졌다. [Cox]