최근 수정 시각 : 2024-05-23 19:19:44

대수


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1. (대사)에서 온 귀화어

대단한것, 최상의 일, 자주 하는 일. 또는 주로 하는 일을 뜻하는 단어. 예) 그까짓게 대수냐?

2. [1]

수 체계
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사원수 [math(mathbb H)] · 팔원수 [math(mathbb O)]
↑ 확장 ↑
복소수 [math(mathbb C)]
대수적 폐포, 행렬 표현, 순서쌍 구성 등 ↑ [[허수|허수 [math(\mathbb{C}]]
실수 [math(mathbb R)]
완비화, 데데킨트 절단 등 ↑ 무리수 [math(mathbb{R} setminus mathbb{Q})]
유리수 [math(mathbb Q)]
곱셈의 역원 정수가 아닌 유리수 [math(\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z})]
정수 [math(mathbb Z)]
덧셈의 역원 음의 정수 [math(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N})]
범자연수 [math(mathbb N_0)]
↑ 자연수의 집합론적 구성 ↑
[math(0)]
소수 [math(\mathbb P)] · 초실수 [math(\mathbb R^{\ast})] · 대수적 수 [math(\mathbb A)]( 대수적 무리수 [math(\mathbb{A}\cap(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}))]) · 초월수 [math(\complement {\mathbb A})] · 벡터 공간 [math(\mathbb V)] }}}}}}}}}

[[대수학|대수학
Algebra
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이론
기본 대상 연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( 풀이 · ( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술)
수 체계 자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요 토픽
대수적 구조
군(group) 대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
환(ring) 아이디얼
체(field) 갈루아 이론 · 분해체
대수 가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타)
마그마· 반군· 모노이드 자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학 벡터 · 행렬 · 텐서( 텐서곱) · 벡터 공간( 선형사상) · 가군(module) · 내적 공간( 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자)
정리·추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결
관련 하위 분야
범주론 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론
대수 위상수학 연속변형성 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학( 호몰로지 · 코호몰로지) · mapping class group · 닐센-서스턴 분류
대수기하학 대수다양체 · · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브
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기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재 }}}}}}}}}


대수학에서 주로 다루는 수이다. 대수적 수(algebraic number)라고도 한다. '대수학적인 방정식'의 근이 되는 수들을 대수라고 한다. 반대로 그 어떤 대수학적인 방정식의 근도 되지 않는 수를 초월수라고 한다. 다시 말하면, 정수 계수로만 이루어진 유한 차수 다항식의 근이 되는 수이다.

임의의 유리수 [math(\displaystyle \frac ba)](단, [math(a)]와 [math(b)]는 정수)는 일차방정식 [math(ax = b)]의 근이 되기 때문에 모든 유리수는 대수적 수이다.

실수부터는 대수적 수와 대수적 수가 아닌 수( 초월수)로 나뉜다. 대수적 수 중 무리수의 예시는 [math(\sqrt2)]가 있는데, 이 수는 [math(x^2=2)]의 근이 되기 때문이다. 반대로 예를 들어 원주율 [math(\pi)] 같은 수는 대수적 수가 아니고 초월수이다. 참고로 대수적 수인 무리수들은 무한히 많은데, 초월수인 무리수는 대수적 수보다 더 많다.[2]

대수적 수와 초월수의 개념은 복소수 범위까지 넘어간다. 예를 들어 [math(i)]는 허수이지만 [math(i^2=-1)], 즉 [math(x^2=-1)]의 근이므로 [math(i)]는 대수적 수이다.

집합 기호로는 종종 [math(\mathbb A)]로 표기하기도 하지만, 널리 사용되는 표기는 아니다.

2.1. 대수 구조

대수 구조(algebraic structure)는 추상대수학에서 다루는 특정 조건을 만족시키는 구조를 일컫는 말이다. 곧 , , , 모노이드, 가군 같은 온갖 대수학적 구조를 모두 일반화시켜 가리키는 말.

대수구조의 형식화는 먼저 어떤 집합을 놓고 그 집합 위에 연산을 정의한 다음 이것이 특정 공리들을 만족한다고 정의하는 식으로 이루어진다.

예시) 집합 G와 그 위의 이항연산 x를 정의하여 구조 (G, x)를 구성하는데, 이때 이 구조가 3가지 공리, 곧 "결합법칙의 만족, 항등원의 존재, 역원의 존재"를 모두 만족한다고 하자.[3] 그러면 이 구조는 (group)이 된다.
예시) 집합 R과 그 위의 이항연산 +를 정의하여 구조 (R, +)를 구성하는데, 이때 이 구조가 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재함을 모두 만족한다 하자. 그러면 이 구조는 (ring)이 된다.

당연히 도메인이 되는 기초 집합이 다르면 구조는 종류가 같더라도 엄밀히 서로 다른 세부적 특성을 가질 수 있다. 예를 들어 체가 유리수 집합에서 이뤄지느냐, 실수집합에서 이뤄지느냐, 복소수 집합에서 이뤄지느냐에 따라 각각 유리수체, 실수체, 복소수체로 나눌 수 있다.

2.2. 체 위의 대수

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 대수(대수 구조) 문서
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3. , logarithm

로그(log)의 한자식 표현이다. 로그에 대해서는 해당 문서 참조.

4. , sash

훈장을 패용할 때 어깨에서 허리에 걸쳐 드리우는 끈(綬) 주로 1등급 훈장의 정장에 쓰인다.

5.

조선시대에 사용했던 화려한 머리장식. 주로 사극에서 적의를 입은 중전의 머리모양으로 흔히 볼 수 있다. 중국 등에서 볼 수 없는 독특한 조선만의 고유 문화이다.

대수가 등장하게 된 경위는 이렇다. 명나라가 멸망하자 조선에서는 왕비의 혼례, 책봉 등 나라의 큰 행사으로 받았던 군왕비용 복식과 관을 더이상 받을 수 없게 되었다. 따라서 복식은 직접 대명회전에 의거하여 황태자비의 복식에 따라 화려하게 만들게 되지만, 관은 직접 만들 수 있는 사람이 없었다. 따라서 전례를 참고해서 가체와 금비녀 등을 이용해 관을 대체할 화려한 머리장식을 만들게 된다. 적의도 처음에는 고려시대 적의를 그대로 사용하다가 조선 중기때 와서 붉은 적의(치적의)로 바뀌었고 조선 말 대한제국 시기에는 고려 적의와 비슷한 꿩을 수놓은 파란 적의로 바뀌었다. 이 파란 적의는 순정효황후 영친왕비만이 입었다.

6.

수나라 참조.


[1] "일정한 시간을 센 수효"도 대수(代數)이다. 대수학의 대수는 \[대:수\], 수효를 뜻하는 대수는 \[대:쑤\]로 서로 발음이 다르다. 이때의 발음상 차이는 사잇소리로 부르지만, 6개 단어를 제외한 한자어는 모두 사잇소리가 표기로 반영되지 않으므로 사이시옷이 있다고 할 수는 없다. [2] 무리수 중 대수적 수의 집합은 그 크기가 양의 유리수와 같고, 무리수 중 초월수의 집합은 그 크기가 실수와 같다. [3] 즉 집합 G 위에서 이항연산 x를 시행할 때 위의 공리가 항상 성립하게 된다는 얘기다.