최근 수정 시각 : 2021-06-13 11:07:50

볼테라 함수


해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#8f76d6> 함수 합성 · 항등원 · 역원 · 멱함수( 비례·반비례 ) · 초등함수( 대수함수 · 초월함수) · 특수함수 · 범함수 · 다변수 ( 동차 · 숨은 함수( 다가 함수 )) · 그래프 · 대칭 · 증감표 · 극값 · 연속 · 매끄러움 · 계단형 · 미끄럼틀형 · 볼록/오목 · 닮은꼴 함수 · 병리적 함수 · 해석적 연속 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수
정리 · 토픽 좌표계 · 중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 오일러 동차함수 정리 · 립시츠 규칙
극한 부정형 · 어림( 유효숫자 ) · 근방 · 수열의 극한 · 엡실론-델타 논법 · 수렴 ( 균등수렴 ) · 발산 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 스털링 근사
정리 · 토픽 로피탈의 정리 · 슈톨츠-체사로 정리
수열
· 급수
규칙과 대응 · 단조 수렴 정리 · 멱급수 · 테일러 급수 ( 일람 ) · 조화급수 · 그란디 급수 · 망원급수 ( 부분분수분해 ) · 오일러 수열 · 베르누이 수열 · 파울하버의 공식 · 리만 재배열 정리
정리 · 토픽 바젤 문제 · 라마누잔합 · 0.999…=1 · 콜라츠 추측미해결
미분 도함수 일람 · 차분 · 유율법 · 변화량 · 변분법 · 도함수 ( 편도함수 ) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 역함수 정리 · 임계점 ( 변곡점 · 안장점 ) · 미분형식 · 미분방정식 ( 풀이 ) · [math(boldsymbolnabla)] · 라그랑주 승수법
정리 · 토픽 평균값 정리 ( 롤의 정리 ) · 스토크스 정리 ( 발산 정리 ) · 라플라스 변환 · 푸리에 해석 ( 푸리에 변환 ) · 아다마르 변환
적분 역도함수 일람 · 부분적분 ( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제 ) · 치환적분 · 정적분 ( 예제 ) · 이상적분 · 중적분 ( 선적분 · 면적분 ) · 르베그 적분 · 스틸체스 적분 · 코시 주요값
정리 · 토픽 미적분의 기본정리 · 2학년의 꿈 · 리시 방법 · 야코비안
실해석 측도론 ( 측도 · 르베그 측도 ) · 유계( 콤팩트성 ) · 칸토어 집합 · 비탈리 집합
정리 · 토픽
복소해석 복소평면 · 편각 · 코시-리만 방정식
정리 · 토픽 오일러 공식 ( 드 무아브르 공식 ) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
여타 하위 학문 수치해석학 ( FEM ) · 미분기하학 · 해석기하학 · 해석적 정수론 ( 소수 정리 ) · 확률론 ( 중심극한정리 )
기타 뉴턴-랩슨 방법 · 디랙 델타 함수 · 리만 가설미해결 · 카오스 이론미해결 · merry=x-mas
응용 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학 }}}}}}}}}}}}

삼각함수 · 쌍곡선함수
Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all"
기본 개념 삼각형 · 삼각비 · · 쌍곡선
삼각함수 사인곡선( 위상수학자의 사인곡선) · 역함수 · 도함수 · 역도함수 · 관련 함수 · 삼각함수의 덧셈정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리 · 오일러 공식 · 푸리에 해석( 푸리에 변환) · 삼각 적분 함수 · 구데르만 함수 · 프레넬 적분 함수 · 디리클레 함수 · 볼테라 함수 · 에어리 함수 · 야코비 타원 함수
쌍곡선함수 현수선 · 쌍곡선 적분 함수 · 구데르만 함수 }}}}}}}}}

1. 개요2. 정의
2.1. 설명
3. 성질

1. 개요

볼테라 함수(Volterra's function)는 [0,1][0,1]위에서 정의된 병리적 함수의 일종으로, 리만 적분이 불가능한 유계 도함수를 갖는, 미분 가능한 함수의 예이다. 이러한 함수가 존재 함에도 미적분의 기본정리가 참인 이유는, 미적분의 기본정리에 연속 함수라는 조건이 달려있기 때문이다.

2. 정의

CC를 아래와 같이 정의된 뚱뚱한 칸토어 집합이라고 하자.
* C1=[0,38][58,1]C_{1}=\left[0,\dfrac{3}{8}\right]\cup\left[\dfrac{5}{8},1\right]
* Cn=k=12n[ak,bk]C_{n}=\cup_{k=1}^{2^{n}}[a_k,b_{k}]일 때, Cn+1=k=12n([ak,ak+bk2122n+3][ak+bk2+122n+3,bk])C_{n+1}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{n}}\left(\left[a_{k},\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}-\dfrac{1}{2^{2n+3}}\right]\cup\left[\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}+\dfrac{1}{2^{2n+3}},b_{k}\right]\right)
* C=n=1CnC=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}C_{n}
이 때, [0,1]C[0,1]-C가 열린집합이므로 서로소 열린구간열{Ik}kN\{I_{k}\}_{k\in\mathbb{N}}의 합집합으로 나타낼 수 있다. Ik=(α,β)I_{k}=\left(\alpha,\beta\right)라고 하고, 함수 Vk:IkRV_{k}:I_{k}\to\mathbb{R}를 아래와 같이 정의하자.
파일:볼테라 함수의 조각.png
V_{k}</math>의 그래프. 위 그래프를 [0,1]Cc[0,1]\cap C^{c} 위에 적절하게 크기를 조절해서 무한히 복붙하면 볼테라 함수에 점점 가까워진다.
Vk(x)={(xα)2sin1xα,α<xm1(m1α)2sin1m1α,m1xm2(βx)2sin1βx,m2x<βV_{k}(x)=\begin{cases}(x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha}, & \alpha<x\leq m_{1} \\ (m_{1}-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{m_{1}-\alpha}, & m_{1}\leq x\leq m_{2} \\ (\beta-x)^{2}\sin\dfrac{1}{\beta-x}, & m_{2} \leq x < \beta \end{cases}
(단, m1m_{1}(xα)2sin1xα(x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha}가 구간(α,α+β2)(\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2}) 위에서 극댓값인 xx 중에서 가장 큰 값이고, m2m_{2}(βx)2sin1βx(\beta-x)^{2}\sin\dfrac{1}{\beta-x}가 구간 (α+β2,β)(\frac{\alpha+\beta}{2},\beta) 위에서 극댓값인 xx 중에서 가장 작은 값.[1])[2]

최종적으로, 볼테라 함수 V:[0,1]RV:[0,1]\to\mathbb{R}은 아래와 같이 정의되는 함수이다.
V(x)={Vk(x),xIk,kN0,xCV(x)=\begin{cases}V_{k}(x), & x\in I_{k},\:k\in\mathbb{N}\\ 0, & x\in C \end{cases}

2.1. 설명

함수 f(x)={x2sin1x,x00,x=0f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\ 0,&x=0\end{cases}를 생각해보자. 이 함수는 구간 (,0)(-\infty,0)(0,)(0,\infty) 위에서는 초등함수의 사칙연산과 합성으로 이루어진 함수이므로 미분의 일반적인 성질에 의해
f(x)=2xsin1xcos1xf'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}
로 구할수 있다. x=0x=0일 때는, 다음과 같이 미분계수의 정의를 이용해서,
limx0x2sin1x0x0=0\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{2}\sin\dfrac{1}{x}-0}{x-0}=0
이 된다는 것을 알 수 있다. 즉,
f(x)={2xsin1xcos1x,x00,x=0f'(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\0,&x=0 \end{cases}.
위의 f(x)f'(x)는 특이하게도 어떤 함수의 도함수인데도 불연속인 함수이다. 그런데, 이 함수는 한 점만 불연속이므로, 리만적분 가능하다. 즉, 우리의 목표 중 하나인 리만적분 불가능을 달성할 정도로 특이하진 않다는것.

유계 함수에 대해, 리만적분 가능성과 동치인 조건은 함수가 '거의 모든 점'에서 연속이란 것이다.[3] 여기서 '거의 모든 점'에서 연속이란 것은, 불연속 점의 르베그 측도[4]가 0이란 것이다. 르베그 측도가 0인 집합으로는 대표적으로 가산집합이 있다.[5] 그래서, 리만적분이 불가능한 유계 함수를 만드려면, 불연속 점을 자연수의 갯수보다는 훨씬 많이 심어야 한다.

그런데, 놀랍게도 다음의 특성을 갖는 집합이 있다.
  1. 르베그 측도가 0이 아니다.
  2. 집합 내의 임의의 두 점을 잡았을 때, 그 두 점의 사이에 들어오면서도, 그 집합과는 서로소인 열린구간이 항상 존재한다.
  3. 닫혀있다.

SVC 집합(SVC set; Smith-Volterra-Cantor set) 또는 뚱뚱한 칸토어 집합(fat Cantor set)이라고 부르는 집합인데, 칸토어 집합의 변형으로, 프랑스의 수학자, 앙리 스미스가 1875년에, 이탈리아의 수학자, 비토 볼테라가 1881년에 도입한 개념이다. 1.에 따라서, 함수가 SVC 집합의 모든 점에서 불연속이면, 리만적분 불가능하다. 3.에 의해서 SVC 집합의 여집합을 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 그래서, 위에서 정의한 f(x)f(x)를 변형한 함수를 SVC 집합의 여집합을 구성하는 열린구간마다, 도함수가 불연속인 점이 SVC 집합에 놓이도록 적절히 심어 놓으면, 미분가능하면서도 도함수는 리만적분 불가능한, 아주 괴상한 함수를 만들어낼 수 있는 것이다.

3. 성질

VV[0,1][0,1] 위에서 미분 가능하고, 도함수 VV^{\prime}CC 위의 모든 점에서 불연속이라는 사실을 쉽게 유도할 수 있다. 그런데 CC 르베그 측도가 0보다 크므로 VV^{\prime}은 리만적분 불가능하다.
[1] 두 함수가 x=α+β2x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}에 대해 서로 좌우 반전 되어있으므로, 두 극댓값은 같다. [2] [math(\alpha,\:\beta,\:m_{1},\:m_{2})] 등은 [math(k)]의 값에 따라서 결정되는 값이지만, 이를 일일히 나타낼 경우 표기가 복잡해지므로 생략하였다. [3] 이를 리만-르베그 정리, 리만적분 가능성에 대한 르베그 판정법 등으로 부른다. [4] 집합의 모든 원소를 수직선에 늘여놓았을 때의 길이라고 생각하면 된다. [5] 예를 들어서, 가우스 함수는 리만적분 가능하다.