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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
線 型 代 數 學 / Linear Algebra덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형 변환[1]에 관한 대수학.
2. 상세
선형대수학의 벡터는 2차원이나 3차원에 그릴 수 있는 직관적인 벡터뿐만이 아니라, 덧셈/뺄셈과 실수배(혹은 복소수배)가 가능한 추상적인 대상들로 정의된다. 우리가 잘 알고 있는 2차원 공간과 3차원 공간의 핵심 성질을 덧셈과 상수곱이라는 두 연산으로 기술하고, 이를 추려 추상화 및 일반화를 시도하는 것. 예를 들어 n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수상수곱을 주면[2] 이는 "[math(n)]차원" 벡터공간이라 할 수 있고, 이를 [math(\mathbb{R}^{n})] 이라 한다. 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상이라 하는데, 그 정체는 행렬이다.[3][4]어떻게 생각하면 선형대수학은 고교 과정인 기하와 벡터(2007 개정 교육과정)의 '행렬'과 '벡터'를 일반화시켜 어렵게 배우는 것"이라고도 볼 수도 있다.[5] 벡터공간의 구조만을 본다면 그다지 복잡하지 않은 것은 사실이다.[6] 하지만 선형사상으로 넘어간다면 그 성질은 놀랍게 풍부해지고, 군론이나 표현론의 영역까지 들어갈 정도로 수준이 높아지면 우주를 비롯한 모든 자연의 신비를 연구하는 수준이 되어버린다. 녹록하지만은 않은 과목이다.
선형대수의 진가 중 하나는 거의 모든 수학과목의 토대가 되는 범용성이다. 미적분학에선 변수가 조금만 많아져도 선형대수학이 튀어나오고, 기하학에선 거의 모든 공간을 국소적으로 선형대수학의 [math(\mathbb{R}^{n})]이나 [math(\mathbb{C}^{n})]으로 근사시켜 연구한다. 함수들을 벡터로[7] 생각한다는 사고방식은 미분방정식의 이론과 풀이의 해석으로 발전한다. 물리적 상태들을 고차원 추상적 벡터로 나타내고, 이들의 선형적 중첩을 생각하는 양자역학의 기초가 되는 것은 당연. 선형대수는 수학 기호 중 선형대수에만 특화되어 등장하는 기호들이 많은 것 또한 큰 특징인데, 여태 서술된 것과 같이 선형대수의 범용성이 그야말로 거대하기 때문에 선형대수학을 모르면 어느 시점부터는 아예 각종 수식을 읽는 것 자체가 불가능해진다. 이런 점에서 보면 초등수학에서의 숫자의 위치를 대학수학에서는 선형대수학이 차지하고 있다고 봐도 과언이 아니다.
자연과학 이외 분야에서도 등장하는데, 경제학의 통계에서 복합적 자료들을 다루는 데 필수로 쓰이고, 심지어 이산적인 대상을 다루는 암호학이나 부호이론에도 매우 중요하게 쓰이는 도구이다. 대표적으로 비트연산을 이해할 때 계수가 [math(\mathbb{Z}_2)]인 다항식들의 집합으로 보는데. 해당 집합은 이진수체에서의 덧셈과 스칼라배가 잘 정의되는 벡터공간이 된다.
계산 노가다가 어느정도 있는 편이다. 숫자를 뭉텅이로 묶어서 계산하게 되기 때문. 또한 고등학교에서의 기하와 벡터 같은 과목에서 접한 화살표 벡터 표기법과 달리 볼드체로 벡터를 쓰는 데에도 익숙해지지 못하는 학생들이 숱하다. 힐베르트 공간으로 가면 화살표와 볼드체로부터 해방되어 한결 홀가분해지지만, 힐베르트 공간에 대해 심도 있게 다루는 고학년이 되면 추상대수학, 위상수학에서 별별 터무니없는 캘리그라피(...)들을 보며 차라리 볼드체가 편했다는 쓴웃음이 지어지는 점은 큰 아이러니가 아닐 수 없다.
선형대수학은 수학과 전공과목들 중에서 미분방정식과 함께 응용의 범위가 굉장히 넓은 전공과목이다.
3. 역사
역사적으로는 선형대수학은 연립방정식을 연구하는 과정에서 탄생했다.[8] 연립방정식의 계수로 이루어진 특정 식이 해의 존재성에 영향을 끼치는 것[9]을 알아낸 아서 케일리와 윌리엄 로원 해밀턴이 계수만 따로 떼어 격자 형태로 만들었고 여기서 행렬이 탄생하게 됐다.또한 해밀턴은 사원수라는 것을 만들었는데, 여기서 실수부를 스칼라, 3개의 허수부를 벡터, 관련 연산을 내적과 외적으로 칭했는데 오늘날에는 사원수와는 별개의 영역으로 발달했다.
더 나아가, 해밀턴은 벡터에도 미적분을 적용하기도 했는데 이를 역삼각형으로 나타낸 [math(nabla)](del•nabla operator)로 표기했고 오늘날에 이른다.
본격적으로 선형대수학이 발전하기 시작한 것은 컴퓨터의 발달과 궤를 같이 한다. 손으로 푸는 것과는 비교도 안 되는 연산력을 무기로, 이전에는 상상할 수도 없었던 벡터 및 행렬 연산에서 체계가 하나 둘씩 잡혀갔고, 이것이 현재 우리가 배우는 선형대수학 이론의 토대가 되었다.
4. 이공계에게
미적분학과 함께 모든 이공계 과목의 기초 중의 기초이자 실질적인 기반. 모든 이공계열의 과목들 중에 선형대수가 관여하지 않는 과목은 없다고 단언할 수 있다.[10] 학부 수준에서야 행렬을 다루는 수준에서 끝나지만 심화 학문으로 갈수록 대상을 선형대수에서 다루는 오브젝트로 바라보는 관점이 필요해지는 만큼 선형대수의 중요성은 몇 번을 강조해도 부족함이 없다. 특히 여러 변수를 가진 대상을 분석하는 가장 기초적이자 강력한 도구로서 거의 모든 과학이 다양한 변수의 변화를 관찰하며 사실을 이끌어내는 분야인 만큼 선형대수학이 모든 과학의 근간이라고 해도 부족함이 없을 것이다.물리학과를 일례로 들면, 선형대수는 양자역학을 기술하는 수학적 근간이 된다. 빗대자면, 양자역학의 세계관이 선형대수라고 보아도 무방할 정도이다. 자세한 설명은 아래에 후술.
다만 이를 '과목'으로서 배우게 되는 학생들의 입장에서는 그야말로 불구대천의 원수. 이유는 딱 하나, 너무 어렵다. 오죽하면 이 과목만은 C를 받는 한이 있더라도 최소한 F는 절대 받지 말아야 하는 과목으로 통하는데, 선형대수학을 두 번이나 수강하는 것이 너무나 끔찍하기 때문이다. 학부에서 2~3학기에 걸친 선형대수 수업을 모두 A 이상의 높은 평점으로 틀어막는데 성공했다면 다른 전공과목의 성적과는 별개로 수학의 기본기만큼은 확실하다는 평가를 받을 정도다.
4.1. 수학과 학생들은
선형대수학은 현대의 모든 수학분야에 활용되는 중추 학문이다. 그리고 학부생에겐 해석학과 함께 처음으로 배우는 진짜 수학.[11] 고교 때까지는 어려워봤자 계산이 복잡했을 뿐이며 어디까지나 그 대상은 직관적인 수와 도형 정도로 한정되었지만, 선형대수학부터는 벡터가 더 이상 당신이 직관적으로 상상하는 유클리드 기하학의 그 벡터가 아니게 된다. 선형대수학에서 벡터공간이란, 단순히 그 정의를 만족하는 모든 오브젝트가 될 수 있으며, 벡터는 그 벡터공간의 원소일 뿐이다. 모든 [math(\mathbb{R} \to \mathbb{R})] 함수의 집합에도 역시 연산자를 정의하여 성분별로(영어로는 component-wise 또는 element-wise) 벡터공간으로 만들 수 있고, 이렇게 되면 각각의 [math(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R})] 함수가 해당 벡터공간의 벡터가 된다. 그리고, 이 벡터 공간에서 연속함수만을 추출하여 부분벡터공간을 그 안에 만들 수도 있고, 거기서 다시 미분가능한 함수를 추려내서 연속함수공간의 부분공간을 만들 수도 있다. 즉, 수학과 커리큘럼 중 고교수학적 직관과 현대수학적 논리가 격하게 충돌하는 첫 번째 과목이고, 추상적 개념과 엄밀한 증명의 사용을 연습하는 장이 된다. 어떤 과목을 배워도 밑바닥에 깔고 시작하는 기본과목이라는 점에서도 해석학과 똑같다.[12]수학과의 선형대수 과정은 추상적인 대수적 개념들과 선형함수를 먼저 배운 후에[13], 한참 나중에 학생들에게 친숙한 개념인 행렬과의 연결고리를 보여주는 방식을 취하는 경우도 많다.[14] 공학수학 쪽에서 다루지 않는 개념으로 쌍대공간(dual space)와 이중선형형식(bilinear form), 불변공간(invariant space) 등이 있지만, 기본 커리큘럼 이후에는 교수의 재량에 따라서 얼마든지 '이상한 진도'를 뺄 수도 있다. 실제로, 선형대수는 차후 배우는 거의 모든 수학 분야에서 베이스로 깔고 들어가기 때문에 맘만 먹으면 얼마든지 현대대수에서 고급 예시나 개념을 끌고 들어와 학생들을 멘붕시킬 수 있는 강력한 과목이다. 이런 경우, 전반적으로 계산보다는 대수적 개념이해에 치중하는 것이 특징. 수학과 학생한테 계산문제 풀어달라고 하지 말자. 어지간한 계산은 공대생들이 더 잘한다. 공대생들이 수학과생들과 달리 계산기를 써서 정확하게 계산한다는 단순한 말이 아니라, 행렬의 LU 분해나 행렬식 하나하나 계산하여 수반행렬 수하기 같은 테크니컬한 부분보다는 더 많고 어렵고 깊고 이상한(...) 진도를 나가려면 어쩔 수 없어서이다. 테크니컬한 부분은 아니더라도 학부에서 기본적인 선형대수 진도를 뺀 후 해석학을 접목하는 경우도 적지 않은데, 이 또한 '이상한 진도'에 해당하는 경우로 선형 및 연립 미분방정식이나 Matrix exponential, 푸리에 해석등 미분방정식 과목에서나 나올법한 진도들이 튀어나오기도 하여 대수적 사고방식을 타 영역에 이식하는 과정을 중요시 여기는 교수들도 적지 않다.
입문 과목으로서의 선형대수학은 본격적인 대수학의 시작으로서 매우 중요하다. 대수학에서 배우는 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 '대수적 구조'들 중 대부분은, 보통 벡터공간에서 성립하는 많은 성질들을 변형된 형태로 가지고 있다. 이는 대수적 구조 중 가장 직관적인 성질을 갖고 있는 것이 벡터공간이기 때문이다. 대수학을 공부한다면 선형대수의 증명 테크닉은 끝없이 반복되어 나타날 것이다.[15]
하지만 테크닉보다도 중요한 것은, 대수학의 사고방식을 체득하는 것이다.[16] 대다수의 대수적 구조들은 "구조가 주어진 집합"과 "구조를 보존하는 함수"의 쌍으로 정의된다.[17] 많은 경우에 이들을 다루는 방법은 놀랄 만큼 비슷하다. 특히 사상과 관련해서 선형사상에 적용된 핵(kernel)과 사상(image), 동형사상(isomorphism) 등의 주제는 모든 대수적 구조에 대해 일반화되는 개념이고, 이들을 이해하는 것은 학부 대수학의 목표 중 하나이다. 그리고, 거의 모든 수학분야에 공통적으로 퍼져있는 이런 양상은 Category Theory로 귀결된다. 실제로, 쌍공간(dual space)를 설명하기 위해 범주(Category)와 함자(Functor) 개념을 도입하는 교수도 있다.
그리고 대수학적인 사고를 통해 수학에서 다루는 연관이 없어보이는 많은 대상들을 대수구조로 바라보는 시각을 키우며 이런 일반화된 대상을 통해 정립된 이론으로 구체화된 대상을 다루는 시각을 가지게 된다. 일례로 푸리에 급수나 공분산같은 개념을 그저 수식으로 이해하는 것과 내적공간의 한 형태로 이해하는것은 전혀 다른 관점이며 이를 이해하기 위해선 대수적 사고방식의 체득이 반드시 필요하다.
보통의 수학과 학생들의 선형대수학은 여기서 끝이며, 수학과 고학년생들은 미분기하학, 위상수학과 함께 수학과의 개노답 삼형제로 꼽히는 현대대수학을 마주하게 된다. 하지만 선형대수학이 여기서 완전히 끝나는 것은 아니다. 저학년 선형대수학 시간에 어렴풋이 이해하며 일단 시험을 앞두고 머릿속에 쑤셔넣기 바빴던 성질들을 현대대수학의 언어를 가지고 복습하면 시원스럽기 짝이 없는 쾌감을 맛볼 수 있다. 이 복습을 발판삼아 벡터공간의 성질에서 체로 설정되어 있는 스칼라를 환으로 슬쩍(?) 바꿔서 가군을 공부함으로써 가환대수학 등의 테크트리로 나아갈 수 있고, 해석학 테크트리를 선택한다면 벡터공간의 성질을 끌어와 다루며 함수해석학을 공부할 수도 있으며, 행렬의(혹은 선형사상의) 군과 그 공간에의 작용을 탐구한다고 볼 수 있는 표현론(Representation Theory)은 현대수학 전반에 자리잡고 있는 테마 중 하나이다. 사람에 따라서는 선형대수학이 전공수학의 근본 중의 근본이라 보더라도 틀린 말은 아닐 것이다.
4.2. 수학교육과 학생들은
반면 수학교육과의 경우 애초에 지향성이 다르기 때문에 대부분의 학교 커리큘럼이 수학과의 것과는 판이하다.이는 수학교육과의 정석적인 학부 커리큘럼과 임용시험 범위가 신현용 외(2003)에서 수학교육과를 위한 대수 영역 제안안을 따르니 그런 것인데, 그 제안한 선형대수 커리큘럼이 추상적인 관점보다는 계산적이고 응용에 집중한 공대 스타일 위주이며, 추상적인 관점은 대수학에서 갈루아 정리를 배울 때 필요한 내용만 숙지시키는 식이라...
나머지 내용은 임용시험에 집중하는 수학교육과 커리큘럼의 현실상 이 분들이 제안한 내용 외라 잘 다루지 않지만 사실은 그 문제에 해당하는가도 교수 by 교수 성향문제. 너네들도 수학전공이라고 기초를 쌓으라며 어떻게든 짬을 내서 Axler나 Friedberg 같은 책으로 가르치기도 하는 교수님들도 계시지만 현실은 대부분 임용준비에만 몰두하지 다들 질려하고 수학좋아하는 학생 몇 명만 신나서 종종 물어볼 뿐...(...) 그마저도 임용 합격자 수로 실적을 가리는 사범대 특성상 임용형편성을 지키라며 시정권고가 내려와 나중에는 결국 계산식+속성 암기준비식으로 흘러가는 경우가 많다.
이게 임용준비 및 대학원 진학 등 여러가지 방향에서 상당히 골치를 썩히는 문제이므로 Axler 같은 교재로 해당 문제를 어떻게든 보완하는 것이 좋은데, 안 그러면 정말 피를 보게 된다.
4.3. 통계학과 학생의 경우
미적분학과 더불어 기본적으로 익히고 들어가야하는 과목이다. 특히 이론통계학, 수리통계학, 회귀분석 파트는 선형대수학을 베이스로 펼쳐지는 과목이다. 즉, 이 과목 하나를 못한다는 이유로, 통계학의 절반이상을 이해하지 못하고 넘기게 될 것이다. 통계학의 특성상 공식을 이해없이 암기해도, 수치를 대입하면 원하는 결과에 쉽게 도달할 수 있다. 하지만 이런 공부법은 어디까지나 통계학을 도구로만 보는 공대생, 상경대생에게만 통용되는 이야기이다. 통계학을 전공하는 당신은 공식이 만들어진 원리를 이해해야 하는건 물론, 상황에 따라 적절한 공식을 스스로 만들어 낼 줄 알아야한다. 이런 통계학의 수학적 메커니즘을 파악하게 하는 기본적 베이스가 선형대수학인것이다. 이런 이유로 암만 응용통계학, 통계 패키지에 통달했다 해도, 대학원에서는 선형대수학(을 위시로 한 이론통계학) 성적이 좋지 않은 학생은 받아주지 않는다.문과 학생들이 많은 우리나라 통계학과 특성상, 많은 통계학과 학생들의 무릎을 꿇리는 부분이기도 하다. 고교시절 미적분학에 대한 기초적인 이해가 있기때문에 미분적분학은 어지저찌 따라가지만, n차원의 공간을 다루는 선형대수를 만나면 다수의 주변 학우들이 책을 라면받침으로 사용하는 모습을 볼 수 있다. 수리통계학, 통계모델, 기계학습 등 통계가 쓰인 모든 곳이라면 선형대수학은 함께한다. 그렇기 때문에 선형대수학과 맞지 않는 학생의 경우 통계와 관련한 전공이 맞는지에 대해서 진지하게 고민해보아야 한다.
4.4. 물리학과/물리교육과의 경우
관성 텐서의 대각화나 정상 상태의 모드를 구할 때, 라플라스 방정식의 일반해를 구할 때 등 여러 군데에서 필수 요소로 들어가지만, 뭐니뭐니해도 진짜 중요한 문제는 다름 아닌 양자역학이다. 부분적으로 계산법만 익혀서 문제를 푸는 것이 가능은 하다. 하지만 선형대수의 체계를 이해하지 못하면, 양자역학의 구조적 기술 체계를 이해하는 것은 애초에 불가능하다. 애초에 양자역학의 기본 공리 중 하나가 "관측가능한 물리량이 힐베르트 공간에서 연산자로써 표현된다"는 점을 들 수 있는데, 함수해석학, 군론과 더불어 선형대수는 이러한 공리를 받아들이는데 큰 도움을 준다.양자역학에서는 '연산자'라는 개념이 중요한데, 쉽게 생각해서 연산자란 어떤 상태함수에 대하여 측정값을 내놓는 것을 말한다.[18] 예를 들어 다음과 같은 식 [math(\hat{A}\psi=a\psi)]에서, [math(\hat{A})]는 연산자, [math(\psi)]는 상태함수, [math(a)]는 측정값을 의미한다. 유심히 살펴보면, 선형대수의 고윳값 문제의 모양임을 알 수 있다! 이 상태함수들은 고유함수에 해당하고 이 함수들의 선형 결합으로 실제 시스템을 묘사하게 된다. 또한 이 연산자에 대한 기댓값(평균)을 구하고자 한다면,
[math(\displaystyle \left \langle A \right \rangle=\int \psi^{*}\hat{A}\psi dx)] 혹은 같은 말로 [math(\left \langle A \right \rangle=\left \langle \psi\middle|\hat{A} \psi \right \rangle)]와 같이 계산할 수 있는데, 이는 내적공간(inner product space)에서 정의된 내적의 성질과 일맥상통한다[19]. 이때 우변의 [math(\left \langle | \right \rangle)] 같은 기호는 디랙 표기법으로, 특별히 양자역학에서 벡터를 나타내기 위한 독특한 표기법이다. 이러한 내용들은 이제 시작일 뿐으로, 앞으로 양자역학을 공부하면서 에르미트 연산자(Hermitian operator)라든지 힐베르트 공간(Hilbert space)라든지 교환자(commutator)와 같은 흉악한(?) 것들과 신물나게 마주할 수 있으며, 앞서말한 쌍대공간(dual space)나 스펙트럴 분해(spectral decomposition) 같은 수학과에서 배우는 '이상한 진도'가 갑자기 튀어나오는 진귀한 광경도 볼 수 있다. 나중에 가면 한술 더 떠서 위의 연산자를 진짜로 행렬로 나타내는 법을 배운다. 아니, 애초에 하이젠베르크가 양자역학을 처음 내놓을 때 이름이 행렬역학이었으니.
양자역학이 현대물리학의 심장인 동시에 선형대수학이 양자역학의 심장이 되므로 당신이 물리학도라면 정말로 제대로 해놓자.
4.5. 화학과/화학교육과의 경우
반드시 들어야 하는 것은 아니지만, 화학과도 물리화학에서 양자화학을 배우기 때문에 알아두면 도움이 될 수 있다. 예를 들어 Hermitian operator, 파동함수의 orthogonality, molecular orbital theory에서 다원자분자의 Hamiltonian을 행렬로 취급하는 등[20]의 내용은 선형대수학의 개념이 들어가 있다. 또한 무기화학에서 군론은 선형대수학의 연장선 느낌이므로 선형대수를 해두면 이해가 수월하다.계산화학 분야에서는 컴퓨터로 양자화학적 계산을 하므로 선형대수적 이해가 있다면 도움이 된다.
4.6. 생명과학과/생물교육과의 경우
대개의 경우 배우지 않고 졸업한다.하지만 유전학을 공부하면서 통계적 방법을 사용한다면 이 과정에서 선형대수가 튀어나오는 건 다반사. 뿐만 아니라 유전학의 가장 기본적인 개념인 푸네트 스퀘어는 아예 행렬로 순차적으로 알고리즘화도 가능할 지경. 가장 간단한 예를 들자면 포식동물 A와 초식동물 B 간의 장기간에 걸친 개체수 변화 및 비율 고정을 예측할 수 있다.
그리고 생명공학 전공자가 화학공학을 복수전공/부전공한다면 배워야 할 것이다. 생물교육과의 경우 물/화/지 공통과학교육과정을 이수해야 하므로 선형대수를 배운다.[21]
4.7. 공대생들은
건축공학과[22]와 같이 수학을 필요로 하지 않는 극히 일부의 예외를 제외하고는 공대 소속 학과의 학생이라면 안 배울 수가 없다.공대생들은 대부분 선형대수학이라는 이름의 과목을 수강한 적이 있을 것이다. 수강한 적이 없더라도, 공업수학에서 행렬을 배운다면 당신은 이미 선형대수학을 공부하고 써먹는 것이다. 공과대학에서 선형대수학을 가르치지 않는 것은 절대 있을 수 없는 일이기 때문에, 과목의 이름이 어찌되든 알게 모르게 반드시 배우게 되는 개념이다. 그만큼 '중요하다'의 수준을 넘어 모든 것의 기초가 되는 분야다.
공업수학의 선형대수 과정은 주로 행렬에 초점이 맞추어져 있다.[23] 기저(basis)의 개념, 행렬의 계수(rank)/열공간(column space)/영공간(null space), 연립방정식의 풀이, 행렬식(determinant), 고유치(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)까지는 공통된 내용이지만, 여러 분해(decomposition)[24]과 조르당 표준형(Jordan normal form)의 실제 계산 등은 수학과에서는 수치해석을 듣지 않는 이상 잘 가르치지 않는 부분이다.[25] 주로 행렬을 간단히 나타내고 쉽게 계산하는 방법에 초점을 맞추게 된다.
개념적인 부분은 주로 기저(basis)에 치중되어 있으므로 만약 증명을 처음부터 끝까지 이해하고 활용할 게 아니라면 오로지 계산이 어떻게 되는지만 알아도 무방하게 느껴질 과목이다. 당장 그렇게 사용할 수 있으니까.[26] 그렇지만 (모든 수학 과목이 그렇듯이) 기본적인 개념이 잘 확립되지 않으면 '난 이 작업을 손으로도 할 수 있어. 컴퓨터가 훨씬 빠르게 할 수 있지만...' 정도로 요약이 된다.
다만 제아무리 공학이 원하는 결과를 얻으면 장땡이라 하더라도 이 학문은 단순한 계산 테크닉 이상의 의미가 있다. 공학적 문제를 모델링할 때 나오는 수식들은 대부분 선형성(linearity)을 지니며[27], 선형대수학은 바로 이 선형성에 대한 학문이다. 선형성이라 하면 대개 일차함수부터 떠올리지만, 그뿐만이 아니라 기저(basis)의 스칼라곱과 합으로 전개[28]될 수 있으면 모두 선형적이며, 바로 이 선형성을 나타내는 것이 행렬이다. 따라서 선형성을 지닌 식들은 반드시 행렬방정식으로 표현이 가능하며, 이는 공학적 문제들이 행렬로 취급될 수 있다는 것을 의미한다.
특히 이러한 성질은 변수가 2개 이상인 문제에서 더욱 중요해진다. 간단한 예를 들면, 물리학에서 나오는 2차원 평면에서의 두 물체의 충돌과 그에 따른 운동량 보존을 생각할 때도 x, y라는 2개의 위치 변수를 고려해야 하며, 따라서 연립방정식을 쓰게 된다. 변수가 2개 이상인 식 중에 행렬을 이용하지 않고 푼다면 그건 중고등학교 수학인데[29], 당연히 변수가 많아질수록 이런 방식은 한계가 있다. 변수가 2개일 때야 중학교 때 했던 소거법이나 대입법[30]으로 간단히 풀 수 있을 거고, 변수 3개까지도 위의 방법으로 푼다 해도, 변수가 4개 이상이면 그냥 행렬로 취급하는 게 더 편할 것이다.[31] 단순히 연립방정식만이 아니라 미분방정식에서도 유용한데, 가령 당신이 실제 연구개발 현장에서 연립 비제차(nonhomogeneous)[32] 선형 상미분방정식을 풀어야 한다고 해보자. 비제차 상미방이 하나만 있어도 귀찮아지는데 여러 개면 어떻게 풀어야 할까? 이때는 각 도함수 앞의 계수들로 행렬을 구성해서 풀어야 할 수밖에 없다.
게다가 선형대수학 지식은 수치해석을 듣는 데도 도움이 된다. MATLAB이 당장 행렬 위에서 돌아가며, 변수가 수두룩하게 많은 문제들을 풀 때 특히나 필요하게 된다. 가우스-자이델 메소드(Gauss-Seidel method)라든지 헤세 행렬(Hessian matrix), 유한요소해석 같은 녀석들도 전부 행렬로 돌아간다.
컴퓨터과학에서 많이 쓰인다(컴퓨터 그래픽스,수치해석,신호처리,기계학습 등등...).
대부분의 공업수학 교재가 미분방정식을 먼저 다루고 선형대수로 넘어가는데 사실 미분방정식에도 선형대수가 필요한지라[33] 교수의 역량에 따라 선형대수를 먼저 다룬 뒤 미분방정식을 다루는 경우도 있다.[34] 사실 공업수학 전체가 비선형 미분방정식[35]을 제외하면 전부 선형대수를 필요로 한다.
5. 사회과학계에게
사실상 행렬과 조금이라도 얽히냐 아니냐로 선형대수학의 필요성이 갈리지만, 현재는 거의 대부분의 분야에서 필수적으로 통계학이 쓰이기에 반드시 데이터와 마주치게 되며[36], 이는 곧 언젠가는 행렬과 마주친다는 것을 의미한다. 지금 당장 선형대수학을 배울 필요는 없어도 제대로 커리어를 이어가려면 결국 배워야 한다. 그래도 사회과학계은 조금 미룰 시간이 있다.-
경제학과인데
대학원을 진학할 예정인 경우
복잡계의 데이터(=빅데이터)를 다루게 되므로 무조건 배워야 한다. 대학원 수준 미시경제학에서 필수적인 선수과목이 선형대수학과 해석학이다. 유학갈 생각이라면 이 둘은 A를 사수해야 하는 과목이며 이 둘 이후로도 통계학과 및 수학과 강의를 듣게 된다. 산 너머 산... 그래도 긍정적으로 생각하자. 고급수학 지식을 알면 연구 가능 분야가 상당히 넓어진다!
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경제학과이지만 학부까지만 졸업할 예정인 경우
강의는 열릴 수 있지만, 당장은 수강할 필요까진 없다. 최소한의 선형대수 기반 지식은 필수이지만, 그 '최소한'에 대해서는 경제수학이라는 과목을 열어서 문과 수학만 떼고 오면 한 학기 안에 충분히 가르쳐 준다. 더 알고 싶다고 해도 후수과목인 수리경제학과 계량경제학 선에서 가르쳐준다. 개개인의 선택에 따라 더 깊이 있게 알기 위해서 그 뒤에 정식으로 선형대수학 과목을 수강하는 경우도 있다.
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경제학과이며 학부까지만 졸업할 것이지만, Information 혹은 Technology와 관계되는 부분[37]으로 진출 생각인 경우
데이터를 다루게 되므로 결국에는 배워야만 한다. 사실, 애초에 경제와 1이라도 연관이 있다면 그것은 곧 Information과 1이라도 연관이 있고, 동시에 Technology와도 1이라도 연관이 있으며, 애초에 이 셋은 떼어놓을 수 없는 관계이다. 그리고 셋 다 결국 데이터, 그것도 크고 아름답고 복잡한 데이터를 만나고 이걸 처리하려면 결국 선형대수학이 등판하게 된다.
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어문계열 대학원의 전산언어학 관련 분야(음성학, 음운론, 코퍼스, 통사론, 의미론 등등)
세부적으로 뭘 하느냐에 따라 달라진다. 학과 사무실이나 조교들, 대학원생들, 교수님들을 통해 정보를 구하는 게 좋다.
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상기된 분야들 이외의 문과 대학원에 진학할 예정이며 자기 전공분야에서 통계학을 쓰는 경우
통계를 전담하는 별도의 교수님과 랩이 따로 있다. 그쪽으로 갈 것이 아니라면 공부할 필요가 없다. 그쪽으로 가더라도 석사논문을 이걸로 잡을 정도로 선형대수학이 중요하게 취급되는 경우는 드물며, 굳이 따지자면 요인 분석을 접하면서 eigenvalue에 대한 간략한 개관 정도를 들을 수는 있다. 하지만 각 학문분야마다 선형대수학 외에도 물고뜯을 통계학적 떡밥들이 널렸기 때문에, 현실적으로는 2년 동안 대학원에서 구른다 해도 선형대수학에만 오롯이 집중할 상황은 못 된다.
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상기된 분야들 이외의 문과 대학원에 진학할 예정이지만 자기 전공분야에서 통계학을 쓰지 않는 경우
선형대수학 따위 평생 모르고 살아도 직장을 충분히 잡을 수 있다. 예를 들어서 법학전문대학원이라든가 통번역대학원이라든가... 이 사람들은 에스노그라피나 근거이론, 현상학적 분석, 서사연구, 생애사연구, 비평이론 따위를 배우는 것만으로도 이미 충분히 바쁘다.
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상기된 분야들 이외에서 학부까지만 졸업할 예정인 경우
공부할 필요가 없다. 통계적 방법에 대한 전공필수 강의 3학점 정도는 열리겠지만 거기서 선형대수학이 소개될 가능성은 사실상 없다. 어차피 학부 수준에서 통계적 방법의 커리큘럼은 대개 사회조사분석사 자격시험의 시험범위를 90% 정도 따라간다.
6. 선형대수학의 주제들
어느 선형대수 과정에나 기본적으로 들어가는 주제들.- 행렬: 행공간/ 영공간/ 계수, 차원 정리, 추상적 선형함수와의 동치성
- 연립일차방정식의 풀이: 가우스-조르당 소거법, 기약행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)
- 행렬식(determinant), 크라메르 공식, 소행렬식과 수반행렬(adjugate matrix)[38]
- 고유벡터와 고유값, 특성다항식, 케일리-해밀턴 정리[39]
- 내적공간, 직교화 알고리즘, 직교행렬
공학수학 또는 수치해석 과정에 들어갈 수 있는 내용.
앞에서 말한 타과에선 빼고 수학과에서만 가르치는 내용들.
- 벡터 공간: 상공간 동형정리[43], 직합
- 작용소의 분석: 최소 다항식, 불변 부분공간, 분해정리, 유리표준형식과 조르당 표준형 존재성
- 다중선형대수학: 텐서곱, 대칭 대수, 교대 대수, 쌍대 공간, 쌍일차 형식
- 정규행렬의 스펙트럼 정리, 대칭행렬과 직교행렬로의 응용
- 이차형식, 선형군, 직교기하와 심플렉틱 기하 등
- 대수적인 접근을 위한 군/ 환/ 체, 가군등 대수적 구조 맛보기
7. 교재
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Paul R. Halmos[44], Finite-Dimensional Vector Spaces
1942년에 나온 명저. 최초의 현대적인 선형대수학 교재다. 훗날 나오는 선형대수학 교재들은 이 책의 구성을 많이 따라간다. 연식이 2차대전 시절까지 거슬러 올라갈만큼 오래된 책이라 Springer, Dover 외에도 여러 출판사에서 다양한 판형으로 출간되고 있는데, 2020년대에도 여전히 이 책으로 공부하려는 수요가 끊이지 않는 모양이다.미래의 수학도들은 100주년 기념판으로 공부할지도 모른다
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Kenneth Myron Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, Prentice Hall (2nd)
전 세계에서 가장 많이 쓰이는 선형대수 대표 교재. 300 페이지 수준의 얇은 두께와는 달리 Halmos의 책처럼 군/환/체는 기본이고 현대대수에 나오는 이들을 심화시킨 Grassman Ring, 주아이디얼 정역(PID, Principal Ideal Domain)이라던지, 가군(module) 같은흉악한헤비한 대수적 구조를 접목시킨 매우 엄밀한 옛날 스타일이 특징. 위에 있는 주제들은 공대용 진도 빼곤 전부 나온다. 위에 각주를 잘보면 알다시피 현재는 선형대수를 먼저 배우고 현대대수를 시작하는 것이 스탠다드라서 처음부터 고도로 추상적인 것을 들이대면 학부 저학년생들에겐 어렵다는 평이 많기 때문에 외국에선 선형대수는 axler처럼 쉬운 책으로 시작하거나 아예 처음부터 응용으로 배우고 이론쪽은 현대대수의 벡터공간 시간으로 점차 빼놓고 있어[45] 사용빈도가 낮아졌으며, 한국에서도 좋은 대체재인 선대군과 프리드버그 저서가 있는지라 카이스트 외의 다른 학교에선 별로 잘 안쓰이는 비운의 책. 예전엔 절판된지가 한참 오래된 책이고 외서라 프리미엄이 더 붙어 국내서는 접할 수 있는 방법이 도서관에서 빌려읽던지 아님 비싼 가격을 감수하고 지르는 것 밖에 없었으나, 이제는 교보문고나 알라딘 같은 대형서점에 폭락한 가격으로 물량이 대거 들어와 누구나 접할 수 있는 교재가 되었다.
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S. Friedberg 외 2명, Linear Algebra, Pearson
Friedberg, Insel and Spence 3명이 쓴 선형대수학 책으로, 2019년 3월 현재 5판까지 나와있다. 전에 나온 4판 국제판의 경우 뒷 부분 내용(Rational Canonical Form, Singular Value Decomposition 등)이 빠져있거나 축약되어 있어서 원판을 아는 사람들에게 신명나게 까였고[46] , 그 때문에 5판이 나오기 전까진 많은 사람들이 원판을 pdf로 보곤 했다. 상당히 친절하고 초보자도 보기 좋아서 수학과에서도 이공대 타전공에서도 두루 쓰이는 책이다. Theorem이나 Proposition들이 step by step으로 친절하게 서술되어 있는 편이며, Definition과 Theorem을 다음에는 거의 강박적이다 싶을 만큼 친숙한 Example들을 주어서 이해를 돕는다. 군데군데 Figure도 적절히 들어가 있다. 많이 쓰이는 책이다 보니 solution도 비교적 충실하다. 그러면서도 현대대수학 교재에 들어갈만한 내용은 최대한 배제했다. 스트랭은 공대생 전용이다 보니 증명보다는 정리의 적용 및 계산에 집중했고, 호프만과 이인석 교재는 초보자가 보기엔 좀 힘든 감이 있는데, 수학적 논리성을 잃지 않으면서도 진입장벽이 높지 않은 책을 찾는다면 이 책을 추천한다.[47] 몇 안되는 흠이 있자면 현대대수학 내용을 지나치게 배제하다 보니 7장 표준형 단원에서는 귀납법 위주로만 논리를 전개하여 모티베이션이 부족하고, 분해정리의 내용도 부실한 편이다.[48]
{{{#!folding [번역본 관련 내용]
1쇄의 일부 오탈자도 꼼꼼이 검수하여 출판사에 게시되어 있어 번역서의 필수 덕목인 책임감 있는 번역을 제대로 실천하였다. 또한 원서가 딱딱하게 편집되어 있는 반면, 푸른색을 곁들여 정의와 정리를 명확히 보여주는 등 전반적 편집이 우수하다. 출판사가 컴퓨터 프로그래밍 관련 서적을 주로 내던 출판사라 그 쪽 책들이 전반적으로 알록달록(?)한 편인데 프리드버그 선형대수학 역서에서도 알록달록한 디자인을 고수했다. IT 전문 출판사라 그런지 전자책으로도 판매한다.
}}}
- Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Brooks
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra
현직 MIT 교수인 Gilbert Strang이 쓴 교재. 주로 수학 비전공자들을 위한 교재로 기본적인 선형대수학적 개념과 더불어 수치적인 방법, 선형계획 및 게임 이론 등을 소개하고 있다. 다만 Strang만의 용어가 몇 개 있다. 공대에서 많이 쓰는 책답게 추상적인 정리나 대부분의 증명을 생략하고 행렬 위주로 직관적으로 이해하도록 되어 있어 쉽게 읽을 수 있고, 응용에 최적화 된 책이다. 번역본이 나와있는데 번역가 특유의 성향 때문에 평은 좋지 않으며,[49] 선형대수학을 더 엄밀하게 공부하고 싶다면 아래 책들을 같이 보는게 도움이 된다. MIT OCW에서 Gilbert Strang 본인이 좀 더 쉬운 내용으로 저술한 Introduction to Linear Algebra 4판(2024년 현재 6판까지 나왔다)으로 수업한 영상을 무료로 공개하고 있으니 참고하는 것도 좋다. 링크
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Michael Artin, Algebra
오래된 명저로, 대수학 교재이나 저자 자신이 대수를 처음 배우는 학생을 위해 만든 책이라 하며, 때문에 선형대수 내용이 전부 들어있어 몇몇 교수들은 이걸 아예 선형대수 교재로 쓰기도 한다. 대수교재로선 학부와 대학원 중간 수준 레벨의 교재이며, 전세계적으로 가장 많이 쓰인 책이다. 독특한 어프로치와 다른 책에선 볼 수 없는 토픽들이 들어있어 처음 선형대수를 배우는 학생에겐 색다른 경험을 안겨줄만한 책. 자세한 건 대수학/교재 문서의 항목 참고.
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이인석, 학부 대수학 강의 1: 선형대수와 군, 서울대학교출판문화원
서울대학교 수리과학부 명예교수인 이인석 교수가 현직 시절에 쓴, 서울대학교 수리과학부 2학년 학생들을 대상으로 한 선형대수학 교재.수학계의 엄청나게 시끄럽고 믿을 수 없게 가까운2005년에 초판이 나왔는데 첫 개정판은 10년이나 지난 2015년 5월에야 나왔다.(...)
통년 과정으로 되어 있기 때문에 상술한 '이상한 진도' 또한 거의 다 들어가 있다. 책 제목(선형대수와 군)에서 짐작할 수 있듯이 현대대수의 영역인 군에 대한 이야기도 포함하고 있다. 특이한 점이라면 이야기책을 표방하고 있으며(...), 그에 걸맞게 문체가 딱딱하지 않은 편이다.[50] 곳곳에 농담이나
ㅋㅋ, ㅎㅎ 같은
초성체가 들어간 것도 특징.[51]
제목의 '학부 대수학 강의 1'에서도 알 수 있듯이, 당연히 속편(?)격인
2권도 존재한다. 이쪽은 3학년 과목인
현대대수학 내용[52]을 다룬다. 이미 선형대수학에 익숙하고 (혹은 그냥 수학을 잘하고) 되짚기 용으로는 좋은 교재이나[53], 글씨 표기가 따라쓰기 힘든 점[54], 농담이 가끔 속터지게 하는 경우가 있는 점[55], 영어/한국어/한자가 뒤섞여 전공자 이외의 독자가 볼 떈 가독성이 떨어진다는 점[56] 등으로 인해 호불호가 갈리는 편이다.
애초에 서울대생을 대상으로 한 책이니만큼 보통 학생들을 대상으로 한 교과서 같은 자세/친절한 설명을 기대하면 안 된다. 하지만 이야기책을 표방하는 만큼 어느정도 대수적 구조에 대한 이해가 갖춰진 독자에게는 마법처럼 술술 읽히는 책이기도 하다. 그 경지에 이르기 위해서는 선형대수 뿐만 아니라 현대대수까지 학부 대수학 전반에 걸쳐 감을 잡고 있어야 한다는 것이 문제일 뿐. 다만 이것은 말 그대로 전반적인 이해일 뿐 학부수준의 모든 지식을 필요로 한다는 것은 아니다. 이 전반적인 이해란 대수학에서 다루는 연산구조에 대한 이해를 의미하며, 대수학 공부에서 알게 모르게
클리셰가 있다는 것을 체감하는 수준이면 이 책에 도전하기 부족하지 않다.
또한 날이 갈수록 터무니없이 비싸지고 있는 대학 전공서적 시장에서 보기 드문 25,000원이라는 착한 가격의 양장본으로 나오는, 게다가 그런 착한 가격으로도 선형대수학의 '이상한 진도'를 빠짐없이 다루고 있다는 굉장한 메리트가 있다. 심지어 2021년에는 전자책으로도 나왔다! 이 교재 한 권만 제대로 마스터하면 학부수준에서 다루는 선형대수의 문제는 모두 해결할 수 있다.물론 서울대생들도 마스터하기 버거워한다
또한 날이 갈수록 터무니없이 비싸지고 있는 대학 전공서적 시장에서 보기 드문 25,000원이라는 착한 가격의 양장본으로 나오는, 게다가 그런 착한 가격으로도 선형대수학의 '이상한 진도'를 빠짐없이 다루고 있다는 굉장한 메리트가 있다. 심지어 2021년에는 전자책으로도 나왔다! 이 교재 한 권만 제대로 마스터하면 학부수준에서 다루는 선형대수의 문제는 모두 해결할 수 있다.
허나 행렬이 아닌 대수적 개념이해에 치중된 교재이다보니 진입장벽이 굉장히 높아서
공업수학 같은 속성코스에 익숙한 공학도들에게는 쉬이 권할 수 없는 책이다. 알라딘, YES24 등지의 온라인 서점에 올라있는 이 책에 대한 리뷰에는
코딩 부트캠프 등지에서
코딩이나
인공지능 공부에 필요한 선형대수학 공부를 이 책으로 했다가 개고생했다는 등의 원성이 자자할 정도.[57]
{{{#!folding [여담]
참고로 서문에 쓰인 'JKR에게 감사하며'라는 말의 경우,
해리 포터 시리즈의 저자인
조앤 K. 롤링을 가리키는 것이 거의 확실하다. 몇몇 단서를 꼽자면...{{{#!folding [여담]
- 해당 에피소드가 한때 스누라이프에서 화제가 된 바 있다.
- 선형대수학 강의 시간에도 저자 본인이 직접 해리 포터를 꼭 읽으라는 말을 한 적이 있다.
- 머리말에서 해리 포터 시리즈의 내용을 자주 언급한다.
-
페이스북
수학 그룹과
디시인사이드
수학 갤러리에서 칭송받는(?) 책이기도 하다. 아래는 한 수학 그룹 회원이 만든 짤방.
}}}
- Howard Anton, Contemporary Linear Algebra (번역명: 최신선형대수)
-
Howard Anton, Elementary Linear Algebra (번역명: 알기 쉬운 선형대수)
책 표지가 개코원숭이와 가까운 관계인 맨드릴이라 책 자체가 개코원숭이라고도 불린다. 선형대수학의 모든 개념을 우리에게 익숙한 실공간에 대해 다 설명한 다음, 책 끝챕터에 벡터공간에는 실공간 외에 복소공간, 행렬공간, 함수공간이 있으며 벡터, 내적 또한 해당 공간의 원소로 개념을 확장할 수 있다는 얘기를 하는 순서로 쓰여 있다. 실공간 위주로 설명하기 때문에 친숙하다는 장점이 있지만, 초기부터 벡터의 개념을 미리 확장해놓고 내용을 전개하는 교재와 비교하면 좀 아쉬운 부분이 있다. 같은 저자의 Elementary Linear Algebra(번역명: 알기쉬운 선형대수)라는 버전도 있는데, 이 책은 수학 비전공자들을 위해 계산 등에 치중한 내용이라서 수학 전공자들에게는 부적절하다는 평가를 받는다. 알기쉬운 선형대수는 2024년 현재 12판까지 출시되면서, 개정판이 상당히 자주 나오지만 개코원숭이는최신이라 간판 건 주제에2002년판이 끝이라는 점도 특징.
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Steven Roman, Advanced Linear Algebra, Springer-Verlag (3rd)
Springer 출판사의 Graduate Texts in Mathematics 시리즈로 나온 책으로, 기본적인 선형대수와 현대대수를 낯설어하지 않는 노련한 학생들이 대수학적 접근에 치중한 심화학습을 위해 선택하는 책 중 하나이다. 수학과에 처음 들어선 1~2학년 학부생들이 책만으로 '이상한 진도'를 모두 섭렵하는 경우는 아무래도 여러 대학에서 학부 선형대수 수업이 수학 비전공자들도 함께 듣고 따라올 수 있게끔 쉽(지만 어수선하)게 운영되기 때문에 의외로 많지 않은데, 그런 적은 범위의 교과서로 학부 선형대수학을 시작한 수학도들이 학부 후반기~석박사 과정에서의 전공심화 이상의 고급과정 수강을 앞두고 많이 접하는 책이다. 저자의 전문 분야가 컴퓨터 프로그래밍 쪽이다보니 응용수학도나 컴퓨터 사이언스 등 타전공생들도 현대대수의 서술방식에 익숙하다면 그럭저럭 읽어나갈 수 있는 구성과 서술을 갖췄다. 현대대수의 언어로 선형대수를 설명하기 때문에 현대대수의 서술에 익숙하다면 시원시원하게 읽을 수 있는 책으로, 기약행사다리꼴 등 시시콜콜한 행렬분해 계산놀음은 Preliminaries에서 예시조차 없이 줄글로만 읊고 넘어가곤 하며 여러 정리에 대해서도 너무 간단하거나 기초적인 경우에는 증명을 통으로 생략하지만, 웬만큼 어려운 고급과정 진도에서는 필요한 증명은 다 친절히 서술해준다. 한편 저자는 코로나19 팬데믹 기간에 유튜브에서 1부 선형대수, 2부 군, 3부 환&체 등으로 계획한 대수학 강의 시리즈를 올리기 시작했는데, 문제는어지간한 명저는 죄다 불법 및 합법 전자책으로 돌아다니는 세상에노교수가 태블릿 같은 문명의 이기를 동원하지 않고 그냥 어두운 누런 조명 밑에서 종이 원고를 한장씩 넘기는 아날로그 스타일(...)로 강의를 촬영한지라 시청하는 입장에서 불편이 적지 않다.
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Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer (4th)
스프링어 출판사에서 나오는 수학 교과서 시리즈의 에디터로 잘 알려진그래서 어지간한 노랭이 교과서에는 이름 한번씩 들이미는San Francisco State University의 Sheldon Axler (명예)교수가 내놓은 UTM 시리즈 교과서. 여러 선형대수 교과서들이 쓸데없이 어렵게 써졌다는 불만을 계기로 내놓은 교과서로, 독학용으로 좋다는 평가를 받는다. 행렬식이라는 개념을 초반부터 꺼내드는 여러 책들과 달리 교과서 후반부에서나 겨우 소개할 정도로 언급을 미루고 미뤘다는 점이 특징이다. 고유값, 고유벡터 등에 있어서도 계산보다는 존재의 증명이나 그 의의를 강조하는데에 치중한다. 수학 전공자를 위한 선형대수 교과서치고는 내용이 적었으나 2024년 4판으로 개정되며 텐서와 다중선형대수 등 추가적인 주제와 예시, 연습문제가 추가되어 어느 정도 해소되었다. 대신 계산적인 측면은 많이 생략되어 있어 계산 방법을 위해서는 결국 다른 교과서를 함께 꺼내들게 되는 단점있기도 하다. 하버드 대학교 등에서 선형대수 Honor 클래스 수업에서도 사용되기도 했다.
-
線型代数入門 (基礎数学1) - 東京大学出版会(동경대학출판회)
1960년대에나 출간된 매우 오래된 교과서이나 21세기 일본의 대학생이나 교수들도 (주로 국공립대학) 여전히 애용하는 일본 수학계의 고전 명저 중 하나. 저자가 애초에 일본의 이공계 기술력을 발전시킨다는 목적으로 썼다는 걸 앞에서 명시했는데, 실제로 이 책을 중심으로 공부한 일본의 이공계 인재들이 나중에 일본의 기술력을 미국에 이어서 세계 2위로 끌어올렸음을 생각하면 저자의 의도가 잘 맞아떨어진 셈. 반세기 전에 썼지만 내용은 현대에 출판한 내용과 거의 다른 내용이 없고 오히려 어지간한 내용은 다 설명한다. 뒤에 부록으로 유클리드 기하학의 공리와 군론 등의 부가적인 내용도 포함하고 있다. 가격은 엔화로 2,052엔. 일본 대학에 다니거나, 한국 대학생이라도 영어엔 자신이 없고 일본어가 자유롭게 가능한 경우엔 고려해 볼 만 하다.
그 외에 여러 종류의 선형대수 책(Lay의 직소퍼즐 등등...)이 시중에 나와있다. 만일 공학도/물리학도라면 선형대수는 매우 중요한 내용인지라 공업수학/수리물리학 교재에 잘 나와 있고, 그것만 해도 충분하기 때문에 굳이 위에 언급한 책들을 다 보지 않아도 된다.
8. 참고 문서
9. 컴퓨터 라이브러리
[1]
쉽게 말하면, [math(y=ax)] 같은 것
[2]
즉 [math(\left(a_{1} , a_{2} , \ldots, a_{n}\right) + \left(b_{1} , b_{2} , \ldots, b_{n}\right) = \left(a_{1}+b_{1} , a_{2}+b_{2} , \ldots, a_{n}+b_{n}\right) )]과 [math(c\left(a_{1} , a_{2} , \ldots, a_{n}\right) =\left(c a_{1} ,c a_{2} , \ldots,c a_{n}\right) )]
[3]
수학과 선형대수 첫 학기 때 배우는 가장 중요한 부분이 바로 선형사상의 집합과 행렬의 집합은 구조가 동일하며 1:1 대응이 되어 언제든 서로 바꿔쓰는 게 가능하다는 점이다. 소위
선형대수학의 기본 정리(Fundamental theorem of linear algebra). 이때 행렬의 곱셈은 선형사상의 합성에 대응된다.
[4]
역으로 말해서 "행렬의 곱셈은 왜 이렇게 이상하게 정의되었는가?" 라는 의문을 풀어주는 것이 바로 이 선형대수학의 기본정리이다. 선형함수를 알기 쉽게 나타낸 방법이 행렬이고, 행렬의 곱셈은 선형함수의 합성을 쉽게 나타내기 위해 디자인된 것뿐. 이유없이 외워온 독자들이 주객이 전도되었다고 분통을 터뜨리는 것은 당연할 것이다.
[5]
사실 고교에서 나오는 벡터의 개념은 미적분에 나오는 것과 똑같다.
[6]
[math(n)]차원 (실)벡터공간은 모두 [math(\mathbb{R}^{n})] 과 구조가 같다. 즉 동형이다.
[7]
상식적인 덧셈과 스칼라배에 대해서
[8]
그래서 연립방정식 역시 엄연한 선형대수학적 대상이다.
[9]
우리가 아는
[math(ad-bc)]라는 식이다.
[10]
사회과학계라고 해도 상경계열이라면 100% 만나게 된다. 그러나 이학계열에서는 선형대수를 필수로 수강하지 않아도 되는 학과도 엄연히 존재한다. 이는 보통 해당 학문의 수학과의 연관성에 정비례한다.
[11]
여기서 '진짜'라는 의미는 직관적인 수준을 넘어, 엄밀한 논리의 영역으로 들어선다는 의미이다. 물론 엄밀함의 기준은 주로 집합론이지만, 수학기초론을 제외한 대부분의 수학 분야의 연구 양상은 엄밀함 그 자체만을 위한 연구는 아니기 때문에 학부 과정에서는 서수(ordinal number)와 기수(cardinal number)의 기본 성질에 대해 살짝 훑는 것, 집합론의 공리적 방법을 소개하는 정도에서 그치며, 그 외에는 해석학, 선형대수학, 현대대수학, 위상수학 등에서 정의, 정리, 증명 연습을 반복하며 가다듬는 것만으로도 족하다.
[12]
다만 주로 해석학 계열 과목에서만 나타나는 해석개론과는 달리, 선형대수는 호몰로지/가환/비가환대수, 표현론, 대수적 정수론 등의 대수학 테크와 편미분방정식, 동역학계, 작용소 대수, 광역/조화해석 등의 해석학 테크, 대수/심플레틱/이산 기하, 기하위상 등의 기하학 테크에서 모두 필요하다는 것이 차이점.
[13]
행렬에서 사용하는 열공간(column space), 영공간(null space) 등의 말이 선형사상의 핵(kernel), 사상(image) 이런 식으로 둔갑하게 된다.
[14]
덕분에 행렬이 등장하기 전까지 어두컴컴한 추상의 세계에서 헤메다가 행렬이 등장하는 시점에 가서야 지금까지 배웠던 게 무엇인지 깨닫는 경우가 많다. 일부러 이런 방식으로 커리큘럼을 짜놓고 후반부에 카타르시스(?)를 유도하는 연출가
교수들도 있다. 이런 식으로 행렬의 도입을 늦추는 교수를 만날 경우,
엡실론-델타 논법의 도입까지가 힘들어서 그렇지 익숙해지면 챕터마다 진입장벽의 높이가 고만고만해지는 해석학과 대조적으로 선형대수학을 깊이 파고들수록 난해함이 가중될 수 있다.
[15]
군의 준동형사상(homomorphism)과 선형사상(linear map), 부분군(subgroup)과 부분공간(subspace)의 유사성 등을 예로 들 수 있을 것이다.
[16]
사실 정수론을 '즐긴' 올림피아드 공부 경력자 일부 학생들은 선형대수학보다 현대대수학 수업을 더 수월하게 해내고 현대대수학을 통해 대수학을 체화하기도 한다. 실제로 여러 학부 수준 현대대수학 교과서의 초반부는 선형대수학을 전혀 공부하지 않은 학생들도 어떻게든 해낼 수 있는 구성으로 시작하며, 선형대수학도 그렇게 현대대수학에서 차근차근 쌓아올린 대수학의 언어를 동원하여 시작하는 것이 더 쉽다고 주장하는 교수들도 있다. 하지만 대다수의 저학년생들에게 현대대수학이 다루는 추상적 구조는 너무 매운맛 난해하기에 보통은 선형대수학으로 대수학에 입문하고 체화하는 것이 이공계 수학교육의 정석으로 여겨지고 있다. 전세계적으로 많이 쓰이는 호프만의 교재가 현재는 많이 사용빈도가 줄어든 것이 바로 이것 때문.
[17]
벡터공간과 선형사상, 군과 준동형사상, 대수학 뿐만 아니라 다른 수학에서도 위상(Topology)과
연속함수로 연결되는등 수많은 규칙이 등장한다. 이를 일반화한것이 바로
Category Theory의 Object와 Morphism.
[18]
수학에서
범함수 라고 부르는 대상이다.
[19]
내적은 켤레대칭성, 인수에 대한 선형성, 양의 정부호성의 3가지 성질을 만족하는 함수라면 얼마든지 내적이라 정의할 수 있는데, 양자역학에서 말하는 내적함수는 적분함수를 이용한다.
[20]
슈뢰딩거 방정식 자체가 원래 행렬방정식이니 사실 당연하다.
[21]
예를 들어 서울대의 경우 생명과학부는 응용위주인 생명수학을 따로 배우나, 생물교육과는 타 과학교육과와 똑같이 미적분학을 통째로 배운다.
[22]
그러나 3차원의 벡터 공간을 다루는 건축학과야말로 철학적 측면에서 선형대수학과 밀접하다. 조선총독부 건축기사 출신이었던 시인 이상은 행렬방식으로 표현한 《삼차각설계도》를 비롯해 《건축무한육면각체》 같은 시를 남겼다.
[23]
어차피
기본정리로 인해 유한차원에서는 행렬만 배워도 충분하다.
[24]
LU분해(LU decomposition), 촐스키분해(cholesky decomposition), 슈어 분해(schur decomposition), 특이값 분해(singular value decomposition) 등
[25]
수학과에서는 주로
벡터공간과
선형사상에 대한 이해가 목표이기에 수치적인 방법은 잘 배우지 않는 편이다.
[26]
하지만 개념적인 부분도 무시해서는 안 될 게, 특히
푸리에 해석에서 직교 기저(orthogonal basis)와 내적(inner product)에 대해 눈곱만큼이라도 이해를 하고 있다면, 정말 비교가 안 되게 쉬워진다.
[27]
아닌 경우의 대표적인 예는
나비에-스토크스 방정식
[28]
이를 선형 결합(linear combination)이라고 하는데, 익숙하지 않은 개념이 아니다. 당장
공업수학에서 2계 상미분방정식의 해에는 기저(basis)가 있고, 이 기저를 임의의 스칼라곱과 합으로 전개하면 나오는 모든 해가 일반해라는 얘기를 들어보았을 것이다. 그리고 이렇게 선형결합을 해서 나오는 벡터들을 원소로 삼는 공간이 다름아닌 벡터공간이다.
[29]
사실 중고등학교 수학에서 나오는
연립방정식부터가 이미 행렬방정식이라 선형대수학 개념이 들어가 있다.
[30]
사실 이 방법들도 각각 Gauss elimination, back substitution이랑 완전히 일치하니 결국 선형대수학의 범주 내에 있는 얘기이다.
[31]
이 말의 다른 뜻은, 변수가 3개인 연립방정식까지는 고등학교 과정에서 공간(3차원)에서의 직선의 방정식을 배운 적이 있으니 거기까지는 일단 고등학교 수학의 범위라는 뜻이다. 하지만 변수가 4개 이상이면? 4차원 이상의 공간은 우리의 직관으로는 생각할 수 없다. 즉 직관의 영역이 아닌 추상의 영역이 되고, 이를 추상적으로 정의할 수 있는 건 행렬밖에 없다.
[32]
우변이 0이 아닌 함수의 경우
[33]
선형미분방정식의 동차해와 일반해는 선형대수의 언어로 설명하자면 주어진 선형변환으로 유도되는 몫공간 형태로 나타나나며, 함수를 공간의 직교기저로 나타내는 푸리에 급수, 다른 함수 공간으로 끌어내 해를 탐구하는 라플라스변환과 푸리에 변환 등 공업수학 과정에서 접하는 미분방정식은 선형대수에 대한 지식이 없다면 온전히 이해하기 어렵다.
[34]
몇몇 교수의 경우 아예
복소해석학또한 앞으로 땡겨버리기도 한다. 이런식으로 선형대수와 복소해석으로 토대를 다져놓으면 배우는 중에는 고통받겠지만 미분방정식과 통계를 접할때 조금 더 수월하게 받아들일 수 있게 된다.
[35]
사실 이것도 잘 가르치지 않는다. 끽해야 유체역학에 쓰이는 나비에 스톡스 방식을 소개하는 정도
[36]
결국 자료(정보) 없이 연구을 할 수 없으며, 자료(정보) 수집의 기본은
복잡하고 덩치큰 쓰레기 더미에서 자료를 추출하는 것이다. 그러나 이것은 생노가다이기 때문에 일반적 환경에서 다룰 수 없는 문제였는데, 컴퓨터의 힘을 빌어서 이 개념을 좀더 일반적인 환경에서 사용해볼 수 있게 해보려는 노력이 만들어낸 것이 바로 그 유명한 빅데이터 분석이다. 이제 질적연구만 하는 시대는 갔다. 아니, 애초에 수학은 예전부터 철학과 밀접하게 연관되어 왔기에 사실상 원래대로 돌아간것에 가깝다. 모든것이 결국 철학 박사(Ph.D)로 수렴
[37]
이 둘을 합쳐 IT라 하는 것이다.
[38]
책에 따라서 adjoint matrix라고 쓰는 경우도 있다. 그런데 켤레 전치행렬(conjugate transpose) 또한 adjoint matrix라는 용어를 사용하기 때문에 혼동을 막기 위해 전자를 지칭할 때는 고전적 수반 행렬(classical adjoint)라는 용어를 쓰기도 한다.
[39]
고교과정에서 배웠던 그 2*2 행렬 정리는 이 정리의 아주아주 특수한 경우에 해당한다! 자세한 것은 항목 참고.
[40]
LU factorization, cholesky decomposition, schur decomposition, singular value decomposition 등
[41]
matrix exponential 행렬에 대해 맥클로린 급수를 이용하여 자연스러운 지수함수를 생각하게 된다.
[42]
벡터나 행렬에 '대한' 미분을 다루는 괴상한 내용. Hessian matrix 등이 중요한 개념이다.
[43]
군(대수학) 문서 참조.
[44]
자연로그를 [math(\ln)]으로 쓰는 것에 대해 거부감을 직설적으로 드러낸 수학자이기도 하다. 그는 본인의 자서전 《나는 수학자가 되고 싶다: 자서수학전》(I Want to Be a Mathematician: An Automathography, 1985)에서에서
자연로그를 [math(\ln)]으로 쓰는 것에 대해 '유치한 [math(\ln)] 표기'(childish [math(\ln)] notation)라면서 깠었다.
[45]
즉, 엄밀한 대수학을 현대대수에서부터 시작하는 격이다.
[46]
일부 사람들이 미국 내에서 판매가 금지된 국제판을 미국 내에서 팔려고 하자 출판사들이 내수용 교재와 국제판 사이에 차등을 두기 시작했는데 PEARSON 출판사의 경우는 그 정도가 심해 책의 일부 내용을 빼버리는 만행을 저질렀다. 이른바 피어슨 뉴 인터내셔널 에디션, PNIE 사태인데, 이 출판사가 취급하는 서적이 참 다양한 전공에 걸쳐 많기도 많은지라 수많은 전공의 수많은 과목의 수많은 명저들이 저자마저 분노케 할 정도로 칼질을 당했다. 수학 교재 전문 출판사인 경문사가 몇몇 널리 쓰이는 과목에 한하여 피폭 서적들의 원본과의 차이점을 홈페이지에 공지해놓았지만, 이 또한 사실은 수학과에서 많이 쓰이는 몇몇 교재에만 국한된 공지라서...
(참조)
[47]
초보자의 경우 asterisk(별표) 표시가 된 optional part(심화 파트)는 굳이 읽지 않아도 된다.
[48]
Primary Decomposition Theorem은 나오긴 하지만, Cyclic Decomposition Theorem은 언급되지도 않는다. 사실 이 둘을 자세히 언급하려면 대수학의
가군(module) 이론이 필요하기도 하다.
[49]
해석학 문서에서도 비판받는 루딘 번역판의 그 분. 번역 수준은 괜찮은데 센스면에서 괴악해서 까이고 있으며, 이 책은 수학 용어의 한글화를 추구하는 신념 못지 않게 교과서로의 면보단 문학책마냥 원저자의 스타일을 존중하겠다고
톨킨 번역지침마냥 전술한 "스트랭의 언어"에 그대로 맞춰서 번역한 점에서 충격적이다. 당연히 시도는 대실패했고... 물론 부록에 원래 맞는 단어들을 써놓아 알아볼 순 있게 해놨으나, 번역 본연의 의미(대상자가 보기 쉽게 뜻을 확실히 전하는 것)를 생각해보면 그닥 좋은 시도는 아니었는데 루딘 해석학도 이런 센스대로 번역해서 익숙치 않은 사람들에게 대차게 욕을 먹었다.
[50]
(전략)그래서 이 책은 딱딱하지 않은 구어체로 쓰여졌다. 저자가 강의실에서 사용하는 언어(말투, 대화, 칠판 내용, 그리고 농담들)를 그대로 옮기려고 오히려 노력하였다.
[학부 대수학 강의]에서 우리의 현실세계에 관한 묘사는 거의 찾아볼 수 없을 것이다. 그런 의미에서 [학부 대수학 강의]는 가상세계에 관한 '이야기책'이다.
Peter Pan이나
Harry Potter 같은 이야기책이다.(후략) (해당 책 머리말에서 발췌)
[51]
책에 따르면 이 ㅋㅋ나 ㅎㅎ 같은 말이 나오면 뭔가 심각한 논의를 하고 있다는 뜻이니 긴장해야 한다고(...).
[52]
말은 그렇지만 이미 1권에서
군의 개념을 다 떼고 올라간 관계로 책 초반부터 module, algebra의 개념부터 시작하고 들어가는 흉악한(...) 책이다. 실질적으로는 학부 대수와 대학원 대수의 중간 과정 정도.
[53]
실공간이나 복소수로 표시해도 될 이야기들을 Field의 약자인 F 로 표시하는 만행을 벌인다. 저자는 둘을 동시에 다룬다는 미명 하에 꿋꿋하게 밀고나가지만 속내는 누가봐도 대수학의
Field에 익숙해지게 하려는 이유.
[54]
볼드체 표기에 무관심하다보니 집중하지 않으면 초보 독자의 뇌를 어지럽힌다는 점은 둘째치고, 가장 큰 문제는
TeX의 장식체를 너무 많이 쓴다는 점. 이런 데에까지 그리 꼬불거리는 글씨를 써야 했냐며 독자가 저자를 원망할만큼 많다. 참고로 보통의 교과서들이 이런 장식체를 본격적으로 쓰는 경우는 집합의 집합인 집합족을 표기하는 경우이다. 그래도 어쨌든 여기서의 지옥훈련(?)에 익숙해지면
위상수학 같이 글씨를 못 알아볼 정도로 희한한 필기체가 난무하는 고급 과정에서 아름다운 캘리그라피를 뽐낼 수 있다(...)는 장점은 있다.
[55]
증명은 '기계'(즉, 너희들)가 한다거나, proof 부분을 '우리의 철학' 한 마디로 때우는 것 등등
[56]
사실 이것도 그저 대학 수업 현장에서 자주 쓰이는 암묵의 룰인 '용어는 영어, 수업은 국어' 의 과정을 충실히 따랐기 때문이다. 이공계 전공 수업 현장에서 외서를 사용함에도 수업은 국어로 진행하거나, 국내교재를 쓰면서도 용어는 영어를 사용하는 경우는 흔하다. 이 교재도 마찬가지로 영어가 쓰이는 곳은 수학에 필요한 전문용어 뿐이고 종종 별 의미없는 위치에 쓰이는 한자 몇 글자를 제외하면 수업에서 흔히 쓰이는 문체를 그대로 옮겨 적었기에 나온 문제일 뿐이다.
[57]
원래 수학을 전공하는 서울대학교 학부생용으로 나온 책이니 지극히 당연한 일이다. 비전공자들은 이 책보다는 Strang이나 Anton 같은 책이 더 권장되는 편이고, 사실 IT업계인들은 그조차도 필요 없이 데이터 사이언티스트나 프로그래머들이 내놓은 맞춤형 서적을 보는 것이 나은 면도 있다. 그러나 저 쪽 방면에서도 공부와 연구가 진척될수록 수학 전공자에 준하는 깊이 있는 내용이 요구되기 때문에 이 어려운 책을 붙들고 쩔쩔매는 독자들이 적지 않다.
[58]
파이썬 라이브러리