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수와
연산 Numbers and Operations |
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通 分 / reduction to common denominator
1. 개요
수학에서 분모가 다른 2개 이상의 분수의 분모를 같게 하는 작업을 말한다. 5학년 수학의 최종보스. (약분과 기약분수도 마찬가지.) 쉽게 말하면 분모가 다른 두 분수의 분모를 두 분모의 최소공배수로 바꾸는 일이다. 이렇게 바뀐 분모를 공통분모라고 한다. 일상 생활에서는 두 대상의 공통점을 공통분모라고 하기도 한다.[1] 이걸 하려면 배수, 약수, 최대공약수, 최소공배수의 관계를 알고 넘어와야 한다.중학교 올라가면 유리수의 계산에도 적용되니 잘 익혀두자.
2. 해야 하는 이유
약분과는 달리 항상 하는 건 아니다. 대개 분모가 다른 두 분수의 크기를 비교하거나 분수의 덧셈, 뺄셈을 해야 할 때[2]만 하는 정도다. 분모를 통일한 후 분자의 크기를 서로 비교하면 된다. 간혹 통분해야 하는 것을 모르고 [math(dfrac{1}{x} + dfrac{1}{y} = dfrac{1}{x+y})] 같은 꼴로 잘못 계산하는 경우도 있다.분모가 같고 분자가 다른 수는 분자가 큰 쪽이 크고 반대로 분자가 같고 분모가 다른 수는 분모가 작은 쪽이 크다는 것을 알 수 있지만, 분자와 분모 모두 다른 경우는 어느 쪽이 더 큰지 직관적으로 알기 어려울 수도 있다. 예를 들어 [math(\displaystyle {3\over 5} )]와 [math(\displaystyle { 4\over6 } )] 중 무엇이 큰지 확인하기 위해서 통분하여 확인하면 [math(\displaystyle {{18\over 30} \lt {20\over 30}} )] 가 되므로 [math(\displaystyle { 4\over6 } )]가 더 크다는 것을 쉽게 알 수 있다.
3. 기본적인 방법
b, d, f가 모두 0이 아닐 때,- [math(\displaystyle \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \rightarrow \frac{a \times d}{b \times d}, \frac{c \times b}{d \times b} \rightarrow \frac{ad}{bd}, \frac{bc}{bd})] (분수 2개의 통분)
- [math(\displaystyle \frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f} \rightarrow \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f}, \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f}, \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} \rightarrow \frac{adf}{bdf}, \frac{bcf}{bdf}, \frac{bde}{bdf})] (분수 3개의 통분)
한 분수의 분모가 나머지 분수의 분모의 배수일 때는 그 분수의 분모로 통분하면 된다. 예를 들어 3/5, 7/10, 9/20을 통분할 때 20은 5, 10의 배수이므로 공통분모를 20으로 하여 12/20, 14/20, 9/20과 같이 하면 된다.
4. 통분을 이용한 덧셈 공식
위에서 소개한 통분 공식을 이용한 후 각 분수를 더해 주면 된다. 즉 b, d, f가 모두 0이 아닐 때,- [math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad+bc}{bd})] (2개의 분수의 통분)
- [math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f} + \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f} + \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} = \frac{adf+bcf+bde}{bdf})] (3개의 분수의 통분)
뺄셈의 경우는 a, c, e 중 적당한 것을 음수로 처리하여 위 공식처럼 계산하면 된다. 일반화하면 아래와 같다.
- [math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = {\rm sgn}(b \times d) \frac{a \times d}{|b \times d|} + {\rm sgn}(d \times b) \frac{c \times b}{|d \times b|} = {\rm sgn}(bd) \frac{ad+bc}{|bd|})]
- [math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = {\rm sgn}(b \times d \times f) \frac{a \times d \times f}{|b \times d \times f|} + {\rm sgn}(d \times b \times f) \frac{c \times b \times f}{|d \times b \times f|} + {\rm sgn}(f \times b \times d) \frac{e \times b \times d}{|f \times b \times d|} = {\rm sgn}(bdf) \frac{adf+bcf+bde}{|bdf|})]
다르게 보면, [math(-1)]제곱에 대한 곱셈 공식이라고 볼 수 있다.
5. 극한과 통분
2개 이상의 분수의 합 또는 차로 구성된 수열이나 함수의 극한을 구하려고 할 때, 각 분수가 극한을 구할 수 없는 꼴이지만 통분하면 극한을 구할 수 있는 경우가 있는데, 예를 들면 다음과 같다.| [math(\begin{aligned}\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n^2+n+1}{n} - \frac{2n^2+1}{n+1}\right)& = \lim_{n \to \infty}\left\{\frac{(2n^2+n+1) \times (n+1)}{n \times (n+1)} - \frac{(2n^2+1) \times n}{(n+1) \times n}\right\}\\&= \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+n+1}{n^2+n} = 3\end{aligned})] |
6. 관련 문서
[1]
수학적으로는 공약수가 조금 더 비슷한 뜻이다. 공통분모는 둘 이상의 분수의 분모의 공배수이므로 두 분모의 공통점과는 거리가 멀지만 공약수는 공통적으로 가지고 있는 약수라는 점에서 공통점과 조금 더 가깝다.
[2]
특히
조화수열의 합을 구하려면 통분이 필수적이다.