최근 수정 시각 : 2024-06-19 10:40:56

아이젠슈타인 정수


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1. 개요2. 상세3. 아이젠슈타인 소수4. 페르마의 마지막 정리와의 연관성

1. 개요

Eisenstein-Zahl / Eisenstein

가우스 정수와 비슷하며, 두 정수 a, b 에 대해서 [math( a + b\omega )] 로 표현되는 수이다.
여기서 [math(\omega)] 는 [math(omega^3 = 1)] 또는 [math({\omega}^2 + \omega + 1 = 0)]의 허근 중 한 값이며, 정확하게는 [math(\displaystyle \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2}i = e^{i\cdot{2\pi}/{3}})] 이다.

수학자 고트홀트 아이젠슈타인이 연구하여 이 사람의 이름이 붙었다.

2. 상세

아이젠슈타인 정수 전체의 집합은 기호로 보통 [math(\mathbb{Z}[\omega])]로 나타낸다.

이 집합은 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 [math(1)]을 가지는 가환환을 이룬다. 또한, 유클리드 정역(Euclidean domain, ED)이고, 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, principal ideal domain, PID)이며, 유일 인수분해 정역(unique factorization domain, UFD)이다.

가우스 정수와 특성이 유사하다.

복소평면상에서는 정삼각형 격자를 그린다.

정수계수 다항식환을 [math(\mathbb Z[x])]라고 하면 몫환 [math(\mathbb Z[x]/(1+x+x^2))]과 동형이다.

3. 아이젠슈타인 소수

아이젠슈타인 정수는 유일 인수분해 정역(UFD)이며, 다시 말해 아이젠슈타인 소수로 유일하게 소인수 분해가 가능하다.

가우스 정수와 마찬가지로 자연수에서는 소수이지만 아이젠슈타인 소수는 아닌 경우가 나오는데, 예를 들어 자연수에서는 7은 소수이지만, 한편으로는 [math(7 = (3 + ω)(2 − ω))]으로 분해가 가능하기에 아이젠슈타인 소수는 아니다.

어떤 아이젠슈타인 정수 [math(\pi=a+b\omega)]가 아이젠슈타인 소수라는 것은 다음 조건을 만족하는 것과 동치이다.
(단, [math(p)]는 아이젠슈타인 정수가 아닌 정수론에서의 소수를 의미한다.)
  • [math(\pi=p(\equiv 2 \pmod{3}))]
  • [math(a^2-ab+b^2=p \equiv 1 \pmod{3})]을 만족하는 [math(a+b\omega)][1]
    • 위의 두 조건을 만족하는 수 [math(\pi=a+b\omega)]에 단원 [math(\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2)]을 곱해 만들어진 아이젠슈타인 정수
      ([math(\pi'=\pm a\pm b\omega, \mp b\pm(a-b)\omega, \pm(b-a)\mp a\omega)]꼴)
    • 위의 두 조건을 만족하는 수 [math(\pi=a+b\omega)]에 켤레를 취해 만들어진 아이젠슈타인 정수 [math(\pi'=a+b\bar{\omega})]
  • [math(1-\omega)] (및 이에 단원을 곱해 만들어진 수)

4. 페르마의 마지막 정리와의 연관성

이 아이젠슈타인 정수는 뜬금 없이 페르마의 마지막 정리와도 연결이 된다.

n = 3 인 경우에 대한 식에 대해서, 3차 단위근 [math( \omega = e^{2 \pi i / 3})] 을 동원해 다음과 같이 인수분해된다.
[math(x^3 + y^3 = z^3)]
[math(\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3)]

그러므로, 아이젠슈타인 정수에 대해서 파고 들면 FLT 의 n=3 인 경우에 대해서 해결이 가능하다.

좀더 자세한 내용은 대수적 정수론 문서 참고.
[1] [math(a^2-ab+b^2)]은 [math(a+b\omega)]의 절댓값이다.