최근 수정 시각 : 2024-04-04 22:35:13

테일러 급수/목록

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1. 개요2. 무한등비급수
2.1. 활용
3. 이항급수
3.1. 증명3.2. 활용
4. 삼각함수
4.1. sin 함수, cos 함수
4.1.1. 증명4.1.2. 극한값
4.2. 나머지 함수들
5. 역삼각함수
5.1. 증명
5.1.1. 원주율 구하기
6. 지수함수
6.1. 증명6.2. 응용
6.2.1. 자연로그의 밑 구하기6.2.2. 오일러의 공식 증명하기6.2.3. 오차함수(error function)의 무한급수
7. 쌍곡선함수
7.1. sinh 함수, cosh 함수7.2. 나머지 함수들
8. 로그함수
8.1. 증명
9. 람베르트 W 함수10. 프레넬 적분 함수11. 브링 근호12. 타원 적분13. 무한 지수 탑 함수

1. 개요

여러 대표적인 함수의 테일러 급수를 다루는 문서이다.

아래의 예들은 [math(x_0=0)] 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.

2. 무한등비급수

[math(\displaystyle \frac 1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\cdots \quad (|x|<1))]
그래프 보기
[math(n)]값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) [math(|x|<1)]외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.

2.1. 활용

아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.

저 [math(|x|<1)] 조건을 두지 않고 값을 구하는 것이 이른바 라마누잔합이다.

3. 이항급수

[math(\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom\alpha n x^n = 1 + \frac\alpha{1!}x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots\cdots + \frac{\prod\limits_{r=0}^{n-1}(\alpha - r)}{n!}x^n + \cdots\cdots)]
여기서 [math(\dbinom\alpha n)]는 이항계수이다.

3.1. 증명

구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
[math(\begin{aligned} y &= (1+x)^\alpha = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\end{aligned})]
양변을 미분하면
[math(\begin{aligned} y' &= \alpha(1+x)^{\alpha-1} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n\end{aligned})]
위 두 식을 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다.
[math(\begin{aligned} \alpha(1+x)^\alpha &= \alpha y = (1+x)y' \\ \therefore y' &= \alpha y-xy'\end{aligned})]
여기서 [math(xy')]의 무한급수는
[math(\begin{aligned} xy' &= 0 + a_1x + 2a_2x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty na_n x^n\end{aligned})]
이므로 미분방정식에서 각 항의 계수를 견주면
[math(\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n &= \alpha\sum_{n=0}^\infty a_nx^n- \sum_{n=0}^\infty na_nx^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty (\alpha - n)a_nx^n \end{aligned})]
다음과 같이 점화식이 얻어지므로 풀면
[math(\begin{aligned} &\begin{cases} (n+1)a_{n+1} = (\alpha - n)a_n \\ a_0 = 1 \end{cases} \\
a_{n+1} &= \frac{\alpha-n}{n+1}a_n \\ &= \frac{(\alpha-n)(\alpha-n+1)}{(n+1)n}a_{n-1} \\ &= \frac{(\alpha-n)(\alpha-n+1)(\alpha-n+2)}{(n+1)n(n-1)}a_{n-2} = \cdots\cdots \\ &= \frac1{(n+1)!}\prod_{i=0}^n (\alpha-n+i)a_0 \\ &= \frac1{(n+1)!}\prod_{i=0}^n (\alpha-i) \\ &= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\cdots(\alpha-n+1)(\alpha-n)}{(n+1)!} \\ &= \binom\alpha{n+1} \end{aligned})]
따라서 [math(a_n = \dbinom\alpha n)]임을 알 수 있다. 참고로 [math(\alpha)]는 복소수 범위로 확장해도 성립하는 성질[1][2]이며 위의 무한등비급수는 이항급수에서 [math(\alpha=-1)], [math(x=-t)]에 해당하는 경우로 생각할 수 있다.

3.2. 활용

이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 [math(x\ll1)] 일 때 [math(n=1)] 항까지 취해 [math((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x)]로 근사하는 경우가 많은데, [math(x\ll1)] 이면 [math(x^2)] 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.

4. 삼각함수

4.1. sin 함수, cos 함수

  • [math(\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
    그래프 보기
  • [math(\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots )]
    그래프 보기
두 함수 모두 복소평면 전체에서 수렴한다.

4.1.1. 증명

사인과 코사인의 [math(n)]계도함수는 일반적으로 다음과 같다.
  • [math((\sin x)^{(n)} = \sin{\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)})]
  • [math((\cos x)^{(n)} = \cos{\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)})]
[math(x=0)], [math(n=1,\,2,\,3,\cdots)]을 차례대로 대입하면 무한급수를 도출할 수 있다.

4.1.2. 극한값

[math(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}x = 1)]
위 식은 사인함수의 테일러 급수식을 이용해서 용이하게 증명이 가능하다.
[math(\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
에서 양변을 [math(x)]로 나누면
[math(\dfrac{\sin x}x = 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
이 되는데 [math(x\to0)] 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.귀찮으면 로피탈 써도 된다.

노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(dfrac{sin x}x)]를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.

이러한 사실로부터 [math(|x| \ll 1)] 이면 [math(\sin x \approx x)]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
한편, 이 식은 단위까지 고려한 물리학에서도 성립하는 관계식(항등식)이기 때문에 차원 분석을 적용할 수 있다. 삼각함수의 결과값은 삼각비 혹은 단위원에서 단위가 같은 두 물리량의 비로 정의되는 까닭에 [math(\dim(\sin x) = {\sf1})], 즉 무차원량이므로 테일러 급수식에서 [math(\cfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!})]로 표기되는 모든 일반항 역시 무차원량이어야 한다. [math((-1)^n)], [math((2n+1)!)]은 순수한 수치로서 무차원량이므로, [math(\dim x = {\sf1})] 즉 [math(x)]가 각도 [math(\theta)](단위는 [math(\rm rad)])에서 유래한 양이라 하더라도 [math(\rm rad)]이 약분된 값, 즉 [math(x = \theta/{\rm rad})]여야 함을 용이하게 알 수 있다.

4.2. 나머지 함수들

[math(\tan x)], [math(\csc x)], [math(\cot x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할 오일러의 공식을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식[3]이라 일반항이 복잡하고 베르누이 수열([math(B_n)])이라는 특이한 수열을 매개로 정의된다. 심지어 [math(\sec x)]는 베르누이 수열로도 간단하게 정의가 안 돼서 오일러 수열([math(E_n)])이라는 또 다른 수열을 이용하는데, 또한 베르누이 수열은 제타함수의 일부 함숫값들이나 거듭제곱 합의 공식에, 오일러 수열은 디레클레 베타함수의 일부 함숫값을 나타낼때도 쓰인다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\{(-4)^n - (-16)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\ &= x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots\end{aligned})]
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\{2(-1)^n - (-4)^n\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x + \frac16x + \frac7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots\end{aligned})]
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\ &= \frac1x - \frac13x - \frac1{45}x^3 - \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots\end{aligned})]
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \\ &= 1 + \frac12x^2 + \frac5{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned})]
[math(\cot)]의 테일러 급수는 파섹을 정의할 때 요긴하게 쓰인다.

4.2.1. 다른 식

  • [math(\displaystyle \tan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{8x}{(2n+1)^2\pi^2-4x^2})]
  • [math(\displaystyle \sec x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n+1){\pi}}{{\left(n+ \dfrac12\right)}^2\pi^2-x^2})]
  • [math(\displaystyle \csc x = \frac1x + 2x \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-(n\pi)^2})]
  • [math(\displaystyle \cot x = \frac1x + 2x \sum_{n=1}^\infty \frac1{x^2 -(n\pi)^2})]
네 함수는 주기를 갖는 특이점이 있기 때문에 미타그레플레르 정리를 이용해 베르누이 수열, 오일러 수열 없이도 무한급수를 정의할 수 있다.

5. 역삼각함수

[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac12}n x^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)}x^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} \\ &= x + \frac16x^3 + \frac3{40}x^5 + \frac5{112}x^7 + \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \end{aligned})]
[math(!!)]은 이중계승 기호로 [math(2)]씩 빼서 곱하라는 뜻이다. 즉 [math((2n)!! = 2n \cdot \left( 2n-2 \right) \cdot \left( 2n-4 \right) \cdots\cdots 4 \cdot 2)]이다.
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \arccos x &= \frac \pi2 - \arcsin x \\ &= \frac\pi2 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} \\ &= \frac \pi2 - x - \frac16x^3 - \frac3{40}x^5 - \frac5{112}x^7 - \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \\ {\tiny\bullet}~\, \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \end{aligned})]
그래프 보기

5.1. 증명

기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서 적절하게 정리해주면 된다.
[math(\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x} \arcsin x &= \frac1{\sqrt{1-x^2}} \\ &= (1-x^2)^{-\frac12} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \binom {-\frac12}n(-x^2)^n \\ \therefore \arcsin x &= \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 12}n (-t^2)^n{\rm\,d}t \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} \end{aligned})]
[math(\arcsin x + \arccos x = \cfrac\pi2 \\ \therefore \arccos x = \cfrac\pi2 - \arcsin x)]
[math(\displaystyle \arctan x = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty (-t^2)^n{\rm\,d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1})]

5.1.1. 원주율 구하기

위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, [math(\arcsin1 = \cfrac\pi2)] 및 [math(\arctan 1 = \cfrac\pi4)]를 이용하는 것이다.
[math(\begin{aligned} \frac\pi2 &= 1 + \frac16 + \frac3{40} + \frac5{112} + \frac{35}{1152} + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 2 + \frac13 + \frac3{20} + \frac5{56} + \frac{35}{576} + \cdots\cdots \end{aligned})]
또는
[math(\begin{aligned} \frac\pi4 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \\ &= 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 4 - \frac43 + \frac45 - \frac47 + \frac49 - \cdots\cdots \\ &= 4 - \frac8{3{\cdot}5} - \frac 8{7{\cdot}9} - \frac 8{11{\cdot}13} - \cdots\cdots \end{aligned})]

그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.[4] 아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로 미친마친 공식(Machin-like formula)이다. 서로소인 정수 [math(a_i)], [math(b_i)]에 대해
[math(\arctan\dfrac{a_1}{b_1} + \arctan\dfrac{a_2}{b_2} = \arctan\dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2})]
(단, 위 값이 [math(\cfrac\pi2)]보다 작아야 성립)

이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
[math(\begin{aligned} \dfrac\pi4 &= \arctan\dfrac12 + \arctan\dfrac13 \\ &= 4\arctan\dfrac15 - \arctan\dfrac1{239}\end{aligned})]

6. 지수함수

[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\cdots)]
복소평면 전체에서 수렴한다.
그래프 보기

6.1. 증명

[math(f(x) = e^x)] 의 미분은 자기 자신, 즉 [math(f'(x) = e^x)]이다. 따라서 [math(f^{(n)}(0) = 1)]이 되므로,
[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}x^n)]
이 성립한다.[5]

6.2. 응용

6.2.1. 자연로그의 밑 구하기

이 식에서 [math(x=1)]을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
[math(e = \dfrac1{0!} + \dfrac1{1!} + \dfrac1{2!} + \dfrac1{3!} + \dfrac1{4!} + \cdots\cdots)]
이를 계산하면 [math(e)]의 값을 구할 수 있다. [math(n=4)]까지만 계산해 주어도 [math(\cfrac{65}{24} = 2.708333\cdots\cdots)]가 되어 참값 [math(2.7182818284\cdots\cdots)]와의 오차가 약 [math(0.37\,\%)]밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다. 참고로 위 식은 극한으로 정의된 식에 대해 이항급수를 적용해서 유도할 수도 있다.
[math(\begin{aligned} e &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^n \binom nr \frac 1{n^r} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{0!n!} \frac 1{n^0} + \sum_{r=1}^n \binom nr \frac 1{n^r} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots \left( n-r+2 \right) \left( n-r+1 \right)}{r!} \frac 1{n^r} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{ 1 \cdot \left( 1 - \frac 1n \right) \left( 1 - \frac 2n \right) \cdots \cdots \left( 1 - \frac{r-2}n \right) \left( 1 - \frac{r-1}n \right)}{r!} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} \left( 1- \frac 1n \right) + \frac 1{3!}\left( 1- \frac 1n \right) \left( 1- \frac 2n \right) +\cdots\cdots + \frac 1{n!} \prod_{r=1}^n \left( 1- \frac{r-1}n \right) \right\} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \end{aligned})]

하지만 위 증명의 마지막 부분은 엄밀하지 않다. 무한개가 더해져 있을 때는 시그마의 성질이 먹히지 않을 때가 있기 때문이다. 다행히도 주어진 테일러 급수는 실수 전체에서 절대수렴하기 때문에 위와 같이 유도할 수 있다.

6.2.2. 오일러의 공식 증명하기

상술한 [math(e^x)]에 [math(x)]대신 [math(ix)]를 대입해 보자. 단 [math(i = \sqrt{-1})]이다.
[math(\begin{aligned} e^{ix} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!} \\ &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots\cdots + \frac{(ix)^n}{n!} + \cdots\cdots\end{aligned})]
[math(i^2 = -1)], [math(i^3 = -i)], [math(i^4 = 1)]이므로,
[math(\begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \cdots\cdots \\ &= {\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots \right)} + i{\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots \right)} \end{aligned})]
따라서 아래 식을 보일 수 있다.
[math(\begin{aligned} e^{ix} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= \cos x+ i\sin x\end{aligned})]

6.2.3. 오차함수(error function)의 무한급수

확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수([math(\operatorname{erf}(x))])가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2}{\rm\,d}t)]
피적분함수를 무한급수로 전개할 수 있다.
[math(\displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!})]
따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)})]
정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{\frac{-t^2}2}{\rm\,d}t = \frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)2^n})]

7. 쌍곡선함수

7.1. sinh 함수, cosh 함수

[math(y=\sinh x)], [math(y=\cosh x)]는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.

먼저 쌍곡사인 함수는 [math(y=e^x)]의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}2 \\ &= \frac12{\left\{{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}-{\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}\right\}} \\ &= x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\cdots \\ \therefore \sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\end{aligned})]

쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}2 \\ &= \frac12 {\left\{{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}+{\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ \cdots\cdots \right)}\right\}} \\ &= 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\cdots \\ \therefore \cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{aligned})]

7.2. 나머지 함수들

삼각함수 항목에서 전술한대로 [math(\tanh x)], [math(\operatorname{csch}x)], [math(\coth x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 [math(\tanh x)]에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 [math(\coth x)]의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.[6] 역시 [math(\operatorname{sech}x)]는 오일러 수열([math(E_n)])을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ (16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac13 x^3 + \frac2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \operatorname{csch}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ (2 - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \operatorname{sech}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 - \frac12x^2 + \frac5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned})]

8. 로그함수

로그함수의 테일러 급수는 Mercator series라고도 불린다.
[math(\begin{aligned} \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}n \\ &= x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \quad (|x| < 1) \\ \ln x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}n \\ &= x-1 - \frac{(x-1)^2}2 + \frac{(x-1)^3}3 - \frac{(x-1)^4}4 + \cdots\cdots \quad (0 < x < 2) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac2{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \\ &= 2{\left\{{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)} + \frac13{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^3 + \frac15{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^5 + \cdots\cdots \frac1{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \cdots\cdots \right\}} \quad (x>0)\end{aligned})]
그래프 보기 [math(x > 1)]일 때는 로그의 원리를 이용하여 [math(- \ln \cfrac1x)]를 구하면 된다.
아래의 식은 위보다 더 빨리 수렴하는 테일러 급수이다.
[math(\displaystyle \ln x - \ln(x-1) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{nx^n} \quad (x >1))]

8.1. 증명

자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \ln (1+x) = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{1+t})]
피적분함수를 무한등비급수로 전개하면
[math(\begin{aligned} (1+t)^{-1} &= 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-t)^n\end{aligned})]
따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다.
[math(\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1})]
[math(\ln x)]의 경우는 위 식의 [math(x)]에 [math(x-1)]을 대입하면 된다.

한편, 무한등비급수에서 유래한 특징 때문에 위와 같은 급수식은 하나같이 [math(x)]값의 범위에 제한이 걸리는데, 다음과 같은 방식을 쓰면 [math(x>0)]인 범위의 새로운 급수식을 도출할 수 있다. 우선 [math(\cfrac1x)]를 다음과 같이 변형한다.
[math(\begin{aligned} \frac1x &= \frac4{4x} \\ &= \frac4{(x+1)^2-(x-1)^2} \\ &= \frac{\dfrac4{(x+1)^2}}{1 - {\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}^2}\end{aligned})]
그러면 위 식은 초항이 [math(\cfrac4{(x+1)^2})]이고 공비가 [math(\biggl(\cfrac{x-1}{x+1}\biggr)^2)]인 등비급수이다. 수렴 범위는
[math({\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}^2 = {\left(1 - \dfrac2{x+1}\right)}^2<1)]
에서 [math(x>0)]이고, 이 범위에서 등비급수로 고쳐쓰면
[math(\displaystyle \frac1x = \sum_{n=0}^\infty \frac4{(x+1)^2}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n} \quad (x>0))]
그런데 [math(\biggl(\cfrac{x-1}{x+1}\biggr)' = \cfrac2{(x+1)^2})]이므로 위 식을 [math([1,\,x])] 범위에서 정적분하면
[math(\begin{aligned} \ln x &= \int_1^x 2\sum_{n=0}^\infty \frac2{(t+1)^2}{\left(\frac{t-1}{t+1}\right)}^{2n}{\rm\,d}t \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac2{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \quad (x>0) \end{aligned})]

9. 람베르트 W 함수

[math(\begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \frac{54}5x^6 + \cdots\end{aligned})]

10. 프레넬 적분 함수

  • [math(\displaystyle S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!{\cdot}(4n+3)})]
  • [math(\displaystyle C(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!{\cdot}(4n+1)})]

11. 브링 근호

[math(\displaystyle \operatorname{BR}(-x) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}k\frac{(-1)^k x^{4k+1}}{4x+1})]

12. 타원 적분

  • [math(\displaystyle K(k) = \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty {\left\{ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \right\}}^2k^{2n})]
  • [math(\displaystyle E(k) = \frac\pi2 {\left[1- \sum_{n=1}^\infty {\left\{ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right\}}^2 \frac{k^{2n}}{2n-1} \right]})]

13. 무한 지수 탑 함수

[math(\begin{aligned} x^{x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}} &= x + \sum_{n=2}^\infty \frac{2^{n-1}-1}{n-1}(x-1)^n \\ &= x+(x-1)^2+\frac32(x-1)^3+\frac73(x-1)^4+\cdots \end{aligned})]



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[1] 이때 팩토리얼 기호가 자연수에 한해서 정의된다는 성질 때문에 조합 기호는 [math(\displaystyle \binom\alpha n = \frac1{n!}\prod_{i=0}^{n-1}(\alpha -i))]로 재정의된다. [2] 복소수를 받을 수 있는 감마 함수를 쓰면 되지 않나? 싶지만 감마 함수는 정의 자체가 어렵게 되어 있어서 여기다 쓰기엔 배보다 배꼽이 더 크다. [3] 즉, 쌍곡선 함수와 삼각함수가 복소수를 통해 매개된다는 사실을 바탕으로, 쌍곡선 함수 [math(\coth x)], [math(\tanh x)], [math(\operatorname{csch}x)]의 테일러 급수를 먼저 구하고 [math(x)]에 복소수 [math(ix)]를 대입하여 얻어진 식이다. [4] 특히 아크탄젠트는 어느정도냐 하면 십만개의 항까지 계산해야 [math(3.1415\bm8\cdots\cdots)]이 된다. [5] 사실 이건 테일러 급수 중 [math(a=0)]인 특수한 케이스( 매클로린 급수)를 이용한 것이다. [6] 애초에 식에 포함되는 베르누이 수열이 [math(\coth x)]를 이용해서 정의된다.