최근 수정 시각 : 2022-06-01 14:14:51

테일러 급수/목록

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1. 개요2. 무한등비급수 [math(\dfrac 1{1-x})]
2.1. 활용
3. 이항급수 [math( \left(1+x\right)^\alpha )]
3.1. 증명3.2. 활용
4. 삼각함수
4.1. sin 함수, cos 함수
4.1.1. 증명4.1.2. 극한값
4.2. 나머지 함수들
5. 역삼각함수
5.1. 증명
5.1.1. 원주율 [math(\pi)] 구하기
6. 지수함수 [math( e^x )]
6.1. 증명6.2. 응용
6.2.1. 자연로그의 밑 [math(e)] 구하기6.2.2. 오일러의 공식 [math(e^{ix}= \cos x + i \sin x)] 증명하기6.2.3. 오차함수(error function)의 무한급수
7. 쌍곡선함수
7.1. sinh 함수, cosh 함수7.2. 나머지 함수들
8. 로그함수 [math(\ln\left(1+x\right))]
8.1. 증명
9. 람베르트 W 함수 [math(W(x))]10. 프레넬 적분 함수11. 브링 근호 [math(\mathrm{BR}(-x))]12. 타원 적분13. 무한 지수 탑 함수

1. 개요

여러 대표적인 함수의 테일러 급수를 다루는 문서이다.

아래의 예들은 [math(x_0=0)] 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.

2. 무한등비급수 [math(\dfrac 1{1-x})]

[math(\displaystyle \frac 1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\cdots, (|x|<1))]
그래프 보기
[math(k)]값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) [math(|x|<1)]외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.

2.1. 활용

아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.

저 [math(|x|<1)] 조건을 두지 않고 값을 구하는 것이 이른바 라마누잔합이다.

3. 이항급수 [math( \left(1+x\right)^\alpha )]

[math(\displaystyle \left(1+x\right)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom\alpha n x^n = 1 + \frac\alpha{1!} x + \frac{\alpha \left(\alpha - 1\right)}{2!} x^2 + \cdots\cdots + \frac{\displaystyle \prod_{r=0}^{n-1} \left(\alpha - r \right)}{n!} x^n + \cdots\cdots )]

3.1. 증명

구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
[math(\displaystyle y=\left( 1+x \right)^\alpha=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n)]
양 변을 미분하면
[math(\displaystyle y' = \alpha \left( 1+x \right)^{\alpha-1}=a_1+2a_2 x+3a_3 x^2+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( n+1 \right)a_{n+1}x^n)]
위 두 식을 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다.
[math(\alpha \left( 1+x \right)^\alpha = \alpha y = \left( 1+x \right)y' \\ \therefore y'=\alpha y-xy')]
여기서 [math(xy')]의 무한급수는
[math(\displaystyle xy'=0+a_1 x+2a_2 x^2+\cdots\cdots =\sum_{n=0}^\infty na_n x^n)]
이므로 미분방정식에서 각 항의 계수를 견주면 점화식이 나온다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \left( n+1 \right)a_{n+1} x^n &= \alpha \sum_{n=0}^\infty a_n x^n- \sum_{n=0}^\infty na_n x^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left(\alpha - n \right) a_n x^n \end{aligned} \\ \left( n+1 \right)a_{n+1} = \left( \alpha-n \right)a_n, \ a_0=1 \\ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{\alpha - n}{n+1}a_n = \frac{\left( \alpha - n \right) \left( \alpha -n+1 \right)}{\left(n+1 \right) n} a_{n-1} = \frac{\left( \alpha -n \right) \left( \alpha -n+1 \right) \left( \alpha -n+2 \right)}{\left( n+1 \right) n \left( n-1 \right)} a_{n-2} = \cdots\cdots \\ &= \frac 1{(n+1)!} \prod_{i=0}^n \left( \alpha -n+i \right) a_0 = \frac 1{(n+1)!} \prod_{i=0}^n \left( \alpha -i \right) = \frac{\alpha \left(\alpha -1 \right) \left(\alpha -2 \right) \cdots\cdots \left(\alpha -n+1 \right) \left(\alpha -n \right)}{(n+1)!} \\ &= \binom\alpha{n+1} \end{aligned})]
따라서 [math(a_n=\dbinom\alpha n)]임을 알 수 있다. 참고로 [math(\alpha)]는 복소수 범위로 확장해도 성립하는 성질[1][2]이며 위의 무한등비급수는 이항급수에서 [math(\alpha=-1)], [math(x=-t)]에 해당하는 경우로 생각할 수 있다.

3.2. 활용

이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 [math(x\ll1)] 일 때 [math(n=1)] 항까지 취해 [math(\left(1+x\right)^\alpha \approx 1 + \alpha x)]로 근사하는 경우가 많은데, [math(x\ll1)] 이면 [math(x^2)] 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.

4. 삼각함수

4.1. sin 함수, cos 함수

[math(\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
그래프 보기
[math(\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots )]
그래프 보기

두 함수 모두 복소평면 전체에서 수렴한다.

4.1.1. 증명

사인과 코사인의 [math(n)]계도함수는 일반적으로 다음과 같다.
  • [math(\left( \sin x \right)^{(n)} = \sin \left(x+\dfrac{n\pi}2\right))]
  • [math(\left( \cos x \right)^{(n)} = \cos \left(x+\dfrac{n\pi}2\right))]
[math(x=0)], [math(n=1, \ 2, \ 3, \cdots\cdots)]을 차례대로 대입하면 무한급수를 도출할 수 있다.

4.1.2. 극한값

[math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1)]
[math(\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
에서 양변을 [math(x)]로 나누면
[math(\displaystyle \frac{\sin x}x = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
이 되는데 [math(x \to 0)] 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.귀찮으면 로피탈 써도 된다.

노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(dfrac{sin x}x)]를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.

이러한 사실로부터 [math(|x| \ll 1)] 이면 [math(\sin x \approx x)]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.

4.2. 나머지 함수들

[math(\tan x)], [math(\csc x)], [math(\cot x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할 오일러의 공식을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식[3]이라 일반항이 복잡하고 베르누이 수열([math(B_n)])이라는 특이한 수열을 매개로 정의된다. 심지어 [math(\sec x)]는 베르누이 수열로도 간단하게 정의가 안 돼서 오일러 수열([math(E_n)])이라는 또 다른 수열을 이용하는데, 테일러 급수 말고도 거듭제곱 합의 공식에도 쓰이는 베르누이 수열과는 달리 오일러 수열은 오로지 [math(\sec x)]와 [math(\mathrm{sech}\, x)]만을 나타내기 위해 쓰인다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left\{ \left( -4 \right)^n - \left( -16 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac 13 x^3 + \frac 2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ \csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left\{ 2 \left( -1 \right)^n - \left( -4 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x + \frac 16 x + \frac 7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ \cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -4 \right)^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x - \frac 13 x - \frac 1{45}x^3 - \frac 2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ \sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -1 \right)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 + \frac 12 x^2 + \frac 5{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned})]

[math(\cot)]의 테일러 급수는 파섹을 정의할 때 요긴하게 쓰인다.

4.2.1. 다른 식

[math(\begin{aligned} \displaystyle \tan{x} &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {8x}{(2n+1)^2{\pi}^2-4x^2} \\
\sec{x} &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n(2n+1){\pi}}{\left(n+ \dfrac {1}{2}\right)^{\! 2}\!{\pi}^2-x^2} \\
\csc{x} &= \dfrac {1}{x} + 2x \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{x^2-(n{\pi})^2} \\
\cot{x} &= \dfrac {1}{x} + 2x \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {1}{x^2 -(k{\pi})^2}\end{aligned})]
네 함수는 주기를 갖는 특이점이 있기 때문에 미타그레플레르 정리를 이용해 베르누이 수열, 오일러 수열 없이도 무한급수를 정의할 수 있다.

5. 역삼각함수

[math(\displaystyle \begin{aligned} \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n+1)!!}{(2n)!! \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n \left( n! \right)^2 \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} \\ &= x + \frac 16 x^3 + \frac 3{40}x^5 + \frac 5{112}x^7 + \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \end{aligned})]
[math(!!)]은 이중계승 기호로 [math(2)]씩 빼서 곱하라는 뜻이다. 즉 [math((2n)!! = 2n \cdot \left( 2n-2 \right) \cdot \left( 2n-4 \right) \cdots\cdots 4 \cdot 2)]이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \arccos x &= \frac \pi2 - \arcsin x = \frac \pi2 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n \left( n! \right)^2 \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} \\ &= \frac \pi2 - x - \frac 16 x^3 - \frac 3{40}x^5 - \frac 5{112}x^7 - \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \\ \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \end{aligned})]
그래프 보기

5.1. 증명

기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서 적절하게 정리해주면 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin x &= \frac 1{\sqrt{1-x^2}} = \left( 1 - x^2 \right)^{-\frac 12} = \sum_{n=0}^\infty \binom {-\frac 12}n \left( -x^2 \right)^n \\ \therefore \arcsin x &= \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 12}n \left( -t^2 \right)^n \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} \end{aligned})]
[math(\displaystyle \arcsin x + \arccos x = \frac \pi2 \\ \therefore \arccos x = \frac \pi2 - \arcsin x)]
[math(\displaystyle \arctan x=\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \left(-t^2 \right)^n \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1})]

5.1.1. 원주율 [math(\pi)] 구하기

위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, [math(\arcsin 1 = \dfrac \pi2)] 및 [math(\arctan 1=\dfrac \pi4)]를 이용하는 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac \pi2 &= 1 + \frac 16 + \frac 3{40} + \frac 5{112} + \frac{35}{1152} + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 2 + \frac 13 + \frac 3{20} + \frac 5{56} + \frac{35}{576} + \cdots\cdots \end{aligned})]
또는
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac \pi4 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} = 1 - \frac 13 + \frac 15 - \frac 17 + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 4 - \frac 43 + \frac 45 - \frac 47 + \frac 49 - \cdots\cdots = 4-\frac 8{3\cdot 5} - \frac 8{7\cdot 9} - \frac 8{11\cdot 13} - \cdots\cdots \end{aligned})]

그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.[4] 아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로 미친마친 공식(Machin-like formula)이다. 서로소인 정수 [math(a_i)], [math(b_i)]에 대해
[math(\arctan\dfrac{a_1}{b_1} + \arctan\dfrac{a_2}{b_2} = \arctan\dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2})]
(단, 위 값이 [math(\dfrac \pi2)]보다 작아야 성립)

이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
[math(\dfrac \pi4 = \arctan\dfrac 12 + \arctan\dfrac 13 = 4\arctan\dfrac 15 - \arctan\dfrac 1{239})]

6. 지수함수 [math( e^x )]

[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\cdots)]
복소평면 전체에서 수렴한다.
그래프 보기

6.1. 증명

[math(f\left(x\right) = e^x)] 의 미분은 자기 자신, 즉 [math(f'\left(x\right) = e^x)]이다. 따라서 [math(f^{(n)}\left(0\right) = 1)]이 되므로,
[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}\left(0\right)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}x^n)]
이 성립한다.[5]

6.2. 응용

6.2.1. 자연로그의 밑 [math(e)] 구하기

이 식에서 [math(x=1)]을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
[math(e = \dfrac 1{0!} + \dfrac 1{1!} + \dfrac 1{2!} + \dfrac 1{3!} + \dfrac 1{4!} + \cdots\cdots)]
이를 계산하면 [math(e)]의 값을 구할 수 있다. [math(n=4)]까지만 계산해 주어도 [math(\dfrac{65}{24} = 2.708333\cdots\cdots)]가 되어 참값 [math(2.7182818284\cdots\cdots)]와의 오차가 약 [math(0.37\%)]밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다. 참고로 위 식은 극한으로 정의된 식에 대해 이항급수를 적용해서 유도할 수도 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} e &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^n \binom nr \frac 1{n^r} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{0!n!} \frac 1{n^0} + \sum_{r=1}^n \binom nr \frac 1{n^r} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots \left( n-r+2 \right) \left( n-r+1 \right)}{r!} \frac 1{n^r} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{ 1 \cdot \left( 1 - \frac 1n \right) \left( 1 - \frac 2n \right) \cdots \cdots \left( 1 - \frac{r-2}n \right) \left( 1 - \frac{r-1}n \right)}{r!} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} \left( 1- \frac 1n \right) + \frac 1{3!}\left( 1- \frac 1n \right) \left( 1- \frac 2n \right) +\cdots\cdots + \frac 1{n!} \prod_{r=1}^n \left( 1- \frac{r-1}n \right) \right\} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \end{aligned})]

하지만 위 증명의 마지막 부분은 엄밀하지 않다. 무한개가 더해져 있을 때는 시그마의 성질이 먹히지 않을 때가 있기 때문이다. 다행히도 주어진 테일러 급수는 실수 전체에서 절대수렴하기 때문에 위와 같이 유도할 수 있다.

6.2.2. 오일러의 공식 [math(e^{ix}= \cos x + i \sin x)] 증명하기

상술한 [math(e^x)]에 [math(x)]대신 [math(ix)]를 대입해 보자.([math(i = \sqrt{-1})])
[math(\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(ix\right)^n}{n!} = 1 + ix + \frac{\left(ix\right)^2}{2!} + \frac{\left(ix\right)^3}{3!} + \frac{\left(ix\right)^4}{4!} + \cdots\cdots + \frac{\left(ix\right)^n}{n!} + \cdots\cdots)]
[math(i^2 = -1)], [math(i^3 = -i)], [math(i^4 = 1)]이므로,
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i \frac{x^5}{5!} + \cdots\cdots \\ &= \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots \right) \end{aligned})]
따라서 아래 식을 보일 수 있다.
[math(\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \cos x+ i\sin x)]

6.2.3. 오차함수(error function)의 무한급수

확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수([math(\mathrm{erf} \left(x\right))])가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \, dt)]
피적분함수를 무한급수로 전개할 수 있다.
[math(\displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n t^{2n}}{n!})]
따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac 2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)})]
정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{\frac{-t^2}2} \, dt = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\left( -1 \right)^n x^{2n+1}}{n! \left( 2n+1 \right) 2^n})]

7. 쌍곡선함수

7.1. sinh 함수, cosh 함수

[math(y=\sinh x)], [math(y=\cosh x)]는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.

먼저 쌍곡사인 함수는 [math(y=e^x)]의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
[math(\displaystyle \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}2 = \frac 12 \left\{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)-\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)\right\} = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\cdots \\ \therefore \sinh x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})]

쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
[math(\displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}2 = \frac 12 \left\{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)+\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ \cdots\cdots \right)\right\} = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\cdots \\ \therefore \cosh x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!})]

7.2. 나머지 함수들

삼각함수 항목에서 전술한대로 [math(\tanh x)], [math(\mathrm{csch}\, x)], [math(\coth x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 [math(\tanh x)]에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 [math(\coth x)]의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.[6] 역시 [math(\mathrm{sech}\, x)]는 오일러 수열([math(E_n)])을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left( 16^n - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x - \frac 13 x^3 + \frac 2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ \mathrm{csch}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( 2 - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x - \frac 16x + \frac 7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x + \frac 13x - \frac 1{45}x^3 + \frac 2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ \mathrm{sech}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac 12x^2 + \frac 5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned})]

8. 로그함수 [math(\ln\left(1+x\right))]

로그함수의 테일러 급수는 Mercator series라고도 불린다.
[math(\displaystyle \ln\left(1+x\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \ (-1<x \leq 1))]
그래프 보기 x > 1일 때는 로그의 원리를 이용하여 [math(- \ln \frac{1}x)]를 구하면 된다.
위보다 더 빨리 수렴하는 테일러 급수도 있다.
[math(\displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{nx^n} \ (x >1))]
이것이다.

8.1. 증명

자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \ln \left(1+x\right)=\int_0^x \frac {dt}{1+t})]
피적분함수를 무한등비급수로 전개하면
[math(\displaystyle \left(1+t\right)^{-1} = 1-t+t^2-t^3+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left(-t\right)^n)]
따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다.
[math(\displaystyle \ln \left(1+x\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{n+1}}{n+1})]

9. 람베르트 W 함수 [math(W(x))]

[math(\begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \frac{54}5x^6 + \cdots\end{aligned})]

10. 프레넬 적분 함수

[math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} )]

11. 브링 근호 [math(\mathrm{BR}(-x))]

[math(\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]

12. 타원 적분

  • [math(\displaystyle K(k) =\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\ =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n})]
  • [math(\displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] )]

13. 무한 지수 탑 함수

[math(\displaystyle \begin{aligned} x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }\!\!\!&= x+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n-1} -1}{n-1}(x-1)^n \\ &= x+(x-1)^2+\frac{3}{2}(x-1)^3+\frac{7}{3}(x-1)^4+\cdots \end{aligned})]



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[1] 이때 팩토리얼 기호가 자연수에 한해서 정의된다는 성질 때문에 조합 기호는 [math(\displaystyle \binom\alpha n = \frac 1{n!} \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha -i \right))]로 재정의된다. [2] 복소수를 받을 수 있는 감마 함수를 쓰면 되지 않나? 싶지만 감마 함수는 정의 자체가 어렵게 되어 있어서 여기다 쓰기엔 배보다 배꼽이 더 크다. [3] 즉, 쌍곡선 함수와 삼각함수가 복소수를 통해 매개된다는 사실을 바탕으로, 쌍곡선 함수 [math(\coth x)], [math(\tanh x)], [math(\mathrm{csch}\, x)]의 테일러 급수를 먼저 구하고 [math(x)]에 복소수 [math(ix)]를 대입하여 얻어진 식이다. [4] 특히 아크탄젠트는 어느정도냐 하면 십만개의 항까지 계산해야 [math(3.1415\mathbf{8}\cdots\cdots)]이 된다. [5] 사실 이건 테일러 급수 중 [math(a=0)]인 특수한 케이스( 매클로린 급수)를 이용한 것이다. [6] 애초에 식에 포함되는 베르누이 수열이 [math(\coth x)]를 이용해서 정의된다.