최근 수정 시각 : 2024-03-11 10:27:50

부분적분

해석학· 미적분학
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1. 개요2. 유도3. 우선 순위: LIATE 법칙4. 도표적분법5. 스틸체스 적분6. 예제7. 고등학교 교과과정에서8. 여담9. 관련 문서

1. 개요

/ integration by parts
부분적분이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분하는 기법이다.

미분가능한 연속 함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해서 다음과 같이 부정적분, 정적분할 수 있다. 이때 [math(f(x))], [math(g(x))]의 도함수도 각각 연속이어야 한다. 곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ f(x)g(x) \biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )]

2. 유도

곱의 미분법에 따라 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}g(x) )]
양변을 적분하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
그런데, 좌변은
[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x) )]
이므로 결국 다음 결과를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
위의 결과에서 이항을 하고 [math({\rm d}f(x)/{\rm d}x \equiv f'(x))], [math({\rm d}g(x)/{\rm d}x \equiv g'(x))]로 쓰면 다음과 같은 부분적분 공식이 유도된다.
[math(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x )]

3. 우선 순위: LIATE 법칙

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 부분적분/LIATE 법칙 문서
번 문단을
부분을
참고하십시오.

4. 도표적분법

부분적분을 빠르게 계산하는 방법이다.

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 세로셈법 문서
번 문단을
도표적분법 부분을
참고하십시오.

5. 스틸체스 적분

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - \int g(x)\,\mathrm{d}f(x) \\ \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d} g(x) &= \biggl[ f(x)g(x)\biggr]_a^b-\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} f(x) \end{aligned} )]

미분계수가 함수인 꼴의 부분적분도 가능하다. 이 경우 미분을 하지 않는다는 차이점이 있다.[1]

위 식에서 [math(f(x) = u)], [math(g(x) = v)]를 이용해 간략하게 나타낼 수 있다. 주로 영미권 원서에서 이런 표기를 사용한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int u\,\mathrm{d}v&=uv-\int v\,\mathrm{d}u \end{aligned} )]

6. 예제

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 부분적분/예제 문서
번 문단을
부분을
참고하십시오.

7. 고등학교 교과과정에서

구 교육과정(2009 개정 교육과정)에선 미적분Ⅱ, 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에선 미적분에서 자연계열 학생만 배우는 방법이다. 교과서나 EBS교재[2] 등을 보면 항목 맨 위의 방법으로만 하라고 나와있어 [math( x \ln x )]나 [math( a x \cos x )]꼴의 함수 등을 계산하기 상당히 까다롭다. 세로셈식은 엄연한 정규 방법인데도 로피탈의 정리가 마검이면 이건 가히 엑스칼리버라 할 수 있을 만큼 쉬워진다. 그렇다고 저 정의식을 모르면 안되는 것이, 평가원이 가끔 정의식으로 해야 풀리는 문제를 출제한다.[3] 또한 적분파트의 최종보스로 이게 부분적분 써야 하나 치환적분 써야 하나 헷갈리는 문제도 많다. 공식을 유도하고 기출문제를 풀어 감을 익히는 것이 중요하다. 부분적분은 이과 수학 중 가장 계산이 더럽고 복잡한 연산법이라고 흔히들 이야기하기도 한다.

8. 여담

다항함수 정적분을 편리하게 계산하는 다음의 공식 역시 부분적분을 통하여 유도된다. 자세한 내용은 다항함수/공식/넓이 참고.
[math(\begin{aligned}\left|\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\;{\rm d}x\right|&=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}|a|(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\;{\rm d}x\\&=\dfrac{|a|(m!n!)}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\end{aligned})]

9. 관련 문서


[1] 다만 미분계수 쪽의 함수가 미분가능하다면 미분한 상태로 적분식에 곱해주어 일반 적분으로 바꿀 수 있다. [2] 수능특강, 수능완성 [3] 2017학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 가형 21번 등.