수반 연산자

선형대수학 Linear Algebra
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1. 수반 연산자(adjoint operator)의 정의2. 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성3. 자기 수반(self-adjoint) 연산자4. 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들5. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)

5.1. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)5.2. 정규 연산자(normal operator)5.3. 따름 정리들

역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬(adjoint matrix)와는 이름이 같지만, 아무 상관도 없다. 역행렬을 구할 때 쓰이는 수반 행렬은 고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)이라 불린다.

1. 수반 연산자(adjoint operator)의 정의

체 [math(F)] 위의 벡터 공간 [math(V)]와 그 위의 내적 [math(\left(\cdot\mid\cdot\right))] , 선형 연산자 [math(T)]를 생각하자. [math(V)] 위의 선형 연산자 [math(U)]가 [math(T)]의 수반 연산자(adjoint operator)라 함은 다음이 성립하는 것이다.

* [math(\left(u\mid Tv\right)=\left(Uu\mid v\right))]

이 때 [math(U=T^{*})]로 표기한다.[1]

자명하게, [math(T)]가 수반 연산자를 가지면, [math(T^{*})] 역시 그러하며 [math(T=T^{**})]이다.
[math(T)], [math(U)]가 수반 연산자를 가지면, [math(TU)] 역시 그러하며 [math(\left(TU\right)^{*}=U^{*}T^{*})]이다.

유한 차원 벡터 공간에서는, 모든 선형 연산자는 수반 연산자를 갖는다. 그러나 무한 차원 벡터 공간에서는 경우마다 다르다. [math(T)]가 수반 연산자를 갖는 경우, [math(T^{*})]라 표현한다.
내적을 보통, [math(F=\mathbb{R},\mathbb{C})]에서 다루므로, 수반 연산자도 [math(F=\mathbb{R},\mathbb{C})]에서 다루는 것이 일반적이다.

2. 유한차원 벡터 공간에서의 수반 연산자의 존재성

그람-슈미트 과정에 의하면, [math(V)]의 기저 [math(\mathcal{B}=\left\{ \epsilon_{i}:1\leq i\leq n\right\} )]가 존재하여, 임의의 [math(u,v\in V)]에 대해, [math(\left(u\mid v\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}})]이다. 이것을 이용하면 다음을 얻는다. [math(\left(u\mid Tv\right)=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[Tv\right]_{\mathcal{B}}=\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}\left[v\right]_{\mathcal{B}}\right)=\left(\left[u\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[T\right]_{\mathcal{B}}\right)\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}})]이다. [math(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*})]에 해당하는 선형 변환을 [math(U)]라 하면,
[math(\left(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[u\right]_{\mathcal{B}}\right)^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left[Uu\right]_{\mathcal{B}}^{*}\left[v\right]_{\mathcal{B}}=\left(Uu\mid v\right))]이다. 따라서, [math(T^{*})]는 [math(T^{*}=U)]로 존재한다.

이 과정에서 알 수 있듯이, 수반 연산자는 Hermitian 연산으로 직접 주어진다. Hermitian 연산자를 단순히 전치해주고, 켤레를 취해주는 것보다는, 수반 연산자의 관점으로 보는 것이 더 본질적이다.

다음을 쉽게 보일 수 있다.

[math(T)]를 임의의 선형 연산자라 하자. [math(W)]가 [math(T)]의 불변부분공간이면, [math(W^{\perp})]는 [math(T^{*})]의 불변부분공간이다.

3. 자기 수반(self-adjoint) 연산자

[math(T)]의 수반 연산자가 [math(T^{*}=T)]이면 자기 수반 연산자(self-adjoint)라 한다. 달리 에르미트 연산자(Hermitian operator)라고 하기도 한다.

4. 수반 행렬의 성질에 관한 특별한 행렬들

군(대수학) 문서 참조. [math(\text{GL}_{n})]는 n×n 가역행렬을 모은 일반선형군(General Linear Group)이며, [math(\text{SL}_{n})]는 그 중 행렬식이 1인 행렬을 모은 특수선형군(Special Linear Group)이다.

[math(F=\mathbb{R})]
[math(F=\mathbb{R})]일 때는, 켤레를 취해주는 과정이 무의미하므로, [math(^{*})]대신 전치인 [math(^{t})]를 쓴다.[2]

직교군(orthogonal group) [math(\text{O}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\})]
직교군에 속하는 행렬들을 직교행렬(orthogonal matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 내적을 보존해준다.
특수 직교군(special orthogonal group) [math(\text{SO}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}A=I\right\})]
자기 수반 행렬 [math(\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right):A^{t}=A\right\})]
대칭행렬(symmetric matrix)이라고도 부른다.

[math(F=\mathbb{C})]

유니타리군(unitary group) [math(\text{U}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\})]
유니타리군에 속하는 행렬들을 유니타리 행렬(unitary matrix)이라 부른다. 이 행렬들은 에르미트 내적(Hermitian inner product)을 보존해준다.
특수 유니타리군(special unitary group) [math(\text{SU}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{SL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}A=I\right\})][3]
에르미트 행렬(Hermitian matrix) [math(\left\{ A\in\text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right):A^{*}=A\right\})]

5. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)와 정규 연산자(normal operator)

5.1. 유니타리 대각화(unitary diagonalization)[4]

유니타리 대각화(unitary diagonalization)는 행렬 [math(A\in M_{n}\left(F\right))]를, 적절한 [math(U\in\text{U}_{n})]와 대각행렬[5] [math(D\in M_{n}\left(\mathbb{C}\right))]를 찾아, [math(A=UDU^{*})]로 표현하는 일이다. [math(U^{*}=U^{-1})]이므로, 대각화의 일종으로, 더 강한 개념이다.

질문은 이것이다. 어떤 행렬이 유니타리 대각화 가능할 필요충분조건은 무엇인가? 자명하게, [math(A)]유니타리 대각화 가능이면, [math(A^{*}A=AA^{*})]이다. 이것의 역도 성립할까? 정규 연산자 개념이 이에 대한 긍정적인 답을 준다.

5.2. 정규 연산자(normal operator)

유한 차원 벡터 공간[math(V)] 상의 선형 변환 [math(T)]가 정규 연산자(normal operator)라 함은, [math(T^{*}T=TT^{*})]가 성립하는 것이다.

다음이 성립한다.

[math(T)]를 정규 연산자라 하자. 임의의 [math(c\in \mathbb{C})], [math(v\in V)]에 대해, [math(Tv=cv)]이면, [math(T^{*}v=\overline{c}v)]이다.

이것에서 다음을 얻는다.

[math(T)]를 정규 연산자, [math(\mu)], [math(\lambda)]를 [math(T)]의 서로 다른 고유치라 하자. 그러면, [math(W_{\lambda}\perp W_{\mu})]이다.[6]

여기서, 직교 분해 [math({\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}<V)]를 얻는다.[math(W:={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda})]에 대해, [math(W)]가 [math(T)]의 불변 부분 공간이다. 따라서, #s-1의 가장 마지막 명제를 적용하면, [math(W^{\perp})]가 [math(T^{*})]의 불변부분공간이다. [math(\left.T^{*}\right|_{W^{\perp}}:W^{\perp}\rightarrow W^{\perp})]이다. [math(W^{\perp}\neq\left\langle \emptyset\right\rangle )]을 가정하면, [math(c\in \mathbb{C})], [math(0\neq v\in W^{\perp})]가 존재하여, [math(T^{*}v=cv)]이다. 따라서, [math(Tv=\overline{c}v)]이다. 따라서, [math(v\in W)]인데 이는 모순이다. 따라서, [math(W^{\perp}=0)]이다. 고로, [math(V=W\bigoplus W^{\perp}={\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda})]이다.

이상에서 본 것과 같이 정규 연산자와 유니타리 대각화 가능은 동치이다. [math(A=UDU^{*})]인 [math(U\in\text{U}\left(n\right))]는 [math(W_{\lambda})]의 직교 기저들로 구성해주면 된다. 보통 이를 정규연산자의 스펙트럼 정리(spectral theorem)라 부른다.

5.3. 따름 정리들

대칭행렬(혹은 자기수반 행렬)은 유니타리 대각화 가능이고, 그 대각행렬은 실행렬이다. 대칭행렬의 고유치는 실수라는 것을 이용하면 된다. 그리고 대칭행렬은 정규 연산자이다.
유니타리 행렬도 정규 연산자이므로 유니타리 대각화를 할 수 있고, 고유치는 절댓값 1의 복소수가 된다.

[1] 보통은 칼표를 쓴 [math(U=T^{\dag})]를 자주 쓴다. [2] 뭘 사용해도 상관은 없다. [3] 특수 유니터리군의 원소가 이루는 리 대수(Lie algebra)는 블랙 레터를 쓴 [math(\mathfrak{su} \left(n\right))]로 구분하기도 한다. [4] 실행렬의 경우, 유니타리 개념이 직교 개념이 되므로, 직교 대각화(orthogonally diagonalization) 가능이라 부르면 된다. 이하의 논의에서도 유니타리를 모두 직교로 바꿔 읽으면 된다. [5] 대각선 외의 성분이 모두 [math(0)]인 행렬, 대각선의 성분은 [math(0)]이어도 좋다. [6] [math(W_{\mu})], [math(W_{\lambda})]는, [math(\mu)], [math(\lambda)]에 해당하는 고유 공간이다.