1. 개요
fractional calculus · 分數階 微積分學분수계 미적분학은 미분연산자와 적분연산자의 실수승과 복소수승의 여러 가능성을 연구하기 위한 수학적 분석의 한 갈래이다. 미분 연산자 D와 적분 연산자 J는 다음과 같이 정의된다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} Df(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\\Jf(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t\end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} D^n(f) = (\underbrace{D\circ D\circ D\circ\cdots \circ D}_n)(f) = \underbrace{D(D(D(\cdots D}_n (f)\cdots)))\end{aligned} )] |
2. 직관
x>0에서 정의된 함수 f(x)에 관해서 0에서 x까지 적분하는 것을 앞서 적분 연산자 J로 삼았다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} Jf(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t\end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} J^2f(x)=\int_{0}^{x} \left ( \int_{0}^{t}f(s)\mathrm{d}s \right ) \mathrm{d}t\end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} J^nf(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{x} (x-t)^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} J^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{x} (x-t)^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\end{aligned} )] |