|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px;min-height:2em" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 | ||
| 범주론 | 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 불완전성 정리 · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
範 疇 論, 圏 論[1] / CATEGORY THEORY수학 전반에서 등장하는 각종 수학적 구조와 그들 간의 관계를 메타 개념으로 생각하여, 그들을 범주(category)라는 추상적인 개념으로 묶어서 다루는 이론. 본래는 대수학 및 대수위상수학에서의 필요에 의해 창시되고 체계화하였지만, 점차 토포스 이론, 층 이론, 타입 이론 등 깊고 깊은 세부 및 연계 분야가 발전해나가며 수많은 분야에 영향을 끼치고 공리적 집합론의 대안으로까지 거론되는등 현대수학의 뼈대가 되는 핵심 이론으로 주목받고 있다.
2. 내용
수학과 학부 전공심화과정 이상의 수준에서 대수학과 위상수학 등을 일정 수준 이상으로 공부하다 보면, 배우는 분야마다 해당 분야에서 관심이 있는 '특정 구조를 가지는 집합'들과 '그 집합들 사이의 대응관계'라는 비슷한 구조가 나타나며 심지어는 자기가 읽고 있는 교과서가 여러 가지 논리전개나 서술 방식을 우려먹는(?)다는 느낌도 받게 된다.범주론에서 다루는 범주(category)는 쉽게 말하면 아주 간단한 몇몇 조건을 만족시키는 대상(object)과 그 대상들 사이의 관계를 나타내는 사상(morphism)의 모음인데, 이 대상과 사상은 그 조건만 만족시키면 말 그대로 무엇이든 가능해서, 대상은 굳이 어떠한 집합일 필요가 없고 사상도 굳이 어떠한 함수일 필요도 없다. 물론 이렇게 정의된 범주들 사이의 대응관계도 생각해볼 수 있는데, 두 범주를 대응시키는 사상을 '함자(functor)'라고 한다. 물론 이 범주들과 함자들을 또 하나의 범주로 보고(...) 범주의 범주를 정의할 수도 있다.
범주론을 전공한 수학자 겸 피아니스트 겸 작가인 Eugenia Cheng 박사가 전세계 함수형 프로그래머들의 정모인 Lambda World 2017에 참석하여 가진 프리젠테이션 영상. 본업이 프로그래머가 아니다보니 어려운 프로그래밍에 관한 주제보다는 비전공자를 위한 실생활 속 예시를 들며 범주론 소개에 치중한 내용이라 비전공자에게도 영어가 들린다면 범주론에 대해 흥미를 돋구기 좋다.
이렇듯 고도로 추상적인 분야이지만 기존 집합론이 한계를 보여줬던 많은 분야에서 범주론이 그 대안으로 인식되기 시작되면서 수학 전반에 걸쳐 사용되기 시작[3] 하고, 심지어는 컴퓨터 공학과 같은 응용 학문에서도 범주론을 끌어다 쓰기까지 한다. 오히려 어떤 면에서는 대수학 전공자가 아니라 덕력 높은 프로그래머 및 컴퓨터 사이언티스트들이 범주론을 논하는
3. 참고 서적
보통 이 분야의 창시자 중 한명인 Saunders Mac Lane이 집필한 《Categories for the Working Mathematician》[4]이 스탠다드 교재로 평가받지만 신생분야치고는 연식이 오래된 책이라 처음 카테고리 이론을 배우려는 학생들 눈높이와는 조금 괴리감이 있을 수 있다. 그 외에도 Mac Lane의 제자인 Steve Awodey의 《Category Theory》도 참고서로 종종 언급되는 편. Francis Borceux가 지은 《Handbook of Categorical Algebra》 3부작은 카테고리 이론을 바탕으로 대수학도들이 목말라하는 주제를 폭넓게 다루고 있다. 이외에도 대학원 수준 대수학 교재에서는 한 소챕터나 부록 등에 간단한 카테고리 이론이 들어가 있는 경우도 많으니 참고하자. 예를 들면 대수학의 명저 중 하나인, 서지 랭의 《Algebra》에서도 카테고리 이론 챕터가 나오는데, 정말 핵심적인 내용만 소개하고 넘어가지만 그것만으로도 평이 상당히 좋다. 이야기책(...)으로 악명 높은 서울대 이인석 교수의 《학부 대수학 강의 II : 대수학》에서도 그 영향으로 초반부터 카테고리 이론을 통해 구조에 대해 추상적으로 접근한다.당연하지만 대수학 전공자들만 범주론을 공부하는 것은 아니라서, 집합론이나 수리논리학을 중심으로 다룬 교과서 중에서 카테고리 이론을 다루는 예도 있다.
다만 아예 이 쪽을 전공으로 하지 않는다면 굳이 한 우물만 팔 필요는 없고, 다른 수학분야(주로 대수학)를 공부하면서 해당 개념이 등장할 때 관련 서적을 찾아서 개념을 보충하는 정도로 공부해서 이미지를 잡아가도 충분하다. 물론 대수기하학이나 호몰로지 대수와 같은 고도로 추상적인 분야를 공부하게 되면 반드시라고 해도 좋을 정도로 카테고리 이론의 철학이 끼어들어가니 공부하다 보면 언젠가는 승부를 봐야 하는 분야이다. 이 때문에 일부 학자들은 이제 막 집합론을 배우는 학부 저학년생들에게도 일찍부터 범주론을 가르쳐야 한다는 주장을 펴기도 하나, 처음부터 미분다양체 및 미분동형사상 같은 어마어마한 예시를 거론하는 교재들을 이제 막 엡실론-델타 논법을 배우는 1~2학년 햇병아리들에게 읽히는 것은 부담스럽기만 하다. 대개의 교재들도 학부 저학년생보다는 고학년생 및 대학원생 독자를 대상으로 쓰이는 것이 현실이라 이런 주장은 아직은 실현되지 않고 있다.
한국어로 된 서적은... 사실상 없다고 봐도 무방하다. 윗 문단에서 소개한 《수리논리학 입문》이 위 영상에 등장하는 Eugenia Cheng 박사가 요리책 컨셉으로 저술한 교양서 《수학을 요리하다》(절판)에 소개된 것을 제외하면 한국어 (번역) 교재로서 카테고리 이론을 다루는 사실상 유일한 사례이며, 범주론만을 전문적으로 다룬 고급과정 교과서를 본격적으로 번역하는
한편으로 교재들을 비교하면서 주의할 점이 있는데, 아직도 맥레인과 에일렌베르크의 직계 1세대 제자들이 학계와 강단에서 활동하고 있을 정도로 카테고리 이론이라는 학문분야의 역사가 그리 길지 않다보니 '카테고리'라는게 무엇인지를 정의하는 첫 챕터에서부터 정의 및 용어가 미묘하게 일정치 않은 부분이 있다. 예를 들어 카테고리 공리는 보통 1. Object의 클래스, 2. Morphism의 클래스(일명 hom-set), 3. Morphism의 정의역과 공역, 4. Morphism의 합성 및 합성의 결합법칙, 5. 각각의 Object가 갖는 Identity Morphism이 보장되면 카테고리라 하는 것으로 정하고 있는데, 여기서 '6. 정의역과 공역에 각각 해당하는 두 Object 간 Morphism들의 모임인 hom-set이 두 개 주어질 때 두 hom-set의 정의역과 정의역, 공역과 공역이 제각기 일치하지 않는다면 두 hom-set은 서로소'라는 성질을 카테고리가 반드시 만족하는 카테고리 공리에다 추가하는 책이 있다. 게다가 Morphism의 모임인 hom-set에 대해서도 hom-set은 이름처럼 '집합'인지, 아니면 관례상 그렇게 쓸 뿐 정말로 반드시 집합일 필요는 없는지, 집합일 필요가 없다고 간판까지 hom-class나 arrow-class 같이 갈아치워버려야만 하는지(...) 등을 두고 책마다 저자마다 교수자마다 다르게 설정하고 만리장성을 쌓아나간다. 이런 책마다의 차이가 익숙해지려면 어떤 책이든 1회독 이상을 해내야 하는데, 가뜩이나 낯선 접근을 시도하는 생소한 분야에서 제각기 서술이 다른 책을 여럿 들여다볼수록 초보자에겐 혼란이 가중될 수 있으니 초보자에겐 처음 고른 책이 맘에 안 들어도 1회독은 억지로라도 해내는 인내심과 근성이 요구되는 분야라 할 수 있다.
4. 여담
알렉산더 그로텐디크는 니콜라 부르바키의5. 관련 항목
[1]
권(圈)론. 주로 일본에서 쓰이는 명칭이다.
[2]
Free object(group, associative algebra 등)들을 보자. lie algebra에서 나타나는 universal enveloping algebra라든가
위상수학에서 나타나는 universal covering space도 보자.
[3]
집합론이 한계를 보여줬다는 말은,
ZFC 공리계가 아닌 다른 공리계를 익혀 써먹는 것도 각오해야 한다는 뜻이다. 이런 생소함을 덜기 위해 사전에 ZFC와 더불어 익혀두면 좋은 공리계로는 폰 노이만-베르나이스-괴델(von Neumann-Bernays-Gödel)과 모스-켈리(Morse-Kelley) 공리계가 있는데, ZFC의 보존적 확장이라 할 수 있는 NBG의 증명가능성은 집합에 관한 명제에 있어 ZFC의 증명가능성과 동치이며, MK는 NBG와 비슷해보이나 재귀적 정의의 허용과 유한공리화의 불가능성 등 약간의 차이가 있는 공리계이다. 이런 대안적인 공리계는 카테고리 이론 학습에 있어 필수까지는 아니어도 미리 ZFC와 더불어 사전에 익혀두는 것이 교과서를 읽어나가는 데에 편리하다. 이외에도 범주론을 학습하다보면 NBG처럼 ZFC의 큰 틀에서 크게 벗어나지 않는 공리계 뿐만 아니라 그로텐디크 유니버스라는 것을 정의하는 타르스키-그로텐디크 집합론 등 여러 참신한 공리계를 접하게 된다.
[4]
이 Working Mathematician이라는 요상한 말은 원래
니콜라 부르바키에게서 나왔다. 부르바키는 기호논리학 저널에 낸
기고와 원론 시리즈를 통해 자신들은 (수학자라기보다는 철학자라 봐야 할 듯한) 수리논리학자들이 좋아하는 메타수학보다는 논리를 가지고 호몰로지 대수라던가, 대수위상이라던가, 가환대수라던가, 대수기하학 같은 실용적(...)인 연구를 하는 수학자들의 언어에 더 큰 관심을 갖고 있다는 취지로 이 말을 썼는데, 부르바키의 본체 중 하나였던 에일렌베르크와 함께 범주론의 기초를 다진 맥레인도 이 말을 썩 맘에 들어했는지 고전으로 남은 교과서의 제목에다 박제를 해버렸다. 결국
Emily Riehl 등 후대의 카테고리 이론가들도 즐겨 쓰는등 Working Mathematician이라는 말은 반쯤 밈이 되어버렸다. 이외에 가끔 수학과를 나와 연구를 계속 하고 싶었지만 생계를 위해 학계를 떠난 소프트웨어 개발자나 사교육 강사 등이 이 말을 자조적으로 쓰기도 한다.