다항함수/공식

1. 개요

2. 길이·거리

3. 넓이

4. 기울기

4.1. 이차함수

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위 그림과 같이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프와 일차함수 [math(g(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 만날 때,

[math(\begin{aligned}f(x)&=ax^2+bx+c\\g(x)&=mx+n\\f(x)-g(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)\\&=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\end{aligned})]

로 놓을 수 있다. 따라서 계수비교법에 의하여 [math(g(x))]의 기울기는 다음과 같다.

[math(m=b-\{-a(\alpha+\beta)\}=a(\alpha+\beta)+b)]

한편, [math(f(x))]를 미분하여 [math(f'(\alpha))]와 [math(f'(\beta))]의 평균을 구하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f'(x)&=2ax+b\\f'(\alpha)&=2a\alpha+b\\f'(\beta)&=2a\beta+b\\\\\therefore\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2&=\dfrac{(2a\alpha+b)+(2a\beta+b)}2\\&=a(\alpha+\beta)+b\end{aligned})]

이는 [math(m)]의 값과 일치하므로, 해당 사실이 증명되었다.

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예제 [펼치기·접기]

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2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 52쪽 4번

이 사실을 그대로 가져다 쓸 수 있는, 이차함수만의 특성을 확연하게 드러내는 문제이다. 말하자면 [math(f(x))]가 이차함수여서 가능한 문제로, [math(f(x))]의 차수가 달라진다면 유의미하면서도 지나치게 복잡하지 않은 문제를 낼 수가 없게 된다.

[math(f(x))]는 이차함수이므로 닫힌구간 [math([n,\,n+1])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 정중앙, 즉 [math(x=n+1/2)]에 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n\left(k+\dfrac12\right)=60)]

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 공식을 알지 못한 채 직접 계산하는 것은 다소 번거롭다.

2018학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 149쪽 5번

이 사실을 활용할 수 있는 대표적인 형태가 나오는 문제이다.

[math(f(x))]는 이차함수이고 문제의 해당 접점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]를 지나는 직선의 기울기가 [math(-2)]이므로, 이 두 점의 접선의 기울기의 평균 역시 [math(-2)]여야 한다. 따라서, 두 점의 [math(x)]좌표를 각각 [math(a)], [math(b)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\dfrac{f'(a)+f'(b)}2=\dfrac{-5+f'(b)}2=-2)]

[math(\therefore f'(b)=1)]

수능특강의 해설에는 다음과 같은 복잡한 풀이가 제시되어 있는데, 공식을 사용하면 문제가 훨씬 빠르게 해결됨을 실감할 수 있다.



2022학년도 EBS 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 4회 9번에도 정확히 같은 형태의 그래프가 출제되었는데, 마찬가지의 원리로 답은 ③이다.

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4.2. 삼차함수

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직접 [math(f(x))]를 곱미분하여 각 값을 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)+k\\f'(x)&=a\{(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\beta)\}\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=a(\beta-\alpha)(\gamma-\alpha)\\&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}\\f'(\beta)&=a(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)=-a(\beta-\alpha)(\gamma-\beta)\\&=-a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\\f'(\gamma)&=a(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)\\&=a\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\end{aligned})]

혹은 미분계수의 정의를 이용하여 다음과 같이 증명할 수도 있다.

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\dfrac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\\&=\lim_{x\to\alpha}\dfrac{a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}{x-\alpha}\\&=\lim_{x\to\alpha}a(x-\beta)(x-\gamma)\\&=a(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)\\f'(\beta)&=\displaystyle\lim_{x\to\beta}\dfrac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta}\\&=\lim_{x\to\beta}\dfrac{a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}{x-\beta}\\&=\lim_{x\to\beta}a(x-\alpha)(x-\gamma)\\&=a(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)\\f'(\gamma)&=\displaystyle\lim_{x\to\gamma}\dfrac{f(x)-f(\gamma)}{x-\gamma}\\&=\lim_{x\to\gamma}\dfrac{a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}{x-\gamma}\\&=\lim_{x\to\gamma}a(x-\alpha)(x-\beta)\\&=a(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)\end{aligned})]

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2017년 한국산업기술대 적성고사 17번

이 사실을 그대로 가져다 쓸 수 있는 문제이다. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이므로, 위에서 밝힌 바 그대로 정답은 ②이다.

2013학년도 10월 A형 26번

이 사실을 활용할 수 있는 문제이다. [math(f(a)=f(2)=f(6)=k)]라 하면, [math(f(x))]는 삼차함수이므로 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(y=k)]의 교점은 [math(x=a)], [math(x=2)], [math(x=6)]에서 발생한다. 이때, [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이고 [math(f'(2)=-4)]로 [math(0)]보다 작으므로 점 [math((2,f(2)))](또는 [math((2,\,k))])는 세 교점 중 가운데에 위치하게 된다. 따라서 다음 그림처럼 [math(a<2<6)]이다.


이제 [math(f'(2)=-4)]라는 단서를 이용하여 [math(a)]의 값을 구하자. 위에서 소개한 공식을 사용하면

[math(1\times(2-a)\times(2-6)=-4)]

에서 [math(a=1)]이고, 다시금 공식을 사용하면 답은 다음과 같다.

[math(f'(a)=f'(1)=1\times(1-2)\times(1-6)=5)]

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[math({\color{dc4343}g_1})]의 값은 위에서 설명한 삼차함수의 극값의 차 공식을 이용하여 구할 수 있는데, [math(f(x))]의 최고차항의 계수 [math(a)]의 부호에 따라 계산이 약간 다르다. 다음과 같이 경우를 분류해 보자.

[1] [math(\boldsymbol{a>0\;(g_1,\,g_2<0)})]

[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{-\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^3}{\beta-\alpha}\\&=-\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\quad(\because a>0)\end{aligned})]

[2] [math(\boldsymbol{a<0\;(g_1,\,g_2>0)})]

[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^3}{\beta-\alpha}\\&=\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\quad(\because a<0)\end{aligned})]

[math(a>0)]이면 [math(|a|=a)]이고, [math(a<0)]이면 [math(|a|=-a)]임에 유의하자. 곧, [math(a)]의 부호에 관계없이 공식 자체는 같다.

한편, [math({\color{#36BF72}g_2})]의 값은 변곡점에서의 접선의 기울기이므로, [math(f'(x))]를 구하자. 위 그림에서 [math(f(x))]는 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 극값을 가지므로 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=0)]이며, [math(f(x))]의 최고차항은 [math(ax^3)]이므로 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(3ax^2)]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta))]

또한 변곡점의 [math(x)]좌표는 두 극점의 [math(x)]좌표의 평균이므로 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}{\color{#36BF72}g_2}&=f'\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\\&=3a\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha\right)\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\beta\right)\\&=-3a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2=-\dfrac{3a}4(\beta-\alpha)^2\end{aligned})]

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삼차함수의 그래프는 변곡점 대칭이므로, 계산의 단순화를 위하여 [math(\beta=0)]이라 하면 [math(\alpha=-\gamma)]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=ax(x+\gamma)(x-\gamma)\\&=ax\left(x^2-\gamma^2\right)=a\left(x^3-\gamma^2x\right)\\\therefore f'(x)&=a\left(3x^2-\gamma^2\right)\\\\\rightarrow f'(\alpha)&=a\left(3\alpha^2-\gamma^2\right)=2a\gamma^2\\f'(\beta)&=f'(0)=-a\gamma^2\\f'(\gamma)&=a\left(3\gamma^2-\gamma^2\right)=2a\gamma^2\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}\therefore |f'(\alpha)|:|f'(\beta)|:|f'(\gamma)|&=\left|2a\gamma^2\right|:\left|-a\gamma^2\right|:\left|2\gamma^2\right|\\&=2:1:2\end{aligned})]

4.3. 여러 차수: 영점에서의 기울기

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미분계수의 정의를 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 그림에서 [math(n)] 이하의 모든 자연수 [math(i)]에 대하여 [math(f(x_i)=t)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f'(x_i)&=\displaystyle\lim_{x\to x_i}\dfrac{f(x)-f(x_i)}{x-x_i}=\lim_{x\to x_i}\dfrac{f(x)-t}{x-x_i}\\&=\lim_{x\to x_i}\dfrac{a(x-x_1)\cdots\cancel{(x-x_i)}\cdots(x-x_n)}{\cancel{x-x_i}}\\&=\lim_{x\to x_i}a(x-x_1)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)\\&=\lim_{x\to x_i}\displaystyle a\prod_{j\neq i}(x-x_j)=a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)\end{aligned})]

즉, [math(f'(x_i))]는 [math(f(x))]에서 상수항과 [math((x-x_i))]를 지운 뒤 [math(x_i)]를 대입한 값임이 증명되었다.

[math(f(x))]를 직접 곱미분하여 증명할 수도 있다. 조금 계산이 복잡해지지만 식을 정리하는 과정을 눈여겨 보면 또 다른 원리를 발견할 수 있다. 먼저 두 그래프의 교점의 좌표를 이용하여 [math(f(x))]의 식을 세워 계산하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)-t&=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\ \\\rightarrow f'(x)&=a[{\color{#DA3832}\{(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_n)\}}+{\color{#55AE58}\{(x-x_1)(x-x_3)\cdots(x-x_n)\}}\\&\quad+\cdots+{\color{#48A0E2}\{(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n-1})\}}]\\&=a\left[{\color{#DA3832}\displaystyle\prod_{j\neq1}(x-x_j)}+{\color{#55AE58}\displaystyle\prod_{j\neq2}(x-x_j)}+\cdots+{\color{#48A0E2}\displaystyle\prod_{j\neq n}(x-x_j)}\right]\;\cdots\,(\rm a)\\&=a\sum_{k=1}^n\left[\displaystyle\prod_{j\neq k}(x-x_j)\right]\end{aligned})]

이때, [math((\rm a))]는 [math(n)]개의 항이 더해진 형태로서, 그중 [math(i)]번째 항만이 [math((x-x_i))]를 인수로 가지지 않으므로 [math((\rm a))]에 [math(x=x_i)]를 대입하면 [math(i)]번째 항을 제외하면 모두 [math(0)]이 된다. 즉, [math(f'(x_i))]는 [math((\rm a))]에서 [math(i)]번째 항만을 계산한 값과 같다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned}f'(x_i)&=a\displaystyle\sum_{k=1}^n\left[\prod_{j\neq k}(x_i-x_j)\right]\\&=a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)\end{aligned})]

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2012학년도 7월 나형 12번

[math(f'(1))]은 [math((x-1))]을 제외한 나머지 항에 [math(1)]을, [math(f'(4))]는 [math((x-4))]를 제외한 나머지 항에 [math(4)]를 대입한 값이므로 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{f'(1)}{f'(4)}&=\dfrac{(1-2)(1-3)\cdots(1-10)}{(4-1)(4-2)(4-3)\times(4-5)(4-6)\cdots(4-10)}\\&=\dfrac{-9!}{3!\times6!}=-\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=-84\end{aligned})]

[math(f(x))]의 곱미분을 시도해 보면 금방 규칙을 발견하게 될 뿐만 아니라, [math(f(x))]를 전개한 뒤 미분을 하면 계산이 지나치게 복잡해지므로, 애초에 식을 위와 같이 간단히 정리할 수 있는지를 시험하기 위한 문제였다고 할 수 있다.

또한 이러한 내용은 전형적인 극한 문제와도 의외로 연관이 깊다.

2022학년도 9월 고3 8번

우선 문제에서 두 극한식의 분모는 모두 [math(0)]으로 수렴하는 가운데 극한의 수렴값이 존재하므로, 분자 역시 다음과 같이 [math(0)]으로 수렴해야 한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)&=f(0)\\=\lim_{x\to1}f(x)&=f(1)\\&=0\end{aligned})]

[math(f(x))]는 다항함수이므로 [math(x)] 그리고 [math((x-1))]을 인수로 갖는다. 따라서 위 공식에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x-{\color{#DA3832}0}}&=f'({\color{#DA3832}0})\\\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-{\color{#DA3832}1}}&=f'({\color{#DA3832}1})\\\\\therefore f'(0)=f'(1)=1\end{aligned})]

이는 [math(0/0)] 꼴의 부정형의 전형적인 극한 문제로서, 다음의 공식과 일맥상통한다.

• [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}=b)]이면 [math(f(a)=0,\,f'(a)=b)]

이 공식의 증명은 극한 문서를 참고하라. 다만 이 공식은 [math(f(x))]가 꼭 다항함수일 필요가 없는 반면, 위에서 소개한 접선의 기울기를 구하는 논리는 [math(f(x))]가 다항함수일 때만 통한다는 점에 유의하자. 또한, 위 문제를 위와 같은 방식으로 풀기보다는 극한 문서에서 소개한 증명에 따라 푸는 편이 더욱 자연스럽고 간단하다.

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4.3.1. 역수의 합

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먼저, 부분분수분해 문서에 설명된 Heaviside cover-up method 그리고 앞서 밝힌 기울기 공식을 종합하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\frac1{f(x)}&=\sum_{i=1}^n\frac1{(x-x_i)}\times\frac1{\displaystyle a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}\\&=\sum_{i=1}^n\frac1{(x-x_i)f'(x_i)}\end{aligned})]

양변에 [math(f(x))]를 곱하면

[math(\begin{aligned}1&=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{f'(x_i)}\frac{a(x-x_1)\cdots(x-x_n)}{x-x_i}\\&=\sum_{i=1}^n\dfrac{\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}{f'(x_i)}\;\cdots\,(\rm a)\end{aligned})]

이다. 여기에서 양변의 [math(x^{n-1})]의 계수를 조사하자. 각 [math(i)]들에 대하여 [math(x)]에 관한 [math((n-1))]차 다항식이 나오며, 그것의 최고차항의 계수는 [math(1/f'(x_i))]이다. 따라서 위 식의 최종적인 [math(x^{n-1})]의 계수는

[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{f'(x_i)})]

이다. 그런데 [math((\rm a))]의 계산 결과가 결국 [math(1)]이라는 상수에 불과하므로 [math(x^{n-1})]의 계수는 [math(0)]이 되어야 한다. 곧, 다음이 증명되었다.

[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{f'(x_i)}=0)]

또한 [math(n=1)]이면 부분분수분해 자체가 성립하지 않으므로 위와 같은 논리가 통하지 않는다. 즉, 이 사실은 [math(n\geq 2)]일 때만 성립한다.

고등학교에서는 부분분수분해를 거의 다루지 않긴 하지만 이 증명은 고등학생이 아주 이해하지 못할 수준은 아니다. 이것이 그나마 가장 쉬운 증명이며, 대학교 수준 이상의 더 많은 증명에 대해서는 sum of reciprocals of derivative of polynomial at its roots를 참고하자.

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5. 방정식

5.1. 이차함수: 행렬 대각화

5.2. 삼차함수: 두 극점을 지나는 직선

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[math(f(x))]가 삼차함수이므로 도함수 [math(f'(x))]는 이차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 일차식, [math(R(x))]는 일차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}R(x)&=ax+b\\f(x)&=f'(x)Q(x)+ax+b\end{aligned})]

한편 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]를 곡선 [math(f(x))]의 두 극점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha+b=a\alpha+b\;&\cdots(\rm 1)\\f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta+b=a\beta+b\;&\cdots(\rm 2)\end{aligned})]

이 두 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]가 방정식

[math(f(x)=R(x))]

의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 두 극점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지난다.

한편 [math((\rm 1)-(\rm 2))]를 계산하면

[math(f(\alpha)-f(\beta)=a(\alpha-\beta))]

이고 [math(f(\alpha)-f(\beta)\neq 0,\,\alpha-\beta\neq 0)]이므로 [math(a\neq 0)]이다. 곧, [math(R(x))]는 일차식이다.

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대수적 증명 [펼치기·접기]

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방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축의 교점의 개수이므로, [math(f(x))]를 [math(0)]이 아닌 실수배를 하여 최고차항의 계수를 바꾸어도 실근의 개수에는 영향이 없다. 곧, 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}x^3+ax^2+bx+c&=0\\\Leftrightarrow m(x^3+ax^2+bx+c)&=0\quad(m\neq 0)\end{aligned})]

따라서 계산의 단순화를 위해 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(1)]로 두어 다음과 같이 [math(f(x))]와 [math(f'(x))]를 써도 충분하다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=x^3+ax^2+bx+c\\f'(x)&=3x^2+2ax+b\end{aligned})]

[math(f(x))]를 [math(f'(x))]로 나눈 몫 [math(Q(x))]와 나머지 [math(R(x))]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}Q(x)&=\dfrac13x+\dfrac19a\\R(x)&=\dfrac29\left(3b-a^2\right)x+c\end{aligned})]

나머지가 상수가 되려면 다음이 성립해야 한다.

[math(3b-a^2=a^2-3b=0)]

그런데 이는 도함수 [math(f'(x)=3x^2+2ax+b)]의 판별식 [math(D/4)]와 일치한다. 즉, 이차방정식 [math(f'(x)=0)]은 중근을 가져서 모든 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)\geq 0)]이므로 [math(f(x))]는 일대일대응이다. 결국, 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 [math(1)]이다.

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예제 [펼치기·접기]

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1989년 교토대학 이과 3번

한국어 번역 [math(f(x))]는 [math(x)]에 대한 삼차식이고, [math(f(x))]를 그 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 나머지는 상수이다. 이때 방정식 [math(f(x)=0)]을 만족시키는 실수 [math(x)]는 단 하나임을 보여라.

위에서 증명한 사실이 그대로 출제된 문제이다. [math(f(x))]는 일대일대응이므로 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축의 교점의 개수는 [math(1)]이다. 즉, 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 [math(1)]이다.

5.3. 사차함수

5.3.1. 세 극점을 지나는 포물선

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[math(f(x))]가 사차함수이므로 도함수 [math(f'(x))]는 삼차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 일차식, [math(R(x))]는 이차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}R(x)&=ax^2+bx+c\\f(x)&=f'(x)Q(x)+ax^2+bx+c\end{aligned})]

한편 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]를 곡선 [math(f(x))]의 세 극점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=f'(\gamma)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha^2+b\alpha+c=a\alpha^2+b\alpha+c\\f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta^2+b\beta+c=a\beta^2+b\beta+c\\f(\gamma)&=f'(\gamma)Q(\gamma)+a\gamma^2+b\gamma+c=a\gamma^2+b\gamma+c\end{aligned})]

이 세 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]가 방정식

[math(f(x)=R(x))]

의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 세 극점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]를 지난다.

한편 [math(a=0)]이면 [math(R(x))]는 일차식이므로 곡선 [math(f(x))]의 세 극점은 한 직선 위에 있어야 하는데 이는 불가능하다. 따라서 [math(a\neq 0)]이고, [math(R(x))]는 이차식, 곧 포물선의 방정식이다.

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5.3.2. 두 변곡점을 지나는 직선

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[math(f(x))]가 사차함수이므로 이계도함수 [math(f''(x))]는 이차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 이차식, [math(R(x))]는 일차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}R(x)&=ax+b\\f(x)&=f''(x)Q(x)+ax+b\end{aligned})]

한편 [math(\alpha)], [math(\beta)]를 곡선 [math(f(x))]의 두 변곡점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f(\alpha)=f(\beta)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha+b=a\alpha+b\\f(\beta)&=f(\beta)Q(\beta)+a\beta+b=a\beta+b\end{aligned})]

이 두 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]가 방정식

[math(f(x)=R(x))]

의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 두 변곡점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지난다.

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5.4. 근과 계수의 관계: 두 실근의 평균점의 접선 등

5.4.1. 이차함수

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이차방정식의 근과 계수의 관계로 간단히 증명할 수 있다. 위 그림을 방정식으로 해석하면, 이차방정식 [math(f(x)-g_1(x))]의 서로 다른 두 실근이 [math(\alpha)], [math(\beta)]라고 할 수 있다. 이때 [math(f(x)-g_1(x))]의 이차항의 계수를 [math(a)], 일차항의 계수를 [math(b)]라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\alpha+\beta=-\dfrac ba)]

그러면 [math(g_2(x))], [math(g_3(x))], [math(g_4(x))]는 직선 [math(g_1(x))]와 기울기가 같으므로 [math(f(x)-g_1(x))], [math(f(x)-g_2(x))], [math(f(x)-g_3(x))], [math(f(x)-g_4(x))] 모두 이차항의 계수가 같고 일차항의 계수도 같다. 따라서 네 방정식

[math(\begin{aligned}f(x)-g_1(x)&=0,\,f(x)-g_2(x)=0,\\f(x)-g_3(x)&=0,\,f(x)-g_4(x)=0\end{aligned})]

의 두 실근의 합은 모두

[math(-\dfrac ba=\alpha+\beta)]

로 일치할 수밖에 없다. 이 가운데 방정식 [math(f(x)-g_4(x)=0)]은 중근을 가지므로, 그 중근을 [math(x=k)]라 하면 [math(2k=\alpha+\beta)]에서 [math(k=(\alpha+\beta)/2)]가 되는 것이다.

기하학적으로는 다음과 같이 이해하면 쉽다.


위 그림은 [math(i=1,\,2,\,3,\,4)]에 대하여 [math(f(x)-g_i(x))]의 그래프를 그렸을 때 [math(x)]축이 위치하는 곳을 표시한 것이다. [math(f(x)-g_i(x))]는 모든 [math(i)]에 대하여 이차식이며, 다른 것은 상수항밖에 없다. 이차함수의 그래프의 선대칭성에 의하여 두 실근의 합은 항상 [math(\alpha+\beta)]가 될 수밖에 없다. 이때 방정식 [math(f(x)-g_4(x)=0)]의 중근이었던 [math((\alpha+\beta)/2)]는 위 이차함수의 그래프의 대칭축을 나타낸다. 따라서 꼭짓점의 [math(x)]좌표의 [math(2)]배가 바로 두 실근의 합임이 증명되었다.

5.4.2. 삼차함수

증명 [펼치기·접기]

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삼차방정식의 근과 계수의 관계로 간단히 증명할 수 있다. 위 그림을 방정식으로 해석하면, 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 서로 다른 세 실근이 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라고 할 수 있다. 이때, [math(f(x)-t)]의 삼차항의 계수를 [math(a)], 이차항의 계수를 [math(b)]라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac ba)]

또한 논의의 편의를 위하여 다음의 표현을 정의하자.

[math(l_{i,\,j}(x)=f'\left(\dfrac{i+j}2\right)\left(x-\dfrac{i+j}2\right)+f\left(\dfrac{i+j}2\right))]

즉, 위 그림과 같이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)], [math(\beta)]와 [math(\gamma)], [math(\gamma)]와 [math(\alpha)]의 평균점에서 그은 접선의 방정식을 각각 [math(l_{\alpha,\,\beta})], [math(l_{\beta,\,\gamma})], [math(l_{\gamma,\,\alpha})]로 쓰자. 그러면 [math(l_{\alpha,\,\beta})], [math(l_{\beta,\,\gamma})], [math(l_{\gamma,\,\alpha})] 모두 직선의 방정식이므로 일차 이하의 다항식이다.[2] 따라서 [math(f(x)-t)], [math(f(x)-l_{\alpha,\,\beta})], [math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma})], [math(f(x)-l_{\gamma,\,\alpha})] 모두 삼차항의 계수가 같고 이차항의 계수도 같다. 따라서 네 방정식

[math(\begin{aligned}f(x)-t&=0,\,f(x)-l_{\alpha,\,\beta}=0,\\f(x)-l_{\beta,\,\gamma}&=0,\,f(x)-l_{\gamma,\,\alpha}=0\end{aligned})]

의 세 실근의 합은 모두

[math(-\dfrac ba=\alpha+\beta+\gamma)]

로 일치할 수밖에 없다. 이에 따라 다음 세 방정식의 실근을 조사하자. 설명에 앞서 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하자.

• [math(\boldsymbol{f(x)-l_{\alpha,\,\beta}=0})]
• 직선 [math(y=l_{\alpha,\,\beta})]가 [math(x=\dfrac{\alpha+\beta}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
• 중근 [math(x=\dfrac{\alpha+\beta}2)]를 가짐
• 나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\alpha+\beta}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\gamma)]
• [math(f(x)-l_{\alpha,\,\beta}=a\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^2(x-\gamma))]
• [math(\boldsymbol{f(x)-l_{\beta,\,\gamma}=0})]
• 직선 [math(y=l_{\beta,\,\gamma})]가 [math(x=\dfrac{\beta+\gamma}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
• 중근 [math(x=\dfrac{\beta+\gamma}2)]를 가짐
• 나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\beta+\gamma}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\alpha)]
• [math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma}=a\left(x-\dfrac{\beta+\gamma}2\right)^2(x-\alpha))]
• [math(\boldsymbol{f(x)-l_{\gamma,\,\alpha}=0})]
• 직선 [math(y=l_{\gamma,\,\alpha})]가 [math(x=\dfrac{\gamma+\alpha}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
• 중근 [math(x=\dfrac{\gamma+\alpha}2)]를 가짐
• 나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\gamma+\alpha}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\beta)]
• [math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma}=a\left(x-\dfrac{\gamma+\alpha}2\right)^2(x-\beta))]

따라서 직선 [math(y=l_{\alpha,\,\beta})], [math(y=l_{\beta,\,\gamma})], [math(y=l_{\gamma,\,\alpha})]는 각각 점 [math((\gamma,\,f(\gamma)))], [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지남이 증명되었다.

이 결과를 요약하면 다음과 같다. 삼차방정식의 세 근의 합은 삼차항의 계수와 이차항의 계수에만 의존하므로, [math(f(x))]에서 빼는 일차 이하의 다항식이 어떻게 변하든지 세 근의 합은 같을 수밖에 없다. 이때 기존의 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 세 실근 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]에서 두 개를 뽑아 그것들의 평균을 중근으로 갖되 삼차항의 계수와 이차항의 계수가 그대로 유지되는 새로운 삼차방정식을 세우면, 이 방정식의 나머지 한 단일근은 앞서 뽑지 않았던 나머지 한 근이 되는 것이다.

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예제 [펼치기·접기]

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2023학년도 4월 12번

직선 [math(\rm AB)]의 방정식을 [math(y=h(x))]라 하면, [math(h(x))]는 일차식이므로 삼차식 [math(f(x)-h(x))]의 삼차항의 계수와 이차항의 계수는 [math(f(x))]와 마찬가지로 각각 [math(1)]과 [math(-6)]이다. 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(h(x))]는 [math(x=0)]에서 교차하고 [math(x=k)]에서 접하므로, 삼차방정식 [math(f(x)-h(x)=0)]은 단일근 [math(x=0)]과 중근 [math(x=k)]를 갖는다. 따라서

[math(0+k+k=-\dfrac{-6}1=6)]

에서 [math(k=3)]이다. 참고로 정답은 [math(\displaystyle\int_0^3g(x)\,{\rm d}x=-\dfrac{33}4)]이다.

경기도교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 미분을 통하여 접선의 방정식을 세운 뒤 좌표를 대입하는 과정이 매우 번거롭다. 그러나 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하면 [math(f(x))]의 삼차항과 이차항만 보고도 [math(k)]의 값을 단숨에 알아낼 수 있다.

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예제 [펼치기·접기]

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이러한 형태의 그래프는 이미 그어진 접선의 두 교점의 '평균점'에서 새로운 접선을 긋는다기보다는, 사실상은 접선을 그었을 때 발생하는 '교점'에서 다시금 또 다른 접선을 긋는 상황에서 많이 출제된다. 이러한 상황을 다루는 문제를 두 개 소개한다.

2016학년도 사관학교 A형 21번

접선 [math(l)]과 [math(m)]의 방정식을 각각 [math(l(x))], [math(m(x))]라 하고, 점 [math(\rm B)]와 [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표를 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 그러면 위에서 밝힌 논리에 따라 두 삼차방정식

[math(f(x)-l(x)=0,\,f(x)-m(x)=0)]

의 세 근의 합은 동일하다. 이때, 직선 [math(l)]은 곡선 [math(f(x))]와 [math(x=0)]에서 접하고 [math(x=\alpha)]에서 교차하므로 전자의 방정식은 중근 [math(x=0)]과 단일근 [math(x=\alpha)]를 가지며, 직선 [math(m)]은 곡선 [math(f(x))]와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)]에서 교차하므로 후자의 방정식은 중근 [math(x=\alpha)]와 단일근 [math(x=\beta)]를 갖는다. 따라서

[math(0+0+\alpha=\alpha+\alpha+\beta)]

이므로 [math(\beta=-\alpha)]임을 쉽게 알아낼 수 있다. 참고로 추가적인 단서를 찾아 추론하면 정답은 ②이다.

2013학년도 10월 A형 20번

점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]에서의 접선의 방정식을 각각 [math({\rm A}(x))], [math({\rm B}(x))]라 하면 세 삼차방정식

[math(f(x)=0,\,f(x)-{\rm A}(x)=0,\,f(x)-{\rm B}(x)=0)]

의 세 근의 합은 모두

[math(-\dfrac01=0)]

으로 일치한다. 따라서

[math(-1+(-1)+b=b+b+c=0)]

에서 [math(b=2)], [math(c=-4)]이다. 이에 따라 [math(f(b)+f(c)=-80)]을 풀면 정답은 [math(a=12)]이다. 엄밀한 설명을 위하여 삼차방정식을 직접 명시했지만 사실상은 무엇이 중근이고 무엇이 단일근인지만 파악하여 마지막 줄만 계산하면 끝이므로 이보다 편리할 수 없을 것이다.

서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 대표로 제시했는데, 접선의 방정식을 세운 뒤 그것을 [math(f(x))]와 연립하여 방정식을 푸는 번거로운 과정이 두 번이나 반복되므로 계산이 너무 오래 걸린다.


또한 다음과 같이 [math(f(x))]가 이차항이 없는 점을 이용한 다른 풀이도 제시했는데, 앞선 풀이보다는 편리하긴 하나 [math(f(x))]가 이차항이 없는 경우에만 그럴 뿐이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하는 방법에 비하여 한계가 명확하며, 방정식을 직접 세워야 하는 등 계산 자체도 여전히 더 오래 걸린다.

5.4.3. 총정리

5.5. 부분분수분해: 영점에서의 함숫값의 역수의 합

6. 길이와 넓이의 관계

6.1. 이차함수·삼차함수

예제 [펼치기·접기]

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2023학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 93쪽 예제 3번

먼저 함수 [math(y=3x^2-6x)]의 그래프와 [math(x)]축과의 교점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자.

함수 [math(y=3x^2-6x)]는 이차함수이므로, [math(A=B)]이려면

[math((\beta-\alpha):(k-\beta)=2:1)]

이어야 한다. 방정식 [math(3x^2-6x=0)]을 풀면 [math(x=0)] 또는 [math(x=2)]이므로 [math(\alpha=0)], [math(\beta=2)]이다. 따라서 [math(k=3)]이다.


EBS 수능특강 본문에서는 위와 같은 해설을 제시했는데, 직접 정적분을 계산해야 하므로 다소 번거롭다. 반면 공식을 알고 있다면 간단한 암산을 거쳐 사실상 눈으로도 풀 수 있게 된다.

2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 97쪽 5번에도 출제되었으며, 같은 원리로 정답은 ③이다.

6.2. 삼차함수·사차함수

예제 [펼치기·접기]

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2022학년도 EBS 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 2회 19번

먼저 점 [math(A_p)]의 [math(x)]좌표를 구하자. 방정식 [math(x^3=px^2)]을 풀면 [math(x=0)] 또는 [math(x=p)]이고, 점 [math(A_p)]는 제1사분면 위의 점이므로 [math(x)]좌표는 [math(p)]이다. 삼차함수의 그래프와 이차함수의 그래프가 [math(x=0)]에서 접하고 점 [math(A_p)]에서 교차하며 [math(S_p=T_p)]라면 위에서 밝힌 비율 관계에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}(p-0):(a_p-p)&=3:1\\\rightarrow a_p&=\dfrac43p\\\\\therefore\displaystyle\lim_{p\to\infty}\dfrac{6a_p}{p+1}&=\cfrac{6\times\dfrac43}1=8\end{aligned})]

실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 일일이 정적분을 계산해야 하므로 공식의 편리함을 실감할 수 있다.

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6.3. 사차함수

증명 [펼치기·접기]

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계산의 편의를 위하여 위 그림에서 [math(\alpha=0)], [math(\gamma=5k)]라 하여

[math(f(x)=ax^2(x-\beta)(x-5k))]

라 하자. 그러면 [math(2(\beta-\alpha):3(\gamma-\beta))]이기 위해서는 [math(\beta=3k)]이면 된다. 따라서 [math(S_1=S_2)]가 되도록 하는 [math(\beta)]의 값이 [math(3k)]뿐임을 증명하면 된다. [math(S_1)]은 [math(x)]축 위쪽에, [math(S_2)]는 [math(x)]축 아래쪽에 해당하므로, [math(S_1=S_2)]이면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\int_0^{5k}f(x)\,{\rm d}x=0)]

이는 곧 [math(\beta)]에 대한 방정식이다. 이를 풀어 보자.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^{5k}f(x)\,{\rm d}x&=\int_0^{5k}ax^2(x-\beta)(x-5k)\,{\rm d}x\\&=a\int_0^{5k}\left\{x^4-(\beta+5k)x^3+5\beta kx^2\right\}\,{\rm d}x\\&=a\left[\frac15x^5-\frac{\beta+5k}4x^4+\frac{5\beta k}3x^3\right]_0^{5k}\\&=a\left[\frac15(5k)^5-\frac{\beta+5k}4(5k)^4+\frac{5\beta k}3(5k)^3\right]\\&=a\left[\frac15(5k)^5-\frac14(5k)^5-\frac\beta4(5k)^4+\frac\beta3(5k)^4\right]\\&=a\left[\frac\beta{12}(5k)^4-\frac1{20}(5k)^5\right]\\&=a\times(5k)^4\times\left(\frac\beta{12}-\frac{k}4\right)=0\\\\\therefore\frac\beta{12}&=\frac{k}4,\,\beta=3k\end{aligned})]

이 방정식의 유일한 근이 [math(\beta=3k)]이므로 [math(S_1=S_2)]이기 위한 필요충분조건이 [math(\beta=3k)]임이 증명되었다.

이제 이때의 [math(S_1=S_2)]의 값을 구해 보자. 계산의 편의를 위하여 [math(S_1)]을 계산하자.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_0^{3k}ax^2(x-3k)(x-5k)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|a\displaystyle\int_0^{3k}\left(x^4-8kx^3+15k^2x^2\right)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|a\left[\frac15x^5-2kx^4+5k^2x^3\right]_0^{3k}\right|\\&=|a|\times\left|\frac15\times(3k)^5-2k\times(3k)^4+5k^2\times(3k)^3\right|\\&=|a|\times(3k)^3\times\left|\frac15\times(3k)^2-2k\times3k+5k^2\right|\\&=|a|\times(3k)^3\times\left|\frac45k^2\right|=\frac{108|a|}5k^5\quad(\because k>0)\end{aligned})]

이는 [math(\beta-\alpha=3k)]로 놓고 계산한 결과이므로, 앞서 소개한 대로 [math((\beta-\alpha))] 및 [math((\gamma-\beta))]의 꼴로 고치면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{108|a|}5k^5&=\dfrac{108}5\times\left(\dfrac{\beta-\alpha}3\right)^5=\dfrac{4|a|}{45}(\beta-\alpha)^5\\&=\dfrac{108}5\times\left(\dfrac{\gamma-\beta}2\right)^5=\dfrac{27|a|}{40}(\gamma-\beta)^5\end{aligned})]

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예제 [펼치기·접기]

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2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 99쪽 5번

[math(\begin{aligned}f(x)&=x^4-(1+a)x^3+ax^2\\&=x^2\left\{x^2-(1+a)x+a\right\}\\&=x^2(x-a)(x-1)\end{aligned})]

이고 [math(a)]는 [math(1)]이 아닌 양수이므로 [math(f(x))]의 그래프의 개형은 다음과 같다.


비율 관계에 따라, [math(S_1=S_2)]이기 위해서는 [math(a<1)]이면 [math(a=3/5)], [math(a>1)]이면 [math(a=5/3)]이므로 정답은 [math(3/5+5/3=34/15)]이다.

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(a<1)]인 경우와 [math(a>1)]인 경우로 나누어 사차함수의 정적분을 두 번이나 계산해야 하므로 매우 번거롭다. 그러나 공식을 사용하는 경우 [math(f(x))]를 인수분해하기만 하면 간단하게 답을 구할 수 있다.



2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 97쪽 5번에도 출제되었으며, 같은 원리로 답은 ②이다.

---

7. 길이와 기울기의 관계

7.1. 이차함수

8. 넓이와 기울기의 관계

8.1. 이차함수

9. 기울기와 방정식의 관계

9.1. 이차함수

10. 관련 문서

• 다항함수
• 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수
• 극값( 극점), 변곡점, 접선
• 극한
• 도함수, 역도함수, 미분, 정적분, 부정적분, 부분적분, 치환적분, 미적분의 기본정리
• 방정식
• 등차수열
• 부분분수분해

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