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다항함수


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1. 개요2. 특징
2.1. 연산2.2. 대칭성2.3. 연속성과 미분가능성2.4. 차수
2.4.1. 교점
3. 추론 공식4. 종류5. 교육과정에서

1. 개요

다항함수()는 다항식으로 나타낼 수 있는 함수이다. 최고차항의 차수에 따라 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수... 등으로 분류될 수 있다. 상수도 다항식이기 때문에 다항함수는 다항식과 다항식의 몫으로 정의되는 유리함수에 속한다.

단항식으로 구성되어 있고 그 식의 계수가 1인 다항함수[1] 멱함수(冪函數)라고도 하는데, 멱함수는 다항함수가 아닌 유리함수[2], 무리함수[3]도 포함하기 때문에 완전 대응되지는 않는다.

2. 특징

2.1. 연산

다항함수는 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈, 합성에 대해 닫혀있다. 그러나 나눗셈의 경우, 다항함수와 다항함수의 몫이 다항함수일 수도 있고, 다항함수가 아닌 유리함수일 수도 있다.

2.2. 대칭성

모든 일차함수와 삼차함수는 점대칭이고, 모든 상수함수와 이차함수는 좌우대칭이다. 일차함수의 경우 모든 점에 대해 점대칭이고, 삼차함수는 유일하게 가지는 변곡점을 기준으로 점대칭이다. 상수함수는 모든 점에 대해 좌우대칭이고, 이차함수는 최대·최소를 갖는 꼭짓점을 지나는 대칭축을 기준으로 좌우대칭이다. 그러나 사차 이상의 다항함수는 항상 대칭성을 갖는 것은 아니다.

특별히 단항식으로 정의된 다항함수인 멱함수의 경우에는 차수에 따라 대칭성이 결정된다. 멱함수의 정의에 대해서는 멱함수 문서 참고. 1, 3, 5... 등 홀수 차수의 멱함수는 원점대칭이고, 2, 4, 6... 등 짝수 차수의 멱함수는 y축 대칭이다. 다항함수의 이러한 특징 때문에 원점대칭인 함수는 홀함수, y축 대칭인 함수는 짝함수라고 부른다. 단, 홀함수와 짝함수는 다항함수만을 말하는 것은 아니다. 대표적인 예로 [math(\sin x)]는 다항함수가 아니지만 원점대칭인 홀함수이며, [math(\cos x)]도 다항함수가 아니지만 y축 대칭인 짝함수이다.

2.3. 연속성과 미분가능성

다항함수는 모든 점에서 연속인 연속함수이고, 모든 점에서 미분가능한 함수이다. 다항함수의 도함수도 다항함수이기 때문에, 무한히 미분해도 연속이며 미분가능하다. 즉, 매끄럽다.

그래서 미적분을 배울 때는 다항함수부터 배운다. 다항함수는 모든 점에서 미분가능하기 때문에 고려할 점이 적어[4][5] 미적분이 사칙연산마냥 단순계산에 불과하기 때문이다. 실제로 2015 개정 교육과정에서 고등학생이 미적분을 처음 배우는 교과는 수학Ⅱ(2015)인데, 이 과목에서 미분·적분은 다항함수와 다항함수로 구성된 구간별로 정의된 함수만을 다룬다.

2.4. 차수

다항함수의 각 항의 차수 중에서 가장 높은 것을 그 다항함수의 차수라고 한다. 예를 들어 다항함수 [math(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1)]의 경우, 각 단항식의 차수는 4, 3, 2, 1, 0이며 이중에서 가장 큰 값은 4이므로 [math(f(x))]의 차수는 4이다. 자연수 [math(n)]에 대하여 차수가 [math(n)]인 다항함수를 [math(n)]차함수라고 하며, 차수가 없는 함수는 상수함수가 된다. 이에 따르면 두 다항함수 [math(f(x))]와 [math(g(x))]에 대하여 차수를 다음과 같이 판별할 수 있다.
수식 차수
[math(f(x)\pm g(x))] [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 각 차수 중 작지 않은 것[6]
[math(\max\{\deg(f(x)),\deg(g(x))\})]
[math(f(x)g(x))] [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수의 합
[math(\deg(f(x))+\deg(g(x)))]
[math(\dfrac{f(x)}{g(x)})] 두 다항식이 서로소가 아닐 경우, [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수의 나머지
[math(\deg(f(x)) \bmod \deg(g(x)))]
두 다항식이 서로소일 경우, [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 각 차수 중 작지 않은 것
[math(\max\{\deg(f(x)),\deg(g(x))\})]
[math(f(g(x)))], [math(g(f(x)))] [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수의 곱
[math(\deg(f(x))\times\deg(g(x)))]
[math(f'(x))] 0과 [math(f(x))]의 차수에서 1을 뺀 값 중 작지 않은 것[7]
[math(\max\{0,\,\deg(f(x))-1\})]
[math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d}x)] [math(f(x))]의 차수에 1을 더한 값
[math(\deg(f(x))+1)]

2.4.1. 교점

[math(0\leq m\leq n)], [math(n\geq2)]인 두 정수 [math(m)], [math(n)]에 대하여, 임의의 [math(m)]차함수와 [math(n)]차함수의 그래프의 교점이 [math((n-1))]개일 경우, 두 그래프는 [math((n-2))]개의 교점에서 교차하고 나머지 한 개의 교점에서 접한다. 예를 들어 이차함수의 그래프와 직선의 교점이 1개이면 두 그래프는 해당 교점에서 접하며, 삼차함수의 그래프와 직선의 교점이 2개이면 두 그래프는 한 점에서 교차하고 한 점에서 접하는 식이다. 삼차함수 참고.

3. 추론 공식

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중·고등학교 수학과 교육과정에서 직접적으로 다루는 다항함수의 범위는 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수[8]인데, 이와 관련하여 교육과정에서 직접적으로 다루지는 않는 유용한 팁들을 설명하는 문서들이다.[9] 다항함수/추론에서는 알려져 있지 않은 다항함수의 특성을 추론하게 해주는 단서를, 다항함수/공식에서는 이미 알려진 단서를 편리하게 활용할 수 있게 해주는 공식을 소개한다.

이러한 팁들을 사용하면 한국교육과정평가원이 실시하는 시험( 수능, 임용시험[10], 수능 모의평가 등)에서 나오는 고난도 문항[11]에서 다항함수의 차수, 그래프의 개형, 위치, 방정식 등을 추론하기 편해진다. 현 교육과정( 2015 개정 교육과정)에서는 수학Ⅱ의 ' 미분적분학' 파트[12]와 연계도가 짙으며, 2022 수능부터 공통 출제 범위이다.[13]



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4. 종류

4.1. 상수함수

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상수 하나만 있어도 다항식이 될 수 있으므로, 상수함수도 다항함수이다.

4.2. 일차함수

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4.2.1. 다중선형형식

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일차함수의 일반화이다. 다중선형형식과 행렬 벡터 선형대수학의 기본정리에 의해 동일한 대상으로 볼 수 있다.

4.3. 이차함수

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4.3.1. 이차형식

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이차함수의 일반화이다.

4.4. 삼차함수

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4.4.1. 삼차형식

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삼차함수의 일반화이다.

4.5. 사차함수

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4.6. 오차(五次)함수

[math(f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f \quad (a \neq 0))]

최고차항의 차수가 5인 함수이다. '오차함수'라고 불리는 함수는 다항식으로 정의되는 꼴(, quintic function)과 다항식으로 정의되지 아니한 꼴(, error function) 두 개가 있는데 이 문단에서 설명하고 있는 것은 전자이다.

그래프의 개형은 삼차함수에서 굴곡이 한 겹 더 추가된 형태, 즉 올라갔다 내려갔다 올라갔다 내려갔다 올라가는 모양새로 이해하면 편하다. 그러나 이는 수많은 오차함수 그래프의 개형 중 일부의 경우일 뿐이며, 사차함수 문서에도 서술되어 있듯이 6종류의 삼차함수 그래프의 개형으로부터 사차함수 그래프의 개형이 20개나 도출되는데, 오차함수는 그런 사차함수를 또 다시 도함수로 하기 때문에 그야말로 극악[14]이다. 오차 이상이 되면 지나치게 복잡해지는 관계로 고등학교에서는 사차 이하의 다항함수만을 다룬다.

오차 이상의 다항함수부터는 역함수 초등함수로 표현할 수 없고, 브링 근호를 사용해야 한다.

4.7. n차 다항함수

이외에도 육차함수(sextic function), 칠차함수(septic function) 등을 생각할 수 있다.

위의 삼차함수부터는 '고차 함수'라고 불린다.[15]

4.8. 특수한 다항함수

일부 특수함수는 특정 조건[16]에서 다항함수의 형태를 띠기도 한다.

5. 교육과정에서

5.1. 중등교육기관

  • 7차 교육과정
    • 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
    • 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프, 이차함수의 최대·최소
    • 수학 10-나 - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
    • 수학Ⅱ - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
    • 미분과 적분 - 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점
  • 2007 개정 교육과정
    • 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
    • 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프, 이차함수의 최대·최소
    • 수학 - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
    • 미적분과 통계 기본[17] - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
    • 수학Ⅱ(2007)[18] - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성, 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점
  • 2009 개정 교육과정
    • 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
    • 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프, 이차함수의 최대·최소
    • 수학Ⅰ - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
    • 미적분Ⅰ - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
    • 미적분Ⅱ - 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점
  • 2015 개정 교육과정
    • 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
    • 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프
    • 수학 - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
    • 수학Ⅱ - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
    • 미적분 - 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점

5.2. 고등교육기관


[1] [math(y = x^2)] 등 [2] [math(y = \dfrac{1}{x})] 등 [3] [math(y = \sqrt{x})] 등 [4] 정칙성의 조건 중 하나인 테일러 급수다항함수의 합으로써 함수를 근사하는 방법이므로, 다항함수는 자기 자신이 테일러 급수임은 자명하다. [5] 이렇게 해석적, 미분가능성, 매끄러움을 모두 만족시키는 함수는 정칙(holomorphic) 또는 참한 함수(well-behaved function)라고 불린다. [6] 단, [math(-)]의 경우 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 최고차항이 같다면 항이 소거되므로 차수를 확신할 수 없다. [7] 상수함수의 경우 미분해도 상수함수이므로 그대로 차수가 0이기 때문에 최댓값 조건이 있는 것이다. 곧, 상수함수를 제외하면, 다항함수의 도함수는 원시함수보다 차수가 1 작다. [8] 5차부터는 브링 근호 같은 특수함수를 이용해야 한다. [9] 이러한 팁들은 교과서는 물론이고 수능 연계 교재에도 잘 언급되지 않는 내용인데, EBSi 모의고사 해설 강의에서는 조금이나마 알려주기는 한다. 물론 학원에서는 잘 알려준다 [10] 트렌드는 조금 다르다. [11] 한국교육과정평가원의 경향을 반영하는 사설 모의고사 또는 학교 시험에서도 출제될 수 있다. [12] 2단원 미분 단원 중 도함수의 활용 부분이다. [13] 2017 수능 ~ 2021 수능 시기에서는 문과(수학 나형)만의 직접 출제 범위였으며, 이과(수학 가형)은 상위 과정의 미적분이 직접 출제 범위로 지정됨에 따라 간접 출제 범위에 그쳤다. 하지만 2021년에 실시되는 2022 수능부터는 문·이과 공통 범위가 되었으므로 수능을 치를 고등학생이라면 누구도 소홀히 해서는 안 될 것이다. [14] 물론 실해석학에서 각종 병리적 함수를 접하다 다시 보면 선녀 같다고 느껴지긴 하겠지만. [15] 프로그래밍에서의 고차 함수와는 다른 개념이다. 이쪽은 범함수에 가깝다. [16] 아래 세 함수 모두 밑첨자에 들어가는 변수가 [math({mathbb N}_0)]의 원소일 때에만 다항함수가 된다. 또한 밑첨자의 값은 그 차수와 동치이다. [17] 문과용 [18] 이과용 [19] 대표적으로 특정 구간의 수를 넣을 경우 소수를 생성하는 다항함수가 있다.