최근 수정 시각 : 2022-06-01 23:34:43

상수함수


초등함수
Elementary Functions
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1. 개요2. 성질3. 도함수4. 역도함수5. 역함수6. 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수7. 공식

1. 개요

/ constant function

[math(f(x)=1)]과 같이, 정의역에 관계없이 함숫값이 항상 같은 함수상수함수라고 한다. 다항함수의 일종이며 식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(f(x)=a \quad)] ([math(a)]는 상수)

2. 성질

  • [math(\deg f(x) = 0)]이다.[1]
  • 일반적으로[2] 그래프는 [math(x)]축에 평행 또는 일치하는 직선으로 기울기가 일정하며, 따라서 일대일대응이 아니다.[3]
  • 극점이 무수히 많다.[4]
    • 극값은 한 개 존재하며 함숫값과 같다.
    • 그래프 위의 모든 점이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이다.

3. 도함수

상수함수의 도함수의 식은 항상 다음과 같다. 상수함수의 그래프는 [math(x)]축과 평행하므로 모든 점에서의 접선의 기울기는 0이 된다.

[math(f'(x)=0)]

따라서 다항함수를 차수로 분류할 때, 상수함수는 도함수와 차수가 같은 유일한 경우이다. 나아가 다음과 같이 원시함수와 도함수가 일치할 수도 있는데, 이는 다항함수 중에서는 유일한 사례이다.[5]

[math(f(x)=0\quad\Rightarrow\quad f'(x)=0)]

이에 [math(f(x)=f'(x))]가 성립한다.

4. 역도함수

상수함수의 역도함수는 다음과 같이 상수함수의 함숫값을 기울기로 하는 일차함수이다.

[math(F(x)=ax+\textsf{const.}\qquad)] ([math(\textsf{const.})]는 적분상수)

5. 역함수

상수함수는 [math(x)]의 값에 상관없이 함숫값이 일정하므로 일대일 대응이 아니다. 그래서 원칙적으로는 역함수를 정의할 수 없다. 그러나 음함수 꼴로는 아래처럼 [math(x)]에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

[math(x = a\qquad)] ([math(a)]는 상수)

이 음함수가 나타내는 그래프는 [math(x)]축에 수직인 직선이며, 기울기가 무한대로 발산하므로 미분 불가능하다.

6. 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수

파일:상수함수 접선.svg
위 그림과 같이 그래프 위의 점에서는 그래프에 접선을 하나만 그을 수 있으며 이는 그 점에서의 접선으로, 해당 상수함수의 그래프와 일치한다. 반면 그래프 위에 있지 않은 점에서는 접선을 그을 수 없다.

7. 공식

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서
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참고하십시오.
[1] 이 명제의 은 성립하지 않는데, 로그함수, 사인함수, 코사인함수 등의 반례가 있기 때문.
[math(\deg(\log_a x) = \deg(\sin x) = \deg(\cos x) = 0)]
[2] [math(a \in {\mathbb R})]일 경우. [3] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타날 수도 있다. [4] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타나면 오직 그 점만이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이 되므로 극값은 하나이다. 반면 극값이 하나가 아닌데 무수히 많은 극점을 갖는 함수도 있는데 그 예로는 바이어슈트라스 함수가 있다. [5] 초등함수 전체로 봐도 도함수와 원시함수가 동일한 경우는 [math(f(x)=0)] 또는 [math(f(x)=e^x)]뿐이다.