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초등함수 Elementary Functions |
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1. 개요
常 數 函 數 / constant function[math(f(x)=1)]과 같이, 정의역에 관계없이 함숫값이 항상 같은 함수를 상수함수라고 한다. 다항함수의 일종이며 식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(f(x)=a \quad)] ([math(a)]는 상수)
2. 성질
- [math(\deg f(x) = 0)]이다.[1]
- 일반적으로[2] 그래프는 [math(x)]축에 평행 또는 일치하는 직선으로 기울기가 일정하며, 따라서 일대일대응이 아니다.[3]
- 직선으로 나타나는 상수함수의 그래프끼리는 닮음이며, 따라서 합동이다.
- 위아래로 모두 볼록한 함수다. 모든 함숫값이 동일하기 때문이다.
- [math(a \in {\mathbb C})]일 경우 고정된 편각을 갖는 평면이 되며, 유색 복소평면에서는 편각에 따른 단색 배경으로만 나타난다.
- 정의에 따라[4] 주기함수라고 할 수 있다.
- 극점이 무수히 많다.[5]
- 극값은 한 개 존재하며 함숫값과 같다.
- 그래프 위의 모든 점이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이다.
3. 도함수
상수함수의 도함수의 식은 항상 다음과 같다. 상수함수의 그래프는 [math(x)]축과 평행하므로 모든 점에서의 접선의 기울기는 0이 된다.[6][math(f'(x)=0)]
따라서 다항함수를 차수로 분류할 때, 상수함수는 도함수와 차수가 같은 유일한 경우이다. 나아가 다음과 같이 원시함수와 도함수가 일치할 수도 있는데, 이는 다항함수 중에서는 유일한 사례이다.[7]
[math(f(x)=0\quad\Rightarrow\quad f'(x)=0)]
이에 [math(f(x)=f'(x))]가 성립한다.
4. 역도함수
상수함수의 역도함수는 다음과 같이 상수함수의 함숫값을 기울기로 하는 일차함수이다.[math(F(x)=ax+\textsf{const.}\qquad)] ([math(\textsf{const.})]는
적분상수)
5. 역함수
상수함수는 [math(x)]의 값에 상관없이 함숫값이 일정하므로 일대일 대응이 아니다. 그래서 원칙적으로는 역함수를 정의할 수 없다. 그러나 음함수 꼴로는 아래처럼 [math(x)]에 대한 식으로 나타낼 수 있다.[math(x = a\qquad)] ([math(a)]는 상수)
이 음함수가 나타내는 그래프는 [math(x)]축에 수직인 직선이며, 기울기가 무한대로 발산하므로 미분 불가능하다.
6. 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수
위 그림과 같이 그래프 위의 점에서는 그래프에 접선을 하나만 그을 수 있으며 이는 그 점에서의 접선으로, 해당 상수함수의 그래프와 일치한다. 반면 그래프 위에 있지 않은 점에서는 접선을 그을 수 없다.
7. 공식
[1]
이 명제의
역은 성립하지 않는데,
로그함수라는 반례가 있기 때문.
[math(\deg(\log_a x) = 0)] [2] [math(a \in {\mathbb R})]일 경우. [3] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타날 수도 있다. [4] 주기함수를 [math(f(x+p)=f(x))]인 양수 [math(p)]가 존재할 때로 정의할 때 [5] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타나면 오직 그 점만이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이 되므로 극값은 하나이다. 반면 극값이 하나가 아닌데 무수히 많은 극점을 갖는 함수도 있는데 그 예로는 바이어슈트라스 함수가 있다. [6] 역은 성립하지 않는데 기울기가 0임에도 상수함수가 아닌 함수가 있기 때문이다. 악마의 계단 함수가 그 예이다. [7] 초등함수 전체로 봐도 도함수와 원시함수가 동일한 경우는 [math(f(x)=0)] 또는 [math(f(x)=e^x)]뿐이다.
[math(\deg(\log_a x) = 0)] [2] [math(a \in {\mathbb R})]일 경우. [3] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타날 수도 있다. [4] 주기함수를 [math(f(x+p)=f(x))]인 양수 [math(p)]가 존재할 때로 정의할 때 [5] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타나면 오직 그 점만이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이 되므로 극값은 하나이다. 반면 극값이 하나가 아닌데 무수히 많은 극점을 갖는 함수도 있는데 그 예로는 바이어슈트라스 함수가 있다. [6] 역은 성립하지 않는데 기울기가 0임에도 상수함수가 아닌 함수가 있기 때문이다. 악마의 계단 함수가 그 예이다. [7] 초등함수 전체로 봐도 도함수와 원시함수가 동일한 경우는 [math(f(x)=0)] 또는 [math(f(x)=e^x)]뿐이다.