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1. 개요
hyperbolic function ・ 雙 曲 線 函 數삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡선 함수는 쌍곡선과 연관된다는 특징이 있다. 삼각함수와 매우 유사한 성질을 띠며, 미분방정식과 함수 이론에서 쓰인다는 점에서도 비슷하다.
2. 상세
삼각함수는 원과 관련있는 함수이다. 즉,| [math(\begin{cases}x=\cos t \\ y=\sin t\end{cases})] |
| [math(x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1)] |
이와 유사한 방법으로
| [math(\begin{cases}x=\cosh t \\ y=\sinh t\end{cases})] |
| [math(x^2-y^2=\cosh^2t-\sinh^2t=1)] |
그래프 상에서 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는 지 보고자 한다.
쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 그 위의 한 점 [math(\rm P)]에 대하여, 원점과 [math(\rm P)]를 지나는 직선 [math(y=x\tanh a)], [math(x)]축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 [math(a)]가 될 때,[1] 점 [math(\rm P)]의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(\cosh a)], [math(\sinh a)]로 정의한다.
이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 쌍곡선 함수는 모든 실수에서 주기를 갖지 않는다는 차이점이 있다.
3. 정의
3.1. 기본형
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[math(\begin{aligned} \sinh x &\equiv \dfrac{e^x-e^{-x}}2 \\ \cosh x &\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}2 \\ \tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{aligned})] |
- [math(\sinh)]: 샤인(/ʃaɪn/), 신치(/sɪntʃ/)
- [math(\cosh)]: 코샤인(/koʃaɪn/), 코시(/koʊʃ/)
- [math(\tanh)]: [ruby(쌘,ruby=θ)](/θæn/), 탠치(/tæntʃ/)
각 함수의 그래프는 아래와 같다.
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| [math(y=\sinh x)] | [math(y=\cosh x)] | [math(y=\tanh x)] |
위에서 볼 수 있듯, [math(\sinh x)], [math(\tanh x)]는 기함수, [math(\cosh x)]는 우함수임을 알 수 있다. 또한, [math(\cosh x)]는 점 [math((0,\,1))]을 지남을 알 수 있고, [math(\tanh x)]는 점근선으로 [math(y = \pm 1)]을 가짐을 알 수 있다.
[math(\tanh x)]는 [math(operatorname{erf}(x))]와 개형이 비슷하며 이러한 개형을 시그모이드라고 부른다.[비교] 아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다!
[math(\cosh x)]는 현수선(catenary)의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이
| [math(\displaystyle \begin{aligned} a\cosh{{\left( \frac xa \right)}}=\frac a2(e^{x/a}+e^{-x/a}) \end{aligned} )] |
3.2. 역수형
이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다.|
[math(\begin{aligned} \coth x &\equiv \dfrac1{\tanh x} \\ \operatorname{sech}x &\equiv \dfrac1{\cosh x} \\ \operatorname{csch}x &\equiv \dfrac1{\sinh x} \end{aligned} )] |
- [math(\coth)]: 코쓰(/koʊθ/)
- [math(\rm sech)]: 셰크(/ʃɛk/), 세치(/sɛtʃ/)
- [math(\rm csch)]: 코셰크(/koʊʃɛk/), 코세치(/koʊsɛtʃ/)
[math(\rm sech)]은 따로 ' 오일러 수열 함수'라고 하기도 한다. 또한 정규 분포 그래프와 개형이 비슷하다.
3.3. 역함수
이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 직선 [math(y=x\tanh a)], [math(x)]축으로 둘러싸인 도형[4]의 넓이(area)가 [math(a)]라는 특징으로부터, 이들 역함수에는 접두사 [math(\text{ar-})]을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'Area Hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 [math(\text{arc-})]를 붙인 틀린 표현[5]도 자주 볼 수 있다. TI-Nspire 시리즈나 Desmos가 이 틀린 표현을 사용해서,artanh(x) 대신 arctanh(x)라고 입력해야 한다.한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 편각(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 [math(\text{arg-})]로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[6]
편의상 정의역은 실수라고 가정했다.
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[math(\begin{aligned} \operatorname{arsinh}x &= \ln{(x+\sqrt{x^2+1})} \\ \operatorname{arcosh}x &= \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} &&\qquad (x\ge1) \\ \operatorname{artanh}x &= \dfrac12\ln{\left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)} &&\qquad (|x|<1) \\ \operatorname{arcoth}x &= \dfrac12\ln{\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)} &&\qquad (|x|>1) \\ \operatorname{arsech}x &= \ln{\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}-1} \biggr)} &&\qquad (0<x \le 1) \\ \operatorname{arcsch}x &= \ln{\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}+1} \biggr)} &&\qquad (x \ne 0) \end{aligned} )] |
표기와 관련하여, [math(\rm arsinh)], [math(\rm arcosh)], [math(\rm artanh)], [math(\rm arsech)], [math(\rm arcsch)], [math(\rm arcoth)]는 각각 [math(\rm sinh^{-1})], [math(\rm cosh^{-1})], [math(\rm tanh^{-1})], [math(\rm sech^{-1})], [math(\rm csch^{-1})], [math(\rm coth^{-1})]로 나타내기도 하고 실제로도 편의성과 가독성 때문에 많이 사용되나[7], 역삼각함수와 같이 수학계가 권장하는 표현은 아니다.
4. 관련 공식
4.1. 항등식
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[math(\begin{aligned} \cosh x \pm \sinh x&=e^{\pm x} \\ \\ \cosh^2x-\sinh^2x&=1 \\ 1-\tanh^2x&=\operatorname{sech}^2x \\ \coth^2x-1&=\operatorname{csch}^2x \\ \\ \sinh(-x) &= -\sinh x \\ \cosh(-x) &= \cosh x \\ \tanh(-x) &= -\tanh x \\ \coth(-x) &= -\coth x \\ \operatorname{sech}(-x) &= \operatorname{sech}x \\ \operatorname{csch}(-x) &= -\operatorname{csch}x \end{aligned})] |
이 외에도 삼각함수를 다룰 때 다뤘던 특수함수의 극한 또한 쌍곡선 함수에서 성립한다.
|
[math(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}x&=1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}x&=1 \end{aligned})] |
4.2. 덧셈 정리
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[math(\begin{aligned} \sinh{(x\pm y)} &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\ \cosh{(x\pm y)} &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\ \tanh{(x\pm y)} &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y} \end{aligned})] |
이상은 모두 복부호동순이다. 덕분에 삼각함수의 덧셈정리 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다.
4.3. 배편각 공식
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[math(\begin{aligned} \sinh{(2x)} &= 2\sinh x\cosh x \\ \cosh{(2x)} &= \cosh^2x + \sinh^2x \\ &= 2\sinh^2x+1 \\ &= 2\cosh^2x-1 \\ \tanh{(2x)} &= \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2x} \end{aligned})] |
4.4. 반편각 공식
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[math(\begin{aligned} \sinh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x-1}2 \\ \cosh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x+1}2 \\ \tanh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \end{aligned})] |
4.5. 합을 곱으로 고치는 공식
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[math(\begin{aligned} \sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh{\left(\dfrac{x \pm y}2\right)} \cosh{\left(\dfrac{x \mp y}2\right)} \\ \cosh x+\cosh y &= 2 \cosh{\left(\dfrac{x+y}2\right)} \cosh{\left(\dfrac{x-y}2\right)} \\ \cosh x-\cosh y &= 2 \sinh{\left(\dfrac{x+y}2\right)} \sinh{\left(\dfrac{x-y}2\right)} \end{aligned})] |
이상은 모두 복부호동순이다.
4.6. 곱을 합으로 고치는 공식
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[math(\begin{aligned} \sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{\sinh{(x+y)}+\sinh{(x-y)}\} \\ \cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{\sinh{(x+y)}-\sinh{(x-y)}\} \\ \cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{\cosh{(x+y)}+\cosh{(x-y)}\} \\ \sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{\cosh{(x+y)}-\cosh{(x-y)}\} \\ \end{aligned})] |
4.7. 도함수
4.7.1. 쌍곡선 함수
|
[math(\displaystyle\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \sinh x )&= \cosh x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \cosh x )&= \sinh x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \tanh x )&= \operatorname{sech}^2x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{sech}x )&= -\operatorname{sech}x\tanh x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{csch}x )&= -\operatorname{csch}x\coth x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \coth x )&= -\operatorname{csch}^2x \end{aligned})] |
4.7.2. 역쌍곡선 함수
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[math(\displaystyle\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{arsinh}x) &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{arcosh}x) &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} &&\qquad (x>1)\\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{artanh}x) &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|<1)\\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{arsech}x) &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} &&\qquad (0<x<1)\\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{arcsch}x) &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} &&\qquad (x\ne0) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x}( \operatorname{arcoth}x) &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|>1) \end{aligned})] |
[math(\operatorname{artanh}x)]와 [math(\operatorname{arcoth}x)]의 도함수는 형태는 같지만 [math(x)]의 범위가 다르다는 것에 주의하자.
4.8. 역도함수
4.8.1. 쌍곡선 함수
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sinh x {\rm\,d}x &= \cosh x +{\sf const.} \\ \int \cosh x {\rm\,d}x &= \sinh x +{\sf const.} \\ \int \tanh x {\rm\,d}x &= \ln{(\cosh x)} +{\sf const.} \\ \int \operatorname{sech}x {\rm\,d}x &= 2\arctan{(e^x)} +{\sf const.} \\ &= \arctan{(\sinh x)} +{\sf const.} \\ &= \arcsin{(\tanh x)} +{\sf const.} \\ &= 2\arctan{\left \{ \tanh{\left(\frac x2 \right)}\right\}} +{\sf const.} \\ &= \operatorname{gd}x +{\sf const.} \\ \int \operatorname{csch}x {\rm\,d}x &= \ln{\left\{ \tanh{\left(\dfrac x2 \right)} \right\}} +{\sf const.} \\ &= \ln|\coth x-\operatorname{csch}x| +{\sf const.} \\ \int \coth x {\rm\,d}x &= \ln|\sinh x| +{\sf const.} \end{aligned})] |
4.8.2. 역쌍곡선 함수
|
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \operatorname{arsinh}x {\rm\,d}x &= x\,\operatorname{arsinh}x - \sqrt{x^2+1} +{\sf const.} \\ \int \operatorname{arcosh}x {\rm\,d}x &= x\,\operatorname{arcosh}x - \sqrt{x^2-1} +{\sf const.} &&\qquad (x\ge1) \\ \int \operatorname{artanh}x {\rm\,d}x &= x\,\operatorname{artanh}x + \frac12\ln(1 - x^2) +{\sf const.} &&\qquad (|x|<1) \\ \int \operatorname{arsech}x {\rm\,d}x &= x\,\operatorname{arsech}x + \arcsin x +{\sf const.} &&\qquad (0<x\le1) \\ \int \operatorname{arcsch}x {\rm\,d}x &= x\,\operatorname{arcsch}x + \operatorname{arsinh}x +{\sf const.} &&\qquad (x\ne0) \\ \int \operatorname{arcoth}x {\rm\,d}x &= x\,\operatorname{arcoth}x + \frac12\ln(x^2-1 ) +{\sf const.} &&\qquad (|x|>1) \end{aligned})] |
단, [math({\sf const.})]는 적분 상수이다.
4.8.3. 특수 적분
|
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sinh|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\cosh x-1) - 1 +{\sf const.} \\ \int \cosh|x| {\rm\,d}x &= \sinh x +{\sf const.} \\ \int \tanh|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +{\sf const.} \\ \int \operatorname{coth}|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +{\sf const.} \\ \int \operatorname{sech}|x| {\rm\,d}x &= 2\,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac x2\biggr) +{\sf const.} \\ \int \operatorname{csch}|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac x2\biggr) +{\sf const.} \\ \int \left|\sinh x\right| {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\sinh)(x) \cosh x +{\sf const.} \\ \int \left|\cosh x\right| {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\cosh)(x) \sinh x +{\sf const.} \\ \int \left|\tanh x\right| {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\tanh)(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +{\sf const.} \\ \int \left|\operatorname{coth}x\right| {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\operatorname{coth})(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +{\sf const.} \\ \int \left|\operatorname{sech}x\right| {\rm\,d}x &= 2\,(\operatorname{sgn}\circ\operatorname{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac x2\biggr) +{\sf const.} \\ \int \left|\operatorname{csch}x\right| {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\operatorname{csch})(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac x2\biggr) +{\sf const.} \\ \int x\tanh x{\rm\,d}x &= -\frac12 \operatorname{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}2 + x\ln\!{(e^{-2x}+1)} +{\sf const.} \\ \int x\,\operatorname{coth}x{\rm\,d}x &= -\frac12\operatorname{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}2 + x\ln\!{(-e^{-2x}+1)} +{\sf const.} \\ \int x\,\operatorname{sech}x{\rm\,d}x &= i\operatorname{Li}_2(ie^{-x}) - i\operatorname{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\operatorname{arccot}(e^x) +{\sf const.} \\ \int x\operatorname{csch}x{\rm\,d}x &= \operatorname{Li}_2(\sinh x-\cosh x) - \operatorname{Li}_2(e^{-x}) - 2x\operatorname{arcoth}(e^x)+C \\ \int \frac{\sinh x}x {\rm\,d}x &= \operatorname{Shi}(x) +{\sf const.} \\ \int \frac{\cosh x}x {\rm\,d}x &= \operatorname{Chi}(x) +{\sf const.} \\ \int \sinh{e^x}{\rm\,d}x &= \operatorname{Shi}(e^x) +{\sf const.} \\ \int \cosh{e^x}{\rm\,d}x &= \operatorname{Chi}(e^x) +{\sf const.} \\ \int \sinh(x^{-1}) {\rm\,d}x &= x \sinh(x^{-1}) - \operatorname{Chi}(x^{-1}) +{\sf const.} \\ \int \cosh(x^{-1}) {\rm\,d}x &= x \cosh(x^{-1}) - \operatorname{Shi}(x^{-1}) +{\sf const.} \\ \int \sinh x^2{\rm\,d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}4\{\operatorname{erfi}(x) - \operatorname{erf}(x)\} +{\sf const.} \\ \int \cosh x^2 {\rm\,d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}4\{\operatorname{erfi}(x) + \operatorname{erf}(x)\} +{\sf const.} \end{aligned} )] |
5. 복소수와 쌍곡선 함수
이 문단서부터는 이제부터 정의역을 복소수 영역까지 확장할 것이다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin x&=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ \cos x&=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x)] |
위를 이용하면 아래를 얻는다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sinh{(ix)}&=i\sin x \\ \cosh{(ix)}&=\cos x \\ \tanh{(ix)}&=i\tan x \end{aligned} )] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned} -i \sin{(ix)}&=\sinh x \\ \cos{(ix)}&=\cosh x \\ -i\tan{(ix)}&=\tanh x \end{aligned} )] |
5.1. 복소평면에서의 쌍곡선 함수의 그래프
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| [math(\sinh z)] | [math(\operatorname{arsinh}z)] |
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| [math(\cosh z)] | [math(\operatorname{arcosh}z)] |
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| [math(\tanh z)] | [math(\operatorname{artanh}z)] |
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| [math(\coth z)] | [math(\operatorname{arcoth}z)] |
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| [math(\operatorname{sech} z)] | [math(\operatorname{arsech}z)] |
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| [math(\operatorname{csch} z)] | [math(\operatorname{arcsch}z)] |
6. 테일러 급수
아래는 [math(x=0)] 주위에서 전개한 것이다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sinh x&=x+\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}+\cdots \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ \cosh x&=1+\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+\cdots \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\ \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left( 16^n - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac13 x^3 + \frac 2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots \\ \operatorname{sech}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\&= 1 - \frac 12x^2 + \frac5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots \\ \operatorname{csch}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( 2 - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\\ &= \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots \\ \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\&= \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots \end{aligned})] |
7. 기타
- 쌍곡선 함수 중 [math(\cosh x)] 곡선을 현수선이라 한다.
- 물리학적으로 균일한 밀도의 줄이나 선이 이 형태를 띄면 총 퍼텐셜 에너지가 최소화 되기 때문에 두 점 사이에 균일한 밀도의 줄이나 선을 연결하면 현수선 모양을 띄게 된다.
- 특수 상대성 이론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡선 함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.
- 본격적인 용어와 성질 등은 대학 미적분학을 배우면서 습득하게 되나, 고등학교 미적분 문제에서도 간간히 나오는 함수이다. 다만, 용어를 직접적으로 쓰진 못하고, 정의식을 그대로 주어 문제로 낸다.
8. 관련 문서
[1]
위 그림에서는 [math(x\ge0)]인 영역만 색칠되어있지만 [math(x<0)]인 영역도 해당하며, 이 영역 역시 넓이가 [math(\dfrac a2)]이다.
[2]
hyperbolic을 의미하는 [math(\rm h)]가 뒤쪽에 붙어있기 때문에 한국에서는 '싸인 하이퍼볼릭' 혹은 그냥 '싸인 에이치'라고 하기도 한다.
[비교]
![파일:namu_compare_erf_tanh_new.png]()
[4]
즉 가로, 세로의 길이가 [math(\cosh a)], [math(\sinh a)]인 직각삼각형의 넓이에서 [math(\displaystyle\int_1^{\cosh a}\sqrt{x^2-1}{\rm\,d}x)]를 뺀 값의 2배
[5]
역삼각함수의 접두사 [math(\text{arc-})]가 붙은 유래를 잘 생각해보면 당연한 건데,
단위원에서 각의 크기(역삼각함수의 값)는 곧 호(arc)의 길이와 같다. 즉, [math(\text{arc-})]라는 접두사는 단위원과 관련이 있음을 나타내는 용어인 셈이다.
[6]
함수 표기가 길어진다는 단점이 있지만 혼동의 여지를 막는다는 점에서는 매우 효과적인 표기다. 당장 아래 예에서 [math(\rm arcosh)], [math(\rm arcoth)], [math(\rm arcsch)]만 봐도 접두사를 [math(\text{arc-})]로 잘못 읽을 여지가 있으며 특히 [math(\rm h)]가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.
[7]
이 표기법이 -1제곱을 의미하는 것이 아니라는 약속만 있으면, 필기로 쓸 때에도 sinh에 '-1' 작게 두 획 긋는 게 더 쉽고, ar- 를 붙이는 것보다 가독성도 높아지기 때문.