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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
logarithmic integral function특수함수의 하나로, [math(\mathrm{li}(x))]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.
[math({\rm{li}}(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} & \quad (x<1) \\\displaystyle \lim_{c \to 0^+} \left(\int_{0}^{1-c} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}}+\int_{1+c}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} \right ) &\quad (x>1) \end{cases} )]
로그의 정의에 따라 [math(\ln 1=0)]이기 때문에 [math(x=1)]일 때에는 값이 정의되지 않는다.
이 함수의 그래프는 아래와 같다.
이 함수는 소수 계량 함수와의 관계가 깊으며, 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[1] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 리만 가설이다.
이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.
적분 범위를 [math([0,\,x])]가 아닌 [math([2,\,x])]로 규정한 경우도 있다.[2] 이럴 경우 특이점인 [math(1)]이 적분 구간에 포함되지 않는다. 보통은 [math(1)]을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다.
1.1. 라마누잔-졸트너 상수
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수학
상수 Mathematical Constants |
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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨. | |||
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[math(0)] (덧셈의 항등원) |
[math(1)] (곱셈의 항등원) |
[math(sqrt{2})] (최초로 증명된 무리수) |
[math(495)], [math(6174)] ( 카프리카 상수) |
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[math(0)],
[math(1)], [math(3435)], [math(438579088)] ( 뮌하우젠 수) |
[math(pi^{ast})] (원주율) |
[math(tau^{ast})] (새원주율) |
[math(e^{ast})] (자연로그의 밑) |
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[math(delta)], [math(alpha)] (파이겐바움 상수) |
[math(varphi)] (황금비) |
[math(G)] (카탈랑 상수) |
[math(gamma)] (오일러-마스케로니 상수) |
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[math(gamma_n)] (스틸체스 상수) |
[math(Omega^{ast})] (오메가 상수) |
[math(2^{sqrt{2},ast})] (겔폰트-슈나이더 상수) |
[math(B_{2})], [math(B_{4})] (브룬 상수) |
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[math(i)] (허수단위) |
[math(rho)] (플라스틱 상수) |
[math(mu)] (라마누잔-졸트너 상수) |
[math(C_n,^{ast})] (챔퍼나운 상수) |
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[math(zeta(3))] (아페리 상수) |
[math({rm Si}(pi))] (윌브레이엄-기브스 상수) |
[math(-e, {rm Ei}(-1))] (곰페르츠 상수) |
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Remanujan-Soldner constant
위 그래프에서 보듯 [math(x>1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 발견자인 요한 폰 졸트너와 이를 해석적으로 계산해낸 스리니바사 라마누잔의 이름을 따와서 라마누잔-졸트너 상수라고 한다. 이 상수는 그리스 문자 [math(mu)]로 표기하며, 불완전 감마 함수를 이용해 그 값을
[math(\mu\equiv-\Gamma(0,\,-\ln2)-i\pi)]
로 표기할 수 있으며, 소수로 표현하면 약 [math(1.451369\cdots)] 정도이다.
2. 지수 적분 함수와의 관계
지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.[math(\begin{aligned}
\mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\
&=\mathrm{Ei}(\ln(x))
\end{aligned} )]
이것의 증명은 아래와 같다. 적분
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t )]
의 분자, 분모에 [math(t)]를 곱하여
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t )]
꼴로 만들어 [math(\ln{t}\equiv-k)]로 치환하면
[math(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty )]
가 성립함에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\
&= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k
\end{aligned} )]
이 적분은 지수 적분 함수와 자연로그의 합성함수 꼴이므로
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x) )]
로 쓸 수 있다.