최근 수정 시각 : 2022-03-26 20:57:10

로그 적분 함수

특수함수
Special Functions
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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. }}}}}}}}}}}}


1. 개요
1.1. 라마누잔-졸트너 상수
2. 지수 적분 함수와의 관계3. 관련 문서

1. 개요

logarithmic integral function

특수함수의 하나로, [math(\mathrm{li}(x))]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.

[math({\rm{li}}(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} & \quad (x<1) \\\displaystyle \lim_{c \to 0^+} \left(\int_{0}^{1-c} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}}+\int_{1+c}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} \right ) &\quad (x>1) \end{cases} )]

로그의 정의에 따라 [math(\ln 1=0)]이기 때문에 [math(x=1)]일 때에는 값이 정의되지 않는다.

이 함수의 그래프는 아래와 같다.

파일:namu_로그적분함수_그래프_NEW.png

이 함수는 소수 계량 함수와의 관계가 깊으며, 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[1] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 리만 가설이다.

이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.

적분 범위를 [math([0,\,x])]가 아닌 [math([2,\,x])]로 규정한 경우도 있다.[2] 이럴 경우 특이점인 [math(1)]이 적분 구간에 포함되지 않는다. 보통은 [math(1)]을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다.

1.1. 라마누잔-졸트너 상수

수학 상수
Mathematical Constants
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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
( 카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
( 뮌하우젠 수)
[math(pi^{ast})]
(원주율)
[math(tau^{ast})]
(새원주율)
[math(e^{ast})]
(자연로그의 밑)
[math(delta)], [math(alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(varphi)]
(황금비)
[math(G)]
(카탈랑 상수)
[math(gamma)]
(오일러-마스케로니 상수)
[math(gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(Omega^{ast})]
(오메가 상수)
[math(2^{sqrt{2},ast})]
(겔폰트-슈나이더 상수)
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(rho)]
(플라스틱 상수)
[math(mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n,^{ast})]
(챔퍼나운 상수)
[math(zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({rm Si}(pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e, {rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)
}}}}}}}}} ||


Remanujan-Soldner constant

위 그래프에서 보듯 [math(x>1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 발견자인 요한 폰 졸트너와 이를 해석적으로 계산해낸 스리니바사 라마누잔의 이름을 따와서 라마누잔-졸트너 상수라고 한다. 이 상수는 그리스 문자 [math(mu)]로 표기하며, 불완전 감마 함수를 이용해 그 값을

[math(\mu\equiv-\Gamma(0,\,-\ln2)-i\pi)]

로 표기할 수 있으며, 소수로 표현하면 약 [math(1.451369\cdots)] 정도이다.

2. 지수 적분 함수와의 관계

지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.

[math(\begin{aligned}
\mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\
&=\mathrm{Ei}(\ln(x))
\end{aligned} )]

이것의 증명은 아래와 같다. 적분

[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t )]

의 분자, 분모에 [math(t)]를 곱하여

[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t )]

꼴로 만들어 [math(\ln{t}\equiv-k)]로 치환하면

[math(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty )]

가 성립함에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\
&= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k
\end{aligned} )]

이 적분은 지수 적분 함수 자연로그의 합성함수 꼴이므로

[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x) )]

로 쓸 수 있다.

3. 관련 문서


[1] 옛날( 가우스 르장드르가 살아 있었을 시절)에는 [math(\dfrac x{\ln x})]를 썼다. [2] 이 경우 대문자 [math(\mathrm{L})]을 써서 [math(\mathrm{Li}(x)\equiv\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2))]로 정의한다. 표기가 같은 폴리로그함수와 혼동에 주의. 사실 [math(2)]보다는 [math(x)]절편인 [math(\mu)]가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 보다시피 정수가 아닌지라...