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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
Möbius function뫼비우스 함수는 수론적 함수로, 다음과 같이 정의된다.
[math(\mu(n)=\begin{cases}1&(n=1)\\(-1)^{w(n)}&(n\;is\;square\;free\;interger)\\0&(otherwise)\end{cases})][1]
정의역은 [math(\mathbb{N})]이며, 주로 정수론에서 사용된다.
1.1. 예시
[math(\mu (1))] = [math(1)][math(\mu (7))] = [math(-1)]
[math(\mu (45))] = [math(0)]
[math(\mu (30))] = [math(\mu (2 \times 3 \times 5))] = [math((-1)^3)] = [math(-1)]
[math(\mu (144))] = [math(0)] [2]
2. 성질
• 곱셈적이지만 완전 곱셈적은 아니다.[3]
• [math(\displaystyle\sum_{d|n}\mu (d)=[\frac{1}{n}]=\begin{cases} 1&(n=1)\\0&(n>1)\end{cases})]
• [math(f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}g(d))]이면, [math(g(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d}))][4]