무한 지수 탑 함수

특수함수 Special Functions
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[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.

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1. 개요2. 상세3. 알려진 함숫값4. 그래프5. 도함수6. 역도함수

1. 개요

無限指數塔函數 / infinite power tower function

[math( y=x^{x^{x^{x^{⋰} }} }\!\!\!=x\uparrow\uparrow\infty)]

위와 같은 함수를 무한 지수 탑 함수라고 한다. [math(x)]를 밑으로 하여 무한히 [math(x)]제곱을 하는 함수로서, 지수함수이며 비초등함수이다. [math(x)]에 무한대의 테트레이션을 취한다고도 할 수 있으므로 무한 테트레이션이라고도 한다.

2. 상세

이 함수는 일반적인 방법으로 함숫값을 기술하기가 까다로우며, 해석적 확장 [1][2]을 통해 다음과 같이 람베르트 W 함수와 복소로그함수로 표현해야 한다. 유도 과정 보기

[math(y=-\dfrac{W(-\ln{x})}{{\ln{x} }}=e^{-W(-\ln{x})})]

해석적 확장을 이용하기 때문에 이 함수는 모든 복소수에서 수렴하며, 실수, 즉 [math(Im(y))][math(\ =0)]일 때 정의역은 [math(x \in (0,\,1) \cup (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!])][3]이다.

이 함수의 매클로린 급수는 다음과 같다. 수렴 속도는 상당히 느린 편.

[math(\displaystyle \begin{aligned} y&= x+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n-1} -1}{n-1}(x-1)^n \\ &= x+(x-1)^2+\frac{3}{2}(x-1)^3+\frac{7}{3}(x-1)^4+\cdots \end{aligned})]

3. 알려진 함숫값

[math(\boldsymbol x)]	[math(\boldsymbol y)]	비고
[math(0)]	[math(0)]	로피탈의 정리 필요[4], 가장 작은 실숫값, 해석적 확장
[math(\dfrac{1}{4^4})]	[math(\dfrac{1}{4})]	해석적 확장
[math(\dfrac{1}{\pi^{\pi}})]	[math(\dfrac{1}{\pi})]	해석적 확장
[math(\dfrac{1}{3^3})]	[math(\dfrac{1}{3})]	해석적 확장
[math(\dfrac{1}{e^e})]	[math(\dfrac{1}{e})]
[math(\dfrac1{2^2})]	[math(\dfrac12)]
[math(\dfrac{1}{e})]	[math(Omega)]
[math(Omega)]	[math(\dfrac{W(\Omega)}{\Omega})][5]
[math(1)]	[math(1)]	로피탈의 정리 필요[6][7]
[math(\sqrt2)]	[math(2)]
[math(\sqrt[e]{e})]	[math(e)]	가장 큰 실숫값
[math(-1)]	[math(e^{-W(-i\pi)})][8]	해석적 확장
[math(-1)]	[math(-1)]	해석적 확장, [math(W(x))] 대신 [math(W_1(x))]를 사용한 경우
[math(e)]	[math(-W(-1))][* 약 [math(0.3181\cdots - 1.3372\cdots i)]]	해석적 확장
[math(\sqrt{e^{\pi}})]	[math(-i)]	해석적 확장
[math(i)]	[math(e^{-W(i\pi/2)})][9]	해석적 확장

[math(1/(x\uparrow\uparrow 2))] 꼴의 수는 함숫값이 [math(1/x)]이 된다는 성질이 있다.

4. 그래프

아래는 [math(y: {\mathbb R} \to {\mathbb C})]에 대응하는 그래프이다. 빨간색은 [math(Re(y))], 하늘색은 [math(Im(y))]이다.

5. 도함수

우선, 본 함수는 [math(x)]제곱을 무한히 많이 취하는 함수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.[10]

[math(y={{\color{red}x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} } }} }}\rightarrow\quad y=x^{\color{red}{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }})]

이에 [math(y=x^{\color{red} y})]이고, 양변에 자연로그를 취하면

[math(\ln y=\ln{x^y}=y \ln{x})]

양 끝의 식을 [math(x)]에 대하여 미분하면

[math(\begin{aligned} \dfrac1y \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y\dfrac1x+\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\end{aligned})]

계산의 편의를 위하여 양변에 [math(xy)]를 곱하면

[math(\begin{aligned} x\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y^2+xy\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\\ \therefore \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=\dfrac{y^2}{x-xy\ln x} \quad (x \neq xy\ln x) \end{aligned})]

이 도함수는 상기했듯 복소함수로 나타낼 수 있으며, 매끄러운 함수이면서 테일러 전개가 가능한 정칙 함수임이 알려져 있다.

[math(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{[W(-\operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x \operatorname{Log}^{2}{x} [W(-\operatorname{Log}{x}) + 1 ] } )]

반면, 도함수와는 달리 역도함수는 현 시점에선 알려진 바가 없다. 고작 지수가 하나만 있는 [math(y=x^x)]만 해도 2학년의 꿈이라는 특수해만 알 뿐 일반화된 해법이 없는 실정인데, 무한 지수 탑 함수에 대한 역도함수가 있을 리가 없다.

다만 병리적 함수는 아니므로 수치해석을 이용한 정적분은 가능하다. [math((0,,sqrt[e]{e};!])] 구간 정적분

[1] 쉽게 말하자면 실수에서 발산하는 부분을 복소해석학을 이용해 복소수 범위로 빙 돌아가서 값을 구하는 과정을 말하는데, 대표적인 예로 모든 자연수의 합을 [math(-1/12)]로 계산하는 라마누잔합이 있다. [2] 해석적 확장을 쓰지 않고 정의역을 [math([1/e^{e},,sqrt[e]{e};!])]으로 제한해서 정의하는 방법도 있다. [3] 이 집합은 밑이 같은 지수함수와 로그함수가 교점을 갖는 밑의 집합이기도 하다. [4] 그대로 계산할 경우 [math(\dfrac{\infty}{\infty})]의 부정형이 된다. 0의 0제곱 참고. [5] 약 [math(0.68)] [6] 참고: 무한 지수 탑 함수 표현꼴 그대로 사용할 경우 로피탈의 정리가 필요하지 않고, 람베르트 W 함수와 복소로그 함수로 표현된 식을 사용할 경우 로피탈의 정리 필요. [7] 그대로 계산할 경우 [math(\dfrac00)]의 부정형이 된다. [8] 약 [math(0.266 \cdots +0.2943 \cdots i)] [9] 약 [math(0.4383\cdots - 0.3606\cdots i)] [10] 일명 힐베르트의 호텔.