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초등함수 Elementary Functions |
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1. 정의
無 理 函 數 / irrational function교육과정 전용 용어로, 이 문서에서는 [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] 꼴의 함수를 중심으로 설명한다.
무리함수에는 근호가 포함되어 있고, 실수 범위에서 근호 안에는 음수가 올 수 없기 때문에(음수까지 포함하는 경우는 후술.) [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])에 대하여 정의역은
[math( \displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \geq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \} )]
를 만족시켜야 하고, 치역은
[math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq c,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]
이 된다. 특히 [math(b=c=0)]일 때, 함수의 꼴은 [math(f(x)=\sqrt{ax})]가 되고,
- 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]이다.
- 치역은 [math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq 0,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]이다.
그러나 [math(f(x)=\sqrt{x^2 + x+1})]이나 [math(f(x)=\sqrt{{(x+3)}/{(2x-7)}})]과 같은 함수도 무리함수다.
2. 그래프
무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 그래프의 성질은 다음과 같다.- 무리함수의 역함수는 이차함수이므로 포물선의 일부이다.
- 그래프의 시작점은 [math(\left( -\dfrac{b}{a},\,c \right))]이다.
- [math(|a|)]값이 작을수록 그래프는 직선 [math(y=c)]에 가까워진다.
모든 무리함수의 그래프는 평행이동을 통하여 [math(y=\pm \sqrt{\pm ax})] 형태로 바꿀 수 있으므로 이 함수들의 그래프만 따져보면 된다. 다음은 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{\pm ax}\;(a>0))]의 그래프이다.
무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 그래프는 [math(y=\pm \sqrt{ax})]를 평행이동하면 된다. 예시로 [math(y=\sqrt{-2x-4}+3)]은 [math(y=\sqrt{2x})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동 한 후 [math(x)]축 방향으로 [math(-2)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(3)]만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 아래와 같다.
2.1. 대칭이동
무리함수 [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])는[math( \displaystyle f(x)=\sqrt{a\left(x+\frac{b}{a} \right)}+c )]
형태로 변환할 수 있고, 이에 따라 해당 함수의 그래프는 [math(y=\sqrt{ax})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(-{b}/{a})]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(c)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y=\sqrt{ax})]에 대해 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 세 가지 유형의 함수를 얻을 수 있다.
- [math(y=\sqrt{-ax})]
- [math(y=\sqrt{ax})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동
- 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]
- 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \geq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )]
- [math(y=-\sqrt{ax})]
- [math(y=\sqrt{ax})]를 [math(x)]축에 대하여 대칭이동
- 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]
- 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )]
- [math(y=-\sqrt{-ax})]
- [math(y=\sqrt{ax})]를 원점에 대하여 대칭이동
- 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]
- 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )]
2.2. 해석적 확장
실수 범위에서는 무리함수 그래프가 온전히 보이지 않으므로, 복소평면으로 정의를 확장해 보자.
제곱근은 지수함수와 복소로그함수의 합성으로 나타낼 수 있으므로[1], 아래와 같이 변형할 수 있다.
[math(\begin{aligned} \displaystyle \sqrt{z} &= e^{(\log z) / 2} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} {\{(\log z) / 2\}^n \over n!} \\ &= 1 + \frac{\log z}{2} + \frac{\log^2 z}{8} + \frac{\log^3 z}{48} + \cdots \end{aligned})]
이 식으로 복소평면에서 아래의 그래프를 얻는다:
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| [math(\sqrt{z} : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C})]의 그래프 | |
[math(n)]제곱근의 경우 [math(n)]개로 분할 가능한 곡면이 나타난다.
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| [math(f(z)=\sqrt[3]{z})] | [math(f(z)=\sqrt[4]{z})] |
3. 역함수
무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 역함수를 구하기 위해 [math(x)]와 [math(y)]의 자리를 바꾸면[math( \displaystyle x=\pm\sqrt{ay+b}+c \quad \to \quad \pm\sqrt{ay+b}=x-c )]
양변을 제곱하여 정리하면
[math( \displaystyle ay+b=(x-c)^{2} \quad \to \quad y=\frac{1}{a}\{(x-c)^{2}-b\} )]
로 이차함수가 된다. 단, 역함수의 정의역은 본래 함수의 치역임에 유의한다. 즉, 역함수의 그래프는 대칭축을 기준으로 반으로 잘린 모양이다.
4. 무한에 대한 극한값
모든 무리함수의 그래프는 무리함수 [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]의 그래프를 평행이동 혹은 대칭이동하여 만들 수 있다. 따라서 [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]만 논해도 무방하다.[math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]의 극한값은
[math( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty )]
이고, 이는 변형된 엡실론-델타 논법으로 증명된다. 곧, 임의의 양수 [math(M)]에 대하여
[math( \displaystyle x>K \Rightarrow \sqrt{ax} >M )]
을 만족시키는 양수 [math(K)]가 존재함을 보이면 된다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{ax} >M &\to \sqrt{x}>\frac{M}{\sqrt{a}} \\& \to x>\frac{M^{2}}{a} \end{aligned})]
따라서 [math( \displaystyle K = {M^{2}}/{a} )]으로 택하면 충분하고,
[math( \displaystyle \begin{aligned} x>\frac{M^{2}}{a} \Rightarrow \sqrt{ax}>M \end{aligned} )]
이므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty)]임을 알 수 있다.
고등학교 수준에서는 '[math(x)]가 무한히 커지면 [math(\sqrt{ax})]도 무한히 커지므로 [math(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty)]'로 알면 충분하다.
5. 도함수
무리함수 [math(f(x)=\sqrt[n]{x})]의 도함수는 다음과 같다.[math( \displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt[n]{x}}{nx} )]
이 도함수는 [math(x=0)]에서의 미분계수를 정의할 수 없음을 나타낸다.
6. 역도함수
무리함수 [math(f(x)=\sqrt[n]{x})]의 역도함수는[math( \displaystyle \int f(x)\, {\rm d}x=\frac{nx\sqrt[n]{x}}{n+1}+\textsf{const.} )]
이다. [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이며 [math(C)]로도 쓴다.
6.1. 특수한 적분법
6.1.1. 일차식의 거듭제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 [math(\sqrt[n]{ax+b})] (단, [math(a)], [math(b)]는 상수)를 포함할 때는 [math( \displaystyle \sqrt[n]{ax+b}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.6.1.2. 유리식의 거듭제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 [math( \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)} )] (단, [math(a\sim d)]는 상수)를 포함할 때는 [math( \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.6.1.3. 삼각치환법
피적분함수가 [math(\sqrt{a^2-x^2})], [math(\sqrt{a^2+x^2})] (단, [math(a)]는 상수) 형태일 때 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.6.1.4. 이차식의 제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 [math(\sqrt{ax^2+bx+c} )] (단, [math(a)], [math(b)], [math(c \neq 0)])를 포함할 때, [math(a)]의 부호에 따라 다르게 적분한다.[4][1] [math(\boldsymbol{a>0})]
[math(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x)]
로 치환하여 피적분함수를 [math(t)]에 대한 유리식으로 바꾸어 적분한다.
[2] [math(\boldsymbol{a<0})]
이차식 [math(ax^2+bx+c)]를 [math(a(x-\alpha)(x-\beta))]로 인수분해하여
[math( \sqrt{\dfrac{x-\alpha}{\beta-x}}=t )]
로 치환한 뒤
[math( x=\dfrac{\alpha+\beta t^2}{t^2+1} \quad \to \quad {\rm d}x=\dfrac{2t(\beta-\alpha)}{(1+t^2)^2}\,{\rm d}t )]
이고,
[math( \sqrt{ax^2+bx+c}=\dfrac{\sqrt{-a} |\alpha-\beta| }{1+t^2} )]
임을 이용하여 적분한다.
6.1.5. 타원 적분
무리함수의 적분으로 정의되는 특수함수이다.
7. 정적분
- [math(\displaystyle \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = \pi)][5]
8. 기타
-
무리함수는 도함수를 구하는 것이 비교적 쉬우나 역도함수는 여러 적분법을 써야 간신히 구해지는 경우가 많다.