최근 수정 시각 : 2022-05-12 03:06:52

일차함수


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1. 개요
1.1. 상세1.2. 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수
2. 해석기하학적 의미3. 해석학적 의미
3.1. 일차함수에 관한 추론3.2. 길이 및 거리( 유클리드 노름)3.3. 미분가능성
4. 선형대수학적 의미5. 정수론적 의미6. 고전역학적 의미

1. 개요

/ linear function[1]

일차함수는 다항함수의 일종으로, 다음과 같이 정의된다. 중2 1학기 맨 마지막 단원에 나오며, 연립방정식과 연계해서 배운다. 나중에 고1로 올라가면 직선의 방정식과 항등식의 성질을 섞어서 복잡한 문제로 나온다.

[math(f(x) = ax + b \qquad)]([math(a \neq 0)]이고, [math(a)], [math(b)]는 상수)

그림은 일차함수의 그래프 중 일부이다.

파일:namu_1차함수_그래프_수정본.svg [math(\qquad \qquad)] 파일:나무_일차함수_복소.png

좌측은 [math(f(x):{\mathbb R} \to {\mathbb R})], 우측은 [math(f(z):{\mathbb C} \to {\mathbb C})]의 그래프이다.[2]

일반적으로 다변수로 확장하면, 다음과 같이 된다. 이를 선형형식(linear form)[3]이라고 한다. 이를 일반화한 개념이 다중선형형식이다.

[math(\displaystyle f(x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}x_{k} +b)]


위 식은 벡터를 이용해서 아래와 같이 바꿀 수 있다.

[math(\displaystyle f({\bold x}) = {\bold a}^{\ast}{\bold x} +b)]

[math(\ast)]는 수반 연산자이다.

1.1. 상세

일차함수 [math(f(x)=ax+b)]는 다음을 만족시킨다.
  • [math(\deg f(x) = 1)]이다.
  • 기울기는 [math(a)]이다.
  • 일대일대응이며, 좌표평면상의 그래프는 직선으로 기울기가 일정하다. 곧,
    • [math(a>0)]이면, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값이 증가한다.
    • [math(a<0)]이면, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값이 감소한다.
    • 가능한 모든 그래프끼리 닮음이며, 따라서 합동이다.
  • [math(x)]절편은 [math(-\dfrac{b}{a})]이다.
  • [math(y)]절편은 [math(b)]이다.
  • 도함수 [math(f'(x)=a)]로 상수함수이다.
    • 도함수가 상수함수이므로 극값을 갖지 않는다.[4]
  • 역도함수 [math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d} x=\dfrac{ax^2}{2}+bx+C)]로 이차함수이다.(단, [math(C)]는 적분 상수)
  • 역함수는 [math(y=(x-b)/a)]로 일차함수이다.[5]

1.2. 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수

파일:일차함수_접선_개수.svg

위 그림과 같이 그래프 위의 점에서는 그래프에 접선을 하나[6]만 그을 수 있으며 이는 그 점에서의 접선이다. 그래프 위에 있지 않은 점에서는 접선을 그을 수 없다. 그래프 위의 점에서 그은 접선은 일차함수의 그래프와 일치한다.

2. 해석기하학적 의미

2.1. 직교좌표계에서

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 직선 문서
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그래프가 직선을 그리기 때문에 '선형함수'라고도 부른다.

2.2. 극좌표계에서

극좌표계상에서

[math(r(\theta) = a\theta + b \qquad)]([math(a \neq 0)]이고, [math(a)], [math(b)]는 상수)

의 그래프는 나선이 되는데 이를 아르키메데스 나선이라고 한다.

아래는 가장 간단한 경우인 [math(b=0)]인 경우에 대하여 그래프의 개형을 그려본 것이다.

파일:나무_아르키메데스_나선.png

3. 해석학적 의미

위 정의식에서 [math(a=1)], [math(b=0)]일 경우[7]를 생각해보자.

[math(f(x) = x)]

이는 항등함수의 일종이며, 다음과 같은 성질을 가진다:
  • 원점에 대칭인 홀함수이다. 즉 [math(x =-(-x))]가 성립한다.
  • 역함수의 기준선이다. 즉 역함수 관계의 두 함수는 [math(f(x) = x)]에 대칭이다.
    • 역함수는 자기 자신이다.
  • 정비례 관계이다. 즉 [math(x)]가 증가하면 함숫값도 증가하는 증가함수이다.
  • 도함수는 상수함수로, [math(f'(x) =1)]이다.
  • 역도함수 이차함수로, [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} +C)]이다.(단, [math(C)]는 적분 상수.)

3.1. 일차함수에 관한 추론

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서
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참고하십시오.

3.2. 길이 및 거리( 유클리드 노름)

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3.3. 미분가능성

수학에서 미분(derivative, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다. 어떤 함수의 미분 계수 또는 순간 변화율을 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 [math(x)]의 증분에 관한 함숫값 [math(f(x))]의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 [math(f(x))]의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 [math(dy/dx)]로 나타낸다.

동사로서 미분(differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를
미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다.

4. 선형대수학적 의미

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선형대수학의 알파이자 오메가로, 이것을 하나의 수( 벡터)로 가정하고 이를 집합( 벡터 공간)으로 삼아 이론을 전개한다.

5. 정수론적 의미

디리클레 정리가 일차함수 위의 소수를 다룬다.

6. 고전역학적 의미

등속직선운동이 일차함수의 형태를 띤다.


[1] 단, 영단어 linear function은 상수함수도 포함한다. [2] 우측의 경우 [math(f(z)=z)]라는 식에서 보듯 다색 복소평면의 기본형이다. [3] 줄여서 선형(linear)이라고 하기도 한다. 선형형식으로 표현할 수 없는 꼴이면 비선형(nonlinear)이라고 한다. [4] 그야말로 모든 경우에 극값을 갖지 않는 다항함수는 일차함수밖에 없다. [5] 역함수와 차수가 일치하는 다항함수는 일차함수밖에 없다. [6] 정확히는 [math(2^{aleph_0})]개. 겹쳐져서 1개로 보일 뿐 모든 실수에 대한 접선이 대응되기 때문이다. [7] 이렇게 단항식으로 정의된 다항함수는 따로 멱함수(冪函數)라고 칭한다.