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정수론 Number Theory |
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1. 개요
約 數 函 數 / Divisor function특수함수의 하나로, 정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \sigma_s(n) \equiv \sum_{d|n} d^{s}\quad)](단, [math(d)]는 [math(n)]의 약수, [math(s \in \mathbb{C},\,n \in \mathbb{N})])
즉, 어떤 자연수의 약수를 [math(s)] 제곱한 것을 모두 더한 것을 함숫값으로 내놓는 함수이다.
특히 [math(s=1)]인 경우엔 특별히 시그마 함수라고 부르며 [math(\sigma(n))]로 표기하기도 한다. 이 함수는 [math(n)]의 모든 약수들의 합을 내놓는다.
[math(\displaystyle \sigma(n) = \sigma_1(n) = \sum_{d|n} d\quad)]
[math(s=0)]인 경우 약수의 개수를 내놓으며 간단히 [math(d(n))]이라고 표기하기도 한다.([math(\sigma_0(n)=d(n))])
2. 상세
가장 많이 쓰이는 용도는 완전수/ 부족수/ 과잉수 판별로, 이들은 진약수의 합이 어떤가에 따라 집합이 갈리기 때문이다. 덤으로 이를 이용해 소수를 정의하면 1이 소수가 아니라고 깔끔하게 정의된다.- 부족수: [math(\sigma_1(n) < 2n)]
- 완전수: [math(\sigma_1(n) = 2n)]
- 과잉수: [math(\sigma_1(n) > 2n)]
- 소수: [math(\sigma_1(n) = n+1)]
[math(\sigma_1(n))]은 일반화된 오각수[1]를 사용해서 구할 수도 있다.
[math(\sigma_1(n)=\sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+...)]인데 다만 [math(\sigma_1(0))]자리엔 대신 n을 써야 성립한다.
[math(s)]에 복소수가 들어갈 수 있기 때문에, 복소수 [math(s)]에 대해서는 정의가 다음과 같이 바뀐다.
[math(\displaystyle \sigma_s(n) \equiv \sum_{d|n} d^{\Re(s)}\, ({\rm cis} \circ \ln)( d \, \Im(s)))]
[math({\rm cis})]는 허수지수함수, [math(\ln)]은 자연로그, [math(\Re, \Im)]는 각각 복소수의 실수부와 허수부를 뜻한다.
[math(d(n))]의 [math(x)]이하 부분합 [math(\displaystyle \sum_{n\le x} d(n))]은 다음과 같이 나타난다.
[math(\displaystyle \sum_{n\le x} d(n)=x \log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}))]
[1]
n번째 오각수의 일반항 [math(\frac{n(3n-1)}{2})]의 n자리에 정수를 넣은 것