최근 수정 시각 : 2022-03-07 17:55:42

테트레이션

특수함수
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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. }}}}}}}}}}}}


1. 개요
1.1. 일반화
2. 성질
2.1. 1 < a < e√e일때
3. 여담

1. 개요

테트레이션(Tetration)은 특수함수의 하나이다. 큰 수에 대한 연산 중 하나로, 거듭제곱을 거듭하여 만들어지는 연산이다. 덧셈을 1차 연산, 덧셈의 거듭으로 만들어진 곱셈을 2차 연산, 곱셈의 거듭으로 만들어진 거듭제곱을 3차 연산이라고 하면, 거듭제곱을 거듭하여 얻어지는 테트레이션은 4차 연산이라고 할 수 있다.[1] 'Tetration'의 'tetr(a)-'는 4를 의미하는 접두사이다.

일반적으로 부호는 [math(\uparrow)]( 커누스 윗화살표 표기법)을 사용하여 [math(a \uparrow\uparrow b)]로 쓰거나[2], [math(b)]를 [math(a)]의 왼쪽 위에 작게 앞지수로 붙여 표현([math(^{b}a)]의 꼴)[3]하기도 한다. 이외에도 여러 표기법이 있긴 한데 수학자들 각자의 독자연구에 가까운지라 통일된 표기법은 없는 상태다.
[math(a^a = a \uparrow\uparrow 2, )]
[math(a^{a^a} = a \uparrow\uparrow 3, )]
[math(\vdots)]
[math(\underbrace{a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}}_{n})] [math(= a \uparrow\uparrow n)]으로 정의한다.

1.1. 일반화

이를 일반화하여 [math(n)]차 연산을 정의하는 것도 가능하다. 커누스 윗화살표 표기법을 이용하면 5차 연산(pentation)은 [math(a \uparrow^3 b = a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow a}_{a가\;b개})]로 정의할 수 있다. 같은 원리로 6차 연산(hexation) [math(\uparrow^4 = \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow)]도 정의 가능하고, n차 연산(hyperoperation) [math(\uparrow^{n-2} = \underbrace{\uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow}_{n-2})]도 정의 가능하다. 이러한 n차 연산을 하이퍼 연산(hyperoperation)이라고 부른다. 이 하이퍼 연산을 표기하는 표기법들은 위에서 얘기했듯이 화살표 표기법 외에도 정말 다양한 방법들이 존재한다.

한편, 같은 수의 테트레이션뿐만 아니라 [math(\{2,4,6,8\} \mapsto 2^{4^{6^{8}}})]같이 다른 수의 테트레이션(즉, 수열의 테트레이션; nested Exponentials)까지 고려해 볼 수 있는데, 정작 여기에 대한 논의는 부실한 실정이다.[4] 페르마 소수가 수열 [math(\{2,2,n\})]에 대한 테트레이션에 관련된 문제.

아직 실수차로의 확장은 이루어지지 않았다.

2. 성질

자연로그의 밑 [math(e)] 한정으로 [math(e \uparrow \uparrow n=\exp^{n-1} e)] 꼴로 바꿀 수 있다. 여기서 [math(n-1)]은 동일 함수를 합성한 횟수.

이외에도 다음과 같은 성질이 있다.
  • [math(a \uparrow \uparrow (n+1) = a^{a \uparrow \uparrow n})]이므로 [math(a \uparrow \uparrow n = \log_a (a \uparrow \uparrow (n+1)))]가 성립한다.
    • 임의의 복소수 [math(a)]에 대해서 [math(a \uparrow \uparrow 0=1)]이다.[5][출처]
    • 임의의 복소수 [math(a)]에 대해서 [math(a \uparrow \uparrow -1=0)]이다.[7]
    • 임의의 복소수 [math(a)]에 대해서 [math(a \uparrow \uparrow -2)]의 값은 정의되지 않는다(불능).[8]
  • [math(displaystyle lim_{n to infty} a uparrow uparrow n= -frac{W(-ln a)}{ln a})]가 성립한다. [math(W)]는 람베르트 W 함수이다.
    • 실수 범위에서 [math(0 < a < 1)], [math(1 < a \leq e^{\frac{1}{e}})]에서 수렴한다.
    • [math(a=Omega)]인 경우 [math(-\ln \Omega = \Omega)]이므로 [math(\dfrac{W(\Omega)}{\Omega} = W(\Omega)\,e^{\Omega})]가 된다.
    • [math(a = e^{\frac{1}{e}})]인 경우, [math(\ln e^{\frac{1}{e}} = \dfrac{1}{e})]이고 [math(W\left(-\dfrac{1}{e}\right) = -1)]이므로, 최종적으로 [math(e)]가 된다.
    • [math(a=1)]인 경우 [math(\dfrac{0}{0})] 꼴이 되기 때문에 정의가 되지 않지만, 로피탈의 정리를 이용해서 [math(\displaystyle \lim_{a \to 1} -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} = 1)]임을 알 수 있다.
    • [math(a=0)]인 경우도 비슷하게 [math(\dfrac{\infty}{\infty})][9] 꼴이 되는데, 마찬가지로 로피탈의 정리를 이용해서 [math(\displaystyle \lim_{a \to 0+} -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} = 0)]임을 알 수 있다.
    • [math(a<0, a>e^{\frac{1}{e}})]는 실수에서는 발산하지만 해석적 확장을 이용해서 값을 구할 수 있는데, 가령 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} -1 \uparrow \uparrow n)]의 경우 [math(\displaystyle -\frac{W(-\mathrm{Log}(-1))}{\mathrm{Log}(-1)} = \frac{W(-i\pi)}{\pi}i)]임을 알 수 있다.

2.1. 1 < a < e√e일때

위 구간에선 x가 무한대로 갈때 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x)]는 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow \infty)]로 수렴하므로
[math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x=(a \uparrow \uparrow \infty )[1-f(x) ])]
로 쓸수있다.
※ x가 무한대로 갈땐 f(x)는 0으로 수렴한다.

이걸 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x=a^{a \uparrow \uparrow (x-1)})]에 넣으면
[math((a \uparrow \uparrow \infty )[1-f(x) ]=a^{(a \uparrow \uparrow \infty )[1-f(x-1) ]}=(a \uparrow \uparrow \infty )^{1-f(x-1)})]가 나오고, 양변을 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow \infty)]로 나눠주면
[math(1-f(x)=(a \uparrow \uparrow \infty )^{-f(x-1)})]가 나온다.

그다음 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow \infty=e^b)]로 치환한 뒤 정리하면
[math(f(x)=1-e^{-bf(x-1)})]
을 얻는다.
x가 클 땐 f(x)가 엄청 작으니 [math(e^{-bf(x-1)}≒1-bf(x-1))]로 볼 수 있으므로 이 근사식을 위 공식에다 적용하면
[math(f(x)≒bf(x-1))]
를 얻고, 이걸 풀면
[math(f(x)≒A(a)b^x)]
임에 따라
[math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x≒(a \uparrow \uparrow \infty )(1-A(a)b^x))]임을 알 수 있다.

문제는 아직 여기서 a랑 A(a) 사이 관계식을 구하지 못했으니 이제 A(a)가 얼만지를 한번 구해보자.

3. 여담

일상 생활에서는 거의 쓰일 일이 없는 연산이지만 (일반적인 교육과정에서는 아예 언급도 않지만, 드물게 거듭제곱의 거듭제곱은 등장한다.), 그레이엄 수 모우저처럼 거듭제곱으로는 나타낼 수 없는 끔찍하게 큰 수를 나타낼 때 유용하게 쓰이는 연산이라 수학자들이 계속 연구하고 있다.

거듭제곱에 대응되는 제곱근과 로그가 있는 것처럼 테트레이션에도 대응되는 초제곱근(super-root)과 초로그(super-logarithm, slog)가 존재한다.
  • [math(x \uparrow \uparrow n=a)]가 성립할 때, [math(x)]는 [math(a)]의 [math(n)]초제곱근(super-root)이며, [math(\sqrt[n]{a}_s)]로 표기한다. #
    • [math(n = 2)]일 경우, 람베르트 W 함수를 사용해서 [math(\sqrt{a}_s = e^{W(\ln a)} = \dfrac{\ln a}{W(\ln a)})] 로 정의할 수 있다. 이 함수는 음함수이므로 양함수 형태로 만들면 [math(\sqrt{a}_s = \dfrac{\ln a}{\left(\frac{W_{0}(\ln a)}{\bold{1}_{\mathbb{R}}(W_{0}(\ln a))}\right)} \cup \dfrac{\ln a}{\left(\frac{W_{-1}(\ln a)}{\bold{1}_{\mathbb{R}}(W_{-1}(\ln a))}\right)})]가 된다.[10]
  • [math(n \uparrow \uparrow x=a)]가 성립할 때, [math(x)]는 [math(n)]을 밑으로 하는 [math(a)]의 초로그(super-logarithm)이며, [math(\mathrm{slog}_n(a))]로 표기한다. #
  • [math(x \uparrow \uparrow 2)]의 경우 [math(\displaystyle \sum_{i=0}^\infty \frac{(x\ln x)^i}{i!})]라는 무한급수로 표현된다.

더 자세한 건 한글 위키백과의 테트레이션 항목 참고.

테트레이션에 대응하는 적분 연산이 아직 없다. 당장 가장 간단한 테트레이션 적분인 [math(\displaystyle \int x^x \mathrm{d}x)]부터 대응 특수함수가 없는 상황이니... 그나마 [math([0, 1])] 구간 한정해서 2학년의 꿈이라는 이상적분이 정의되어 있기는 하다.

파일:테트레이션적분.jpg
[math(\displaystyle y = \int_{0}^{x} t^t \mathrm{d}t)] 의 개형은 이렇게 생겼다. 점선은 개형이 비슷한 포물선인 [math(\displaystyle y = x^2)].


[1] 추가로 0차 연산은 다음수(successor)라고 하며, [math(a)]의 다음수 [math(a^+ = a + 1)]이다. [2] [math(\uparrow)]를 하나만 쓰는 [math(a \uparrow b)]는 [math(a^b)], 즉 거듭제곱과 같다. [3] 위키백과에서는 이 표기를 쓴다. [4] 우선 수열합을 나타내는 [math(\Sigma)], 수열곱을 나타내는 [math(\Pi)]에 대응하는 새 기호를 고안해야 하는데 아직까지 그 기호에 대해 논의를 하려는 수학자가 없다. [5] 위 식에 [math(n=0)]을 대입하면 [math(a \uparrow \uparrow 0 = \log_a (a \uparrow \uparrow 1)=\log_a a=1)]이다. 아래 성질도 이 방법으로 얻어진 것이다. [출처] https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration [7] 위 식에 [math(n=-1)]을 대입하면 [math(a \uparrow \uparrow -1 = \log_a (a \uparrow \uparrow 0)=\log_a 1=0)]이다. [8] 위 식에 [math(n=-2)]를 대입하면 [math(a \uparrow \uparrow -2 = \log_a (a \uparrow \uparrow -1)=\log_a 0)]이므로. [9] [math(\displaystyle \lim_{x \to 0+} -\ln x = \infty)]이고 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} W(x) = \infty)]이므로. [10] [math(\bold{1}_{\mathbb{R}})]는 실수 집합을 판별하므로, 실수가 아닌 함숫값은 제외된다.