최근 수정 시각 : 2022-03-26 21:09:56

불완전 감마 함수

특수함수
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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. }}}}}}}}}}}}


1. 정의2. 도함수3. 응용4. 기타5. 관련 문서

1. 정의

incomplete gamma function

불완전 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \Gamma( a,\,x ):=\int_{x}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,{\rm d}x)]

감마 함수는 여기서 [math(x=0)]인 경우로, 불완전이라는 이름이 붙은 게 적분구간이 감마함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비 초등함수로 분류되긴 하지만 [math(a>1)]인 정수면 초등함수의 유한한 결합으로 표현이 가능하다.

이 함수와 관련하여 하부 감마 함수가 있는데 이렇게 정의된다.

[math(\displaystyle \gamma ( a,\,x ):=\int_{0}^{x}x^{a-1}e^{-x}{\rm d}x)]

2. 도함수

[math(\dfrac{\partial}{\partial x}\Gamma ( a,\,x)=-x^{a-1}e^{-x})]

3. 응용

이 함수의 정의를 이용하여 여러 함수의 역도함수를 구해볼 수 있다.
예 1
[math(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x}\,{\rm d}x)]를 구하시오.

[math(x=-t)]로 치환하면, [math({\rm d}x=-{\rm d}t)]이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.

[math(\displaystyle -\int \frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t)]

이는 위 정의에서 [math(a=0)], [math(x=t)]를 대입한 꼴이므로

[math(\displaystyle -\int \frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t=-\Gamma(0,\,t) )]

이상에서 역도함수는 적분 상수 [math(\sf{const.})]를 도입하여

[math(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x}\,{\rm d}x=-\Gamma(0,\,-x)+\sf{const.})]

한편, [math({rm Ei}(x)equiv - Gamma ( 0,,-x ))]로 정의한다.

예 2
[math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln{x}}\,{\rm d}x)]를 구하시오.

[math(\ln{x}=t)]로 치환하면, [math({\rm d}x=e^{t}\,{\rm d}t)]이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.

[math(\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t}\,{\rm d}t)]

이는 예 1에서 보았던 꼴이므로

[math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln{x}}\,{\rm d}x=-\Gamma(0,\,-\ln{x})+\sf{const.})]

마찬가지로, [math({rm li}(x)equiv -Gamma(0,,-ln{x}))]로 정의한다.

예 3
[math(\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm d}x)]를 구하시오.

[math(\ln{x}=\sqrt{t})]로 치환하면

[math(\displaystyle{\rm d}x=\frac{{\rm d}t}{2\sqrt{t}})]

이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.

[math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,{\rm d}t=\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot\left( -\int t^{1/2-1}e^{t}\,{\rm d}t\right) )]

위 정의에서 [math(a=1/2)]인 경우가 위 적분식과 동일하므로

[math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,{\rm d}t=-\frac{1}{2}\Gamma\biggl(\frac{1}{2},\,t \biggr))]

이상에서 역도함수는 적분 상수 [math(\sf{const.})]를 도입하여

[math(\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=-\frac{1}{2}\Gamma\biggl(\frac{1}{2},\,x^{2} \biggr)+\sf{const.})]

한편,

[math({rm erf}(x)equiv -dfrac{1}{sqrt{pi}} Gammabiggl( dfrac 12,,x^2 biggr))]

로 정의할 수 있는데, 위 둘과는 다르게 곱해지는 상수가 다르다.[1]

4. 기타

푸아송 분포 누적 분포 함수에도 불완전 감마 함수가 등장한다.

5. 관련 문서



[1] 정확히는 위 계산식에 [math({2}/{\sqrt{\pi}})]를 곱한 것이다.