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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
Heaviside step function특수함수의 일종이다. 영국의 수학자이자 전기공학자인 올리버 헤비사이드가 연구한 함수로, 그 이름을 따서 명명됐으며 단위 계단함수( 單 位 階 段 函 數, unit step function)라고도 한다. 정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle u(x)\equiv\int_{-\infty}^{x}\delta(t)\,\mathrm{d}t)]
위에서 [math(\delta(x))]는 디랙 델타 함수이다. 중요성에 비해 표기가 통일되어 있지 않아 [math(H(x))], [math(\theta(x))]로 표기하기도 한다. 이 문서에서는 [math(u(x))]라고 표기했다.[1][2]
구체적인 함숫값은 아래와 같다. 단, [math(x=0)]일 때는 대부분 [math(1/2)]로 정의하나 아래 항목에서와 같이 여러 의견이 있다.
[math(\displaystyle u(x) = \begin{cases}
1 & (x>0)\\
1/2 & (x=0)\\
0 & (x<0)
\end{cases} )]
적분 기호 없이 간단하게 정의하자면 다음과 같다.
[math(u(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}\,x+1\right))]
위에서 [math(\mathrm{sgn}\,x)]는 부호 함수이다. 형태에서 보듯 부호 함수를 절반으로 줄여 놓고 [math(x)]축 위쪽으로 올려 놓은 모양새라 부호 없는 부호 함수라고 이해해도 무리가 없을 정도.
아래는 헤비사이드 계단함수의 그래프를 나타낸 것이다. 이때, [math(u(0)=1/2)]로 택하였다.
2. u(0)의 값
수학자마다 [math(u(0))]의 함숫값 정의가 달라 논란이 많다.[3]- [math(\boldsymbol{u(0)={1}/{2}})] 설
- 다수설로, 위의 부호 함수로 쉽게 정의할 수 있고 [math({\mathrm{d}}(\mathrm{sgn}\,x)/\mathrm{d}x=2\delta(x))]가 성립한다는 근거를 들어 설명한다.
- [math(\boldsymbol{u(0)=0})] 설
- 자연수 판별 함수를 이용해 [math(u(x)=\bold{1}_{\mathbb N}(\mathrm{sgn}\,x))]로 깔끔하게 정의할 수 있기 때문에 선호하는 경우가 있다.
- [math(\boldsymbol{u(0)=1})] 설
한편 이 함수로 유도되는 발판 함수(ramp function) [math(R(x) = x u(x))][5]는 정의상 어차피 0으로 곱해져버리기 때문에 이런 논란은 없다.
3. 라플라스 변환
헤비사이드 함수의 라플라스 변환은 다음과 같다.[math(\begin{aligned} \displaystyle \mathcal{L}\{u(t-a)\}(s) &= \int_{0}^{\infty}e^{-st}u(t-a){\,\mathrm{d}}t \\&=\int_{a}^{\infty}e^{-st}{\,\mathrm{d}}t \\&= \biggl[\frac{e^{-st}}{-s}\biggr]_{a}^{\infty}\\&=\frac{e^{-as}}{s} \end{aligned})]
여기서 [math(a \ge 0)]이다.
한편, [math(u(t))]의 경우 간단히 [math(\mathcal{L}\{u(t)\}(s)=s^{-1})]이 된다.
4. 활용
헤비사이드 함수는 [math(x=0)]이 [math(\frac{1}{2})]일때를 제외하고 나머지의 정의역은 함숫값이 0 혹은 1이다. 이러한 특성으로 푸리에 변환꼴 함수를 적분하여 의미있는 값을 얻고자 할 경우(수렴하는 값을 얻고 싶은 경우), 푸리에 변환내 지수함수의 인수 [math(k)], [math(x)]로 이루어진 함수혹은 함수항에서 테일러 전개를 통해 분리해낸 발산항들에 위 함수를 정의하면, 푸리에 변환에서 발산되는 영역을 쉽게 제거할수 있다.다만, 제거되는 조건으로 함숫값은 정수라는 조건이 붙는다면, 위 헤비사이드 함수를 적분해서 얻을 수 있는 발판 함수([math(R(x)=x u(x))])로 쓸때에는 함숫값이 0이기 때문에 이런 조건에서는 발판 함수를 활용할수 있는 여지가 있다.
5. 관련 문서
[1]
G. B. Arfken의 수리물리학에서도 [math(u)] 표기를 쓴다.
[2]
울프럼 알파와 같은 울프럼 언어에서는 [math(\theta(x))]를 쓴다.
[3]
사실 크게 유의미한 논란은 아닌 것이, 평소엔 다수론인 [math(1/2)]을 따르되 굳이 정수로 만들고 싶으면 거기에
바닥함수나 천장함수만 씌우면 되기 때문이다.
[4]
이 경우 정의가
범자연수 집합을 쓴 [math(u(x)=\bold{1}_{\mathbb N_{0}}(\mathrm{sgn}\,x))]로 바뀐다.
[5]
헤비사이드 계단함수의
원시함수이기도 하다.