최근 수정 시각 : 2022-04-15 22:26:51

소수 계량 함수

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1. 개요
1.1. 변형
2. 소수 정리3. 성질4. 스큐스 수5. 관련 문서

1. 개요

/ prime-counting function

' 소수 계량 함수' 줄여서 그냥 '소수 함수'라고 부르기도 한다. '소수 세기 함수'라는 표현을 사용하기도 한다.

일반적으로 prime number의 머릿글자 p에 해당하는 그리스 문자 파이[math((\pi))]를 써서 [math(\pi(x))]로 표시한다. 다만, 원주율과는 무관하다.
[math(\pi(x))]는 [math(x)]보다 작거나 같은 소수의 개수로 정의된다.
즉, [math(\pi(x)=\left\|\mathbb{P}\cap[1,\,x]\right\|)] ([math(x\in\mathbb{N})]이고, [math(\mathbb{P})]는 소수의 집합)이다. [math([1,\,x])]는 [math(1)]에서 [math(x)]까지의 폐구간 집합이다. 우변의 [math(\left\|\cdot\right\|)]는 원소의 개수를 세는 것( 노름)을 뜻한다.

달리 표현하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \pi(x)=\sum_{n=1}^{x}\bold{1}_{\mathbb P}(n)=\int_{1}^{x}\bold{1}_{\mathbb P}(n)\mathrm{d}\lfloor n\rfloor)]
위 식에서 [math(\bold{1}_{\mathbb P}(n))]는 소수 판별 함수, [math(\lfloor n\rfloor)]는 최대 정수 함수이다.

[math(2)]보다 작거나 같은 소수는 [math(2)] 하나뿐이므로 [math(\pi(2)=1)]이고, [math(3)]보다 작거나 같은 소수는 [math(2)], [math(3)]으로 2개이므로 [math(\pi(3)=2)]이다.

소수의 특성상 일반항을 대수적으로 전개할 수 없기 때문에 초월함수에 속한다. 다만 다른 초월함수와는 달리 연속함수가 아니므로[1] 미분 불가능하나, 증가함수이므로 일단 적분은 가능하다.

1.1. 변형

쌍둥이 소수에 등장하는 하디-리틀우드 추측에서는 이를 약간 변형한 함수를 사용했는데, [math(x)] 보다 '작은' 소수의 개수이다.
[math(\displaystyle \pi_{2}(x))]는 [math(x)]보다 작은 소수의 개수

만약 [math(x)]가 합성수라면 [math(\pi(x)=\pi_2(x))]이며, [math(x)]가 소수라면 [math(\pi(x)-1=\pi_2(x))]가 된다.
따라서 다음 등식이 성립한다.
[math(\displaystyle \pi_2(x)=\sum_{n=1}^{x-1} \mathbf{1}_\mathbb{P} (n)=\pi(x)-\mathbf{1}_\mathbb{P} (x))]

2. 소수 정리

이 소수 계량 함수가 [math(\displaystyle \frac{x}{\ln x})]에 근사한다는 것이 소수 정리이다.

참고로, 이후에는 [math(\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{\ln t}\mathrm{d}t)]라는 근사식[2]으로 갈음되었다. 이 둘은 동치라는 것이 증명되었고, 로그 적분 함수가 실제로 좀 더 근사값에 가까우며 다루기 쉽다는 이유로 대체되었다.

이 소수 정리를 파고 들면 정수론의 최종 보스인 리만 가설에 도달하게 된다.

3. 성질

[math(n)]번째 소수 [math(p_n)]에 대해 [math(\pi(p_n)=n)]이다.

4. 스큐스 수

소수 계량 함수와 관련된 큰 수로는 스큐스 수라는 것이 있다. 해당 항목 참조.

5. 관련 문서


[1] 그래프를 보면 알겠지만 불규칙하게 뚝뚝 끊어지는 계단 모양이다. [2] 로그 적분 함수에서 적분범위를 [math([2,\,x])]로 취한 것.이 경우 특이점인 11이 적분 구간에 포함되지 않는다.