최근 수정 시각 : 2022-04-15 22:28:05

초기하함수

특수함수
Special Functions
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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. }}}}}}}}}}}}

1. 개요2. 정의3. 몇 가지 특수한 경우4. 관련 문서

1. 개요

초기하함수(, hypergeometric function)는 멱급수를 이용해 기하급수들을 일반화하는 특수함수이다. 초기하함수는 특정 선형 상미분방정식을 만족시킨다.

2. 정의

일반적으로, 확장된 정의에서는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} {}_pF_q(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p;\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q;\,z) & \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a_1^{\bar{n}}a_2^{\bar{n}}\cdots a_p^{\bar{n} }}{b_1^{\bar{n}}b_2^{\bar{n}}\cdots b_q^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!}
\end{aligned} )]

여기에서 [math(\displaystyle a^{\bar{n}} )]는 상승 팩토리얼[1]이다. [math(p, q)]는 각각 [math(\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p\})], [math(\{b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q\})]의 노름이다.[2]

[math(p=2)], [math(q=1)]인 경우를 특히 많이 사용하는데, 이러한 경우를 가우스 초기하함수(Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} {}_2F_1(a,\,b;\,c;\,z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar{n}}b^{\bar{n} }}{c^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!}
\end{aligned} )]

3. 몇 가지 특수한 경우

  • [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z )]
    • [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z) )]는 항상 지수함수이다.
  • [math(\displaystyle {}_0F_1\left(;\frac{1}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\cos z )]
  • [math(\displaystyle z\cdot{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\sin z )]
  • [math(\displaystyle {}_1F_0(a;;z)=\frac{1}{(1-z)^a} )]
    • 특히 [math(a=1)]인 경우, [math(\displaystyle {}_1F_0(1;;z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n)]이고, [math(\left\vert z \right\vert<1)]일 때 초기값 [math(1)], 공비가 [math(z)]인 기하급수이다.
  • [math(\displaystyle -z\cdot{}_2F_1(1,\,1;\,2;\,z)= \ln\left(1-z\right) )]
  • [math(\displaystyle {}_2F_1\left(\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} K(z) )]
  • [math(\displaystyle {}_2F_1\left(-\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} E(z) )]
  • [math(\displaystyle {}_4{F}_3\left(\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5};\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{4},\,\frac{5}{4};\,-5\left(\frac{5z}{4}\right)^4\right) = -\frac{\mathrm{BR}(z)}{z})]

4. 관련 문서



[1] 중복조합 [math(\left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right))]에 [math(r!)]를 곱한 것이라고 생각하면 된다. [2] 즉, 매개변수로 들어갈 집합 크기에 맞춰서 [math(p, q)]를 넣어야 한다.